Финансовые модели с длиннохвостыми распределениями и кластеризацией волатильности

Финансовые модели с длиннохвостыми распределениями и кластеризацией волатильности были введены для преодоления проблем с реализмом классических финансовых моделей. Эти классические модели финансовых временных рядов обычно предполагают гомоскедастичность и нормальность и как таковые не могут объяснить стилизованные явления, такие как асимметрия , тяжелые хвосты и кластеризация волатильности эмпирической доходности активов в финансах. В 1963 году Бенуа Мандельброт впервые использовал стабильное (или -стабильное) распределение α {\displaystyle \альфа} для моделирования эмпирических распределений, которые обладают свойством асимметрии и тяжелого хвоста. Поскольку -стабильные распределения имеют бесконечные -th моменты для всех , были предложены умеренные стабильные процессы для преодоления этого ограничения стабильного распределения. α {\displaystyle \альфа} п {\displaystyle p} п > α {\displaystyle p>\альфа}

С другой стороны, модели GARCH были разработаны для объяснения кластеризации волатильности . В модели GARCH предполагается, что распределение инноваций (или остатков) является стандартным нормальным распределением, несмотря на то, что это предположение часто отвергается эмпирически. По этой причине были разработаны модели GARCH с ненормальным распределением инноваций.

Было разработано и применено множество финансовых моделей со стабильными и умеренно стабильными распределениями вместе с кластеризацией волатильности для управления рисками, ценообразования опционов и выбора портфеля.

Бесконечно делимые распределения

Случайная величина называется бесконечно делимой , если для каждого существуют независимые и одинаково распределенные случайные величины И {\displaystyle Y} н = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\точки}

И н , 1 , И н , 2 , … , И н , н {\displaystyle Y_{n,1},Y_{n,2},\dots,Y_{n,n}\,}

такой что

И = г ∑ к = 1 н И н , к , {\displaystyle Y{\stackrel {\mathrm {d} }{=}}\sum _{k=1}^{n}Y_{n,k},\,}

где обозначает равенство в распределении. = г {\displaystyle {\stackrel {\mathrm {d} {=}}}

Мера Бореля на называется мерой Леви, если и ν {\displaystyle \nu} Р {\displaystyle \mathbb {R} } ν ( 0 ) = 0 {\displaystyle \nu ({0})=0}

∫ Р ( 1 ∧ | х 2 | ) ν ( г х ) < ∞ . {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }(1\wedge |x^{2}|)\,\nu (dx)<\infty .}

Если бесконечно делимо, то характеристическая функция задается выражением И {\displaystyle Y} ϕ И ( ты ) = Э [ е я ты И ] {\displaystyle \phi _{Y}(u)=E[e^{iuY}]}

ϕ И ( ты ) = опыт ⁡ ( я γ ты − 1 2 σ 2 ты 2 + ∫ − ∞ ∞ ( е я ты х − 1 − я ты х 1 | х | ≤ 1 ) ν ( г х ) ) , σ ≥ 0 ,     γ ∈ Р {\displaystyle \phi _{Y}(u)=\exp \left(i\gamma u-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}u^{2}+\int _{-\infty }^{\infty }(e^{iux}-1-iux1_{|x|\leq 1})\,\nu (dx)\right),\sigma \geq 0,~~\gamma \in \mathbb {R} }

где , а — мера Леви. Здесь тройка называется тройкой Леви . Эта тройка уникальна. Наоборот, для любого выбора, удовлетворяющего приведенным выше условиям, существует бесконечно делимая случайная величина , характеристическая функция которой задается как . σ ≥ 0 {\displaystyle \сигма \geq 0} γ ∈ Р {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} } ν {\displaystyle \nu} ( σ 2 , ν , γ ) {\displaystyle (\sigma ^{2},\nu,\gamma)} И {\displaystyle Y} ( σ 2 , ν , γ ) {\displaystyle (\sigma ^{2},\nu,\gamma)} И {\displaystyle Y} ϕ И {\displaystyle \фи _{Y}}

α-Стабильные дистрибутивы

Говорят , что действительная случайная величина имеет -устойчивое распределение , если для любого существуют положительное число и действительное число такие, что Х {\displaystyle X} α {\displaystyle \alpha } n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} C n {\displaystyle C_{n}} D n {\displaystyle D_{n}}

X 1 + ⋯ + X n = d C n X + D n , {\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}{\stackrel {\mathrm {d} }{=}}C_{n}X+D_{n},\,}

где независимы и имеют то же распределение, что и у . Все устойчивые случайные величины бесконечно делимы. Известно, что для некоторых . Устойчивая случайная величина с индексом называется -устойчивой случайной величиной . X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} X {\displaystyle X} C n = n 1 / α {\displaystyle C_{n}=n^{1/\alpha }} 0 < α ≤ 2 {\displaystyle 0<\alpha \leq 2} X {\displaystyle X} α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha }

Пусть - устойчивая случайная величина. Тогда характеристическая функция задается выражением X {\displaystyle X} α {\displaystyle \alpha } ϕ X {\displaystyle \phi _{X}} X {\displaystyle X}

ϕ X ( u ) = { exp ⁡ ( i μ u − σ α | u | α ( 1 − i β sgn ⁡ ( u ) tan ⁡ ( π α 2 ) ) ) if  α ∈ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 2 ) exp ⁡ ( i μ u − σ | u | ( 1 + i β sgn ⁡ ( u ) ( 2 π ) ln ⁡ ( | u | ) ) ) if  α = 1 exp ⁡ ( i μ u − 1 2 σ 2 u 2 ) if  α = 2 {\displaystyle \phi _{X}(u)={\begin{cases}\exp \left(i\mu u-\sigma ^{\alpha }|u|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn} (u)\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right)\right)&{\text{if }}\alpha \in (0,1)\cup (1,2)\\\exp \left(i\mu u-\sigma |u|\left(1+i\beta \operatorname {sgn} (u)\left({\frac {2}{\pi }}\right)\ln(|u|)\right)\right)&{\text{if }}\alpha =1\\\exp \left(i\mu u-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}u^{2}\right)&{\text{if }}\alpha =2\end{cases}}}

для некоторых , и . μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} β ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \beta \in [-1,1]}

Темперированные стабильные распределения

Бесконечно делимое распределение называется классическим закалённо устойчивым (CTS) распределением с параметром , если его триплет Леви задаётся соотношением , и ( C 1 , C 2 , λ + , λ − , α ) {\displaystyle (C_{1},C_{2},\lambda _{+},\lambda _{-},\alpha )} ( σ 2 , ν , γ ) {\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )} σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} γ ∈ R {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }

ν ( d x ) = ( C 1 e − λ + x x 1 + α 1 x > 0 + C 2 e − λ − | x | | x | 1 + α 1 x < 0 ) d x , {\displaystyle \nu (dx)=\left({\frac {C_{1}e^{-\lambda _{+}x}}{x^{1+\alpha }}}1_{x>0}+{\frac {C_{2}e^{-\lambda _{-}|x|}}{|x|^{1+\alpha }}}1_{x<0}\right)\,dx,}

где и . C 1 , C 2 , λ + , λ − > 0 {\displaystyle C_{1},C_{2},\lambda _{+},\lambda _{-}>0} α < 2 {\displaystyle \alpha <2}

Это распределение было впервые введено под названием усеченных рейсов Леви [1] и «экспоненциально усеченного устойчивого распределения» [2] . Впоследствии оно было названо укороченным стабильным или распределением KoBoL . [3] В частности, если , то это распределение называется распределением CGMY. [4] C 1 = C 2 = C > 0 {\displaystyle C_{1}=C_{2}=C>0}

Характеристическая функция для закаленного стабильного распределения определяется выражением ϕ C T S {\displaystyle \phi _{CTS}}

ϕ C T S ( u ) = exp ⁡ ( i u μ + C 1 Γ ( − α ) ( ( λ + − i u ) α − λ + α ) + C 2 Γ ( − α ) ( ( λ − + i u ) α − λ − α ) ) , {\displaystyle \phi _{CTS}(u)=\exp \left(iu\mu +C_{1}\Gamma (-\alpha )((\lambda _{+}-iu)^{\alpha }-\lambda _{+}^{\alpha })+C_{2}\Gamma (-\alpha )((\lambda _{-}+iu)^{\alpha }-\lambda _{-}^{\alpha })\right),}

для некоторых . Более того, может быть распространено на регион . μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } ϕ C T S {\displaystyle \phi _{CTS}} { z ∈ C : Im ⁡ ( z ) ∈ ( − λ − , λ + ) } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)\in (-\lambda _{-},\lambda _{+})\}}

Росинский обобщил распределение CTS под названием темперированного стабильного распределения . Распределение KR, которое является подклассом обобщенных темперированных стабильных распределений Росинского, используется в финансах. [5]

Бесконечно делимое распределение называется модифицированным темперированным устойчивым (MTS) распределением с параметром , если его триплет Леви задается соотношением , и ( C , λ + , λ − , α ) {\displaystyle (C,\lambda _{+},\lambda _{-},\alpha )} ( σ 2 , ν , γ ) {\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )} σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} γ ∈ R {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }

ν ( d x ) = C ( q α ( λ + | x | ) x α + 1 1 x > 0 + q α ( λ − | x | ) | x | α + 1 1 x < 0 ) d x , {\displaystyle \nu (dx)=C\left({\frac {q_{\alpha }(\lambda _{+}|x|)}{x^{\alpha +1}}}1_{x>0}+{\frac {q_{\alpha }(\lambda _{-}|x|)}{|x|^{\alpha +1}}}1_{x<0}\right)\,dx,}

где и C , λ + , λ − > 0 , α < 2 {\displaystyle C,\lambda _{+},\lambda _{-}>0,\alpha <2}

q α ( x ) = x α + 1 2 K α + 1 2 ( x ) . {\displaystyle q_{\alpha }(x)=x^{\frac {\alpha +1}{2}}K_{\frac {\alpha +1}{2}}(x).}

Вот модифицированная функция Бесселя второго рода. Распределение MTS не входит в класс обобщенных темперированных устойчивых распределений Розинского. [6] K p ( x ) {\displaystyle K_{p}(x)}

Кластеризация волатильности со стабильными и умеренными стабильными инновациями

Для описания эффекта кластеризации волатильности процесса возврата актива можно использовать модель GARCH . В модели GARCH предполагается, что инновации ( ) , где и где ряды моделируются   ϵ t   {\displaystyle ~\epsilon _{t}~}   ϵ t = σ t z t   {\displaystyle ~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~} z t ∼ i i d   N ( 0 , 1 ) {\displaystyle z_{t}\sim iid~N(0,1)} σ t 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}}

σ t 2 = α 0 + α 1 ϵ t − 1 2 + ⋯ + α q ϵ t − q 2 = α 0 + ∑ i = 1 q α i ϵ t − i 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}}

и где и .   α 0 > 0   {\displaystyle ~\alpha _{0}>0~} α i ≥ 0 ,   i > 0 {\displaystyle \alpha _{i}\geq 0,~i>0}

Однако предположение часто отвергается эмпирически. По этой причине были разработаны новые модели GARCH со стабильными или умеренными стабильными распределенными инновациями. Были введены модели GARCH со стабильными инновациями. [7] [8] [9] Впоследствии были разработаны модели GARCH со умеренными стабильными инновациями. [6] [10] z t ∼ i i d   N ( 0 , 1 ) {\displaystyle z_{t}\sim iid~N(0,1)} α {\displaystyle \alpha }

Возражения против использования стабильных распределений в финансовых моделях приведены в [11] [12].

Примечания

  1. ^ Копонен, И. (1995) «Аналитический подход к проблеме сходимости усеченных полетов Леви к гауссовскому стохастическому процессу», Physical Review E , 52, 1197–1199.
  2. ^ Конт, Р., Поттерс, М. и Бушо, Дж. П. (1997) «Масштабирование данных фондового рынка: стабильные законы и не только», в: Б. Дюбрюлль, Ф. Гранер, Д. Сорнетт (ред.): Масштабная инвариантность и не только, 75-85, Springer.
  3. ^ SI Boyarchenko, SZ Levendorskiǐ (2000) «Оценивание опционов для усеченных процессов Леви», Международный журнал теоретических и прикладных финансов , 3 (3), 549–552
  4. ^ П. Карр, Х. Геман, Д. Мадан, М. Йор (2002) «Тонкая структура доходности активов: эмпирическое исследование», Журнал бизнеса , 75 (2), 305–332.
  5. ^ Ким, YS; Рачев, Светлозар Т.; Бьянки, ML; Фабоцци, FJ (2007) "Новое закаленное стабильное распределение и его применение в финансах". В: Георг Бол, Светлозар Т. Рачев и Рейнольд Вюрт (ред.), Оценка рисков: решения в банковском деле и финансах , Physika Verlag, Springer
  6. ^ ab Kim, YS, Chung, DM, Rachev, Svetlozar T.; ML Bianchi, Модифицированное темперированное стабильное распределение, модели GARCH и ценообразование опционов, Вероятность и математическая статистика , в печати
  7. ^ C. Menn, Svetlozar T. Rachev (2005) «Модель ценообразования опционов GARCH с -стабильными инновациями», Европейский журнал операционных исследований , 163, 201–209 α {\displaystyle \alpha }
  8. ^ C. Menn, Svetlozar T. Rachev (2005) "Smoothly Truncated Stable Distributions, GARCH-Models, and Option Pricing", Технический отчет. Статистика и математические финансы, Школа экономики и бизнес-инженерии, Университет Карлсруэ
  9. ^ Светлозар Т. Рачев, К. Менн, Фрэнк Дж. Фабоцци (2005) Распределения доходности активов с толстыми хвостами и перекошенными значениями: последствия для управления рисками, выбора портфеля и ценообразования опционов , Wiley
  10. ^ Ким, YS; Рачев, Светлозар Т.; Мишель Л. Бьянки, Фабоцци, Ф.Дж. (2008) «Модели финансового рынка с процессами Леви и переменной волатильностью», Журнал банковского дела и финансов , 32 (7), 1363–1378 doi :10.1016/j.jbankfin.2007.11.004
  11. ^ Лев Б. Клебанов, Ирина Волченкова (2015) «Распределения с тяжелыми хвостами в финансах: реальность или миф? Точка зрения любителей», arXiv:1507.07735v1, 1-17.
  12. ^ Лев Б. Клебанов (2016) «Никаких стабильных распределений в финансах, пожалуйста!», arXiv:1601.00566v2, 1-9.

Ссылки

  • BB Mandelbrot (1963) «Новые методы в статистической экономике», Журнал политической экономии , 71, 421-440
  • Светлозар Т. Рачев, Стефан Миттник (2000) Стабильные паретианские модели в финансах , Wiley
  • Г. Самородницкий и М.С. Такку, Устойчивые негауссовские случайные процессы , Chapman & Hall/CRC.
  • С.И. Боярченко, С.З. Левендорский (2000) «Оценивание опционов для усеченных процессов Леви», Международный журнал теоретических и прикладных финансов , 3 (3), 549–552.
  • Я. Росиньски (2007) «Закалка устойчивых процессов», Стохастические процессы и их приложения , 117 (6), 677–707.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Financial_models_with_long-tailed_distributions_and_volatility_clustering&oldid=1250836881"