Унифицированное пространство

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources. Find sources: "Uniformizable space" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2022)

В математике топологическое пространство X униформизуемо , если существует однородная структура на X , которая индуцирует топологию X. Эквивалентно, X униформизуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно однородному пространству (снабженному топологией, индуцированной однородной структурой).

Любое ( псевдо ) метризуемое пространство униформизуемо, поскольку (псевдо)метрическая однородность индуцирует (псевдо)метрическую топологию. Обратное утверждение неверно: существуют униформизуемые пространства, которые не являются (псевдо)метризуемыми. Однако верно, что топология униформизуемого пространства всегда может быть индуцирована семейством псевдометрик ; действительно, это происходит потому, что любая однородность на множестве X может быть определена семейством псевдометрик .

Показать, что пространство униформизуемо, гораздо проще, чем показать, что оно метризуемо. Фактически, униформизуемость эквивалентна общей аксиоме разделения :

Топологическое пространство униформизуемо тогда и только тогда, когда оно полностью регулярно .

Один из способов построения равномерной структуры на топологическом пространстве X — взять начальную равномерность на X, индуцированную C ( X ), семейством вещественнозначных непрерывных функций на X . Это самая грубая равномерность на X , для которой все такие функции равномерно непрерывны . Подбаза для этой равномерности задается множеством всех окружений

${\displaystyle D_{f,\varepsilon }=\{(x,y)\in X\times X:|f(x)-f(y)|<\varepsilon \}}$

где f ∈ C ( X ) и ε > 0.

Равномерная топология, порожденная вышеуказанной однородностью, является исходной топологией, индуцированной семейством C ( X ). В общем случае эта топология будет грубее заданной топологии на X . Две топологии будут совпадать тогда и только тогда, когда X полностью регулярно.

Для униформизуемого пространства X существует тончайшая однородность на X, совместимая с топологией X , называемая тонкой однородностью или универсальной однородностью . Равномерное пространство называется тонким , если оно обладает тонкой однородностью, порожденной его равномерной топологией.

Тонкая равномерность характеризуется универсальным свойством : любая непрерывная функция f из тонкого пространства X в однородное пространство Y является равномерно непрерывной. Это подразумевает, что функтор F  : CReg → Uni , который присваивает любому совершенно регулярному пространству X тонкую равномерность на X, является левым сопряженным к забывающему функтору, отправляющему однородное пространство в его базовое совершенно регулярное пространство.

Явно, тонкая равномерность на полностью регулярном пространстве X порождается всеми открытыми окрестностями D диагонали в X × X (с топологией произведения ) такими, что существует последовательность D ₁ , D ₂ , … открытых окрестностей диагонали с D = D ₁ и .${\displaystyle D_{n}\circ D_{n}\subseteq D_{n-1}}$

Равномерность на полностью регулярном пространстве X, индуцированная C ( X ) (см. предыдущий раздел), не всегда является точной равномерностью.

• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.