Бифуркация удвоения периода

В теории динамических систем бифуркация удвоения периода происходит , когда небольшое изменение параметров системы приводит к появлению новой периодической траектории из существующей периодической траектории — новой, имеющей удвоенный период исходной. При удвоенном периоде требуется вдвое больше времени (или, в дискретной динамической системе, вдвое больше итераций) для того, чтобы числовые значения, которые посетила система, повторились.

Бифуркация сокращения периода вдвое происходит, когда система переключается на новое поведение с периодом, равным половине периода исходной системы.

Каскад удвоения периода — это бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода. Такие каскады — это обычный путь, по которому динамические системы развивают хаос. [1] В гидродинамике они являются одним из возможных путей к турбулентности . [2]

Бифуркации уменьшения периода вдвое (L), приводящие к порядку, за которыми следуют бифуркации удвоения периода (R), приводящие к хаосу.

Примеры

Диаграмма бифуркации для логистической карты. Она показывает значения аттрактора , например и , как функцию параметра . х ∗ {\displaystyle x_{*}} х ∗ ′ {\displaystyle x'_{*}} г {\displaystyle r}

Логистическая карта

Логистическая карта​

х н + 1 = г х н ( 1 − х н ) {\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}

где — функция (дискретного) времени . [3] Предполагается, что параметр лежит в интервале , в этом случае ограничен на . х н {\displaystyle x_{n}} н = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots} г {\displaystyle r} [ 0 , 4 ] {\displaystyle [0,4]} х н {\displaystyle x_{n}} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]}

Для значений от 1 до 3 сходится к устойчивой неподвижной точке . Затем, для значений от 3 до 3,44949, сходится к постоянному колебанию между двумя значениями и , которые зависят от . По мере увеличения появляются колебания между 4 значениями, затем 8, 16, 32 и т. д. Эти удвоения периода достигают кульминации при , за пределами которого появляются более сложные режимы. По мере увеличения существуют некоторые интервалы, где большинство начальных значений будут сходиться к одному или небольшому числу устойчивых колебаний, например, вблизи . г {\displaystyle r} х н {\displaystyle x_{n}} х ∗ = ( г − 1 ) / г {\displaystyle x_{*}=(r-1)/r} г {\displaystyle r} х н {\displaystyle x_{n}} х ∗ {\displaystyle x_{*}} х ∗ ′ {\displaystyle x'_{*}} г {\displaystyle r} г {\displaystyle r} г ≈ 3.56995 {\displaystyle r\приблизительно 3,56995} г {\displaystyle r} г = 3.83 {\displaystyle r=3.83}

В интервале, где период равен некоторому положительному целому числу , не все точки на самом деле имеют период . Это отдельные точки, а не интервалы. Говорят, что эти точки находятся на нестабильных орбитах, поскольку соседние точки не приближаются к той же орбите, что и они. 2 н {\displaystyle 2^{n}} н {\displaystyle n} 2 n {\displaystyle 2^{n}}

Квадратичная карта

Действительная версия комплексного квадратичного отображения связана с действительным срезом множества Мандельброта .

  • Каскад удвоения периода в экспоненциальном отображении множества Мандельброта
    Каскад удвоения периода в экспоненциальном отображении множества Мандельброта
  • 1D версия с экспоненциальным отображением
    1D версия с экспоненциальным отображением
  • бифуркация удвоения периода
    бифуркация удвоения периода

Уравнение Курамото–Сивашинского

Удвоение периода в уравнении Курамото–Сивашинского с периодическими граничными условиями. Кривые изображают решения уравнения Курамото–Сивашинского, спроецированные на энергетическую фазовую плоскость (E, dE/dt) , где E — L 2 -норма решения. Для ν = 0,056 существует периодическая орбита с периодом T ≈ 1,1759. Вблизи ν ≈ 0,0558 это решение распадается на 2 орбиты, которые далее разделяются по мере уменьшения ν . Точно при переходном значении ν новая орбита (красный пунктир) имеет удвоенный период исходной. (Однако при дальнейшем увеличении ν отношение периодов отклоняется от точно 2.)

Уравнение Курамото –Сивашинского является примером пространственно-временной непрерывной динамической системы, которая демонстрирует удвоение периода. Это одно из наиболее хорошо изученных нелинейных уравнений в частных производных , первоначально введенное как модель распространения фронта пламени. [4]

Одномерное уравнение Курамото–Сивашинского имеет вид

u t + u u x + u x x + ν u x x x x = 0 {\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xx}+\nu \,u_{xxxx}=0}

Обычным выбором для граничных условий является пространственная периодичность: . u ( x + 2 π , t ) = u ( x , t ) {\displaystyle u(x+2\pi ,t)=u(x,t)}

При больших значениях , эволюционирует в сторону устойчивых (не зависящих от времени) решений или простых периодических орбит. По мере уменьшения динамика в конечном итоге переходит в хаос. Переход от порядка к хаосу происходит через каскад бифуркаций удвоения периода, [5] [6] одна из которых проиллюстрирована на рисунке. ν {\displaystyle \nu } u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} ν {\displaystyle \nu }

Логистическая карта для модифицированной кривой Филлипса

Рассмотрим следующую логистическую карту для модифицированной кривой Филлипса :

π t = f ( u t ) + b π t e {\displaystyle \pi _{t}=f(u_{t})+b\pi _{t}^{e}}

π t + 1 = π t e + c ( π t − π t e ) {\displaystyle \pi _{t+1}=\pi _{t}^{e}+c(\pi _{t}-\pi _{t}^{e})}

f ( u ) = β 1 + β 2 e − u {\displaystyle f(u)=\beta _{1}+\beta _{2}e^{-u}\,}

b > 0 , 0 ≤ c ≤ 1 , d f d u < 0 {\displaystyle b>0,0\leq c\leq 1,{\frac {df}{du}}<0}

где :

  • π {\displaystyle \pi } это фактическая инфляция
  • π e {\displaystyle \pi ^{e}} ожидаемая инфляция,
  • u — уровень безработицы,
  • m − π {\displaystyle m-\pi } темп роста денежной массы .

Сохраняясь и изменяясь , система претерпевает бифуркации удвоения периода и в конечном итоге становится хаотичной. [ необходима цитата ] β 1 = − 2.5 ,   β 2 = 20 ,   c = 0.75 {\displaystyle \beta _{1}=-2.5,\ \beta _{2}=20,\ c=0.75} b {\displaystyle b}

Экспериментальное наблюдение

Удвоение периода наблюдалось в ряде экспериментальных систем. [7] Также имеются экспериментальные доказательства каскадов удвоения периода. Например, последовательности из 4 удвоений периода наблюдались в динамике конвективных валиков в воде и ртути . [8] [9] Аналогично, 4-5 удвоений наблюдались в некоторых нелинейных электронных схемах . [10] [11] [12] Однако экспериментальная точность, необходимая для обнаружения i-го события удвоения в каскаде, экспоненциально возрастает с i , что затрудняет наблюдение более 5 событий удвоения в каскаде. [13]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Аллигуд (1996) и др., стр. 532
  2. ^ Торн, Кип С.; Блэндфорд, Роджер Д. (2017). Современная классическая физика: оптика, жидкости, плазма, упругость, теория относительности и статистическая физика . Princeton University Press. стр. 825–834. ISBN 9780691159027.
  3. ^ Строгац (2015), стр. 360–373.
  4. ^ Калогиру, А.; Кивени, Э.Э.; Папагеоргиу, Д.Т. (2015). «Углубленное численное исследование двумерного уравнения Курамото–Сивашинского». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 471 (2179): 20140932. Bibcode : 2015RSPSA.47140932K. doi : 10.1098/rspa.2014.0932. ISSN  1364-5021. PMC 4528647. PMID 26345218  . 
  5. ^ Smyrlis, YS; Papageorgiou, DT (1991). «Предсказание хаоса для бесконечномерных динамических систем: уравнение Курамото-Сивашинского, пример». Труды Национальной академии наук . 88 (24): 11129–11132. Bibcode : 1991PNAS...8811129S. doi : 10.1073/pnas.88.24.11129 . ISSN  0027-8424. PMC 53087. PMID 11607246  . 
  6. ^ Папагеоргиу, Д.Т.; Смирлис, Я.С. (1991), «Путь к хаосу для уравнения Курамото-Сивашинского», Теоретическая и вычислительная гидродинамика , 3 (1): 15–42, Bibcode : 1991ThCFD...3...15P, doi : 10.1007/BF00271514, hdl : 2060/19910004329 , ISSN  1432-2250, S2CID  116955014
  7. ^ см. обзор Strogatz (2015)
  8. ^ Джильо, Марцио; Мусацци, Серджио; Перини, Умберто (1981). «Переход к хаотическому поведению через воспроизводимую последовательность бифуркаций удвоения периода». Physical Review Letters . 47 (4): 243–246. Bibcode : 1981PhRvL..47..243G. doi : 10.1103/PhysRevLett.47.243. ISSN  0031-9007.
  9. ^ Либхабер, А.; Ларош, К.; Фов, С. (1982). «Каскад удвоения периода в ртути, количественное измерение» (PDF) . Journal de Physique Lettres . 43 (7): 211–216. doi :10.1051/jphyslet:01982004307021100. ISSN  0302-072X.
  10. ^ Линсей, Пол С. (1981). «Удвоение периода и хаотическое поведение в управляемом ангармоническом осцилляторе». Physical Review Letters . 47 (19): 1349–1352. Bibcode : 1981PhRvL..47.1349L. doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1349. ISSN  0031-9007.
  11. ^ Теста, Джеймс; Перес, Хосе; Джеффрис, Карсон (1982). «Доказательства универсального хаотического поведения управляемого нелинейного осциллятора». Physical Review Letters . 48 (11): 714–717. Bibcode : 1982PhRvL..48..714T. doi : 10.1103/PhysRevLett.48.714. ISSN  0031-9007.
  12. ^ Arecchi, FT; Lisi, F. (1982). «Прыжковый механизм, генерирующий шум в нелинейных системах». Physical Review Letters . 49 (2): 94–98. Bibcode : 1982PhRvL..49...94A. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.94. ISSN  0031-9007.
  13. ^ Строгац (2015), стр. 360–373.

Ссылки

  • Alligood, Kathleen T.; Sauer, Tim; Yorke, James (1996). Хаос: Введение в динамические системы . Учебники по математическим наукам. Springer-Verlag New York. doi :10.1007/0-387-22492-0_3. ISBN 978-0-387-94677-1. ISSN  1431-9381.
  • Джильо, Марцио; Мусацци, Серджио; Перини, Умберто (1981). «Переход к хаотическому поведению через воспроизводимую последовательность бифуркаций удвоения периода». Physical Review Letters . 47 (4): 243–246. Bibcode :1981PhRvL..47..243G. doi :10.1103/PhysRevLett.47.243. ISSN  0031-9007.
  • Kalogirou, A.; Keaveny, EE; Papageorgiou, DT (2015). "Углубленное численное исследование двумерного уравнения Курамото–Сивашинского". Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 471 (2179): 20140932. Bibcode : 2015RSPSA.47140932K. doi : 10.1098/rspa.2014.0932. ISSN  1364-5021. PMC 4528647.  PMID 26345218  .
  • Кузнецов, Юрий А. (2004). Элементы прикладной теории бифуркации . Прикладные математические науки. Т. 112 (3-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-21906-4. Збл  1082.37002.
  • Либхабер, А.; Ларош, К.; Фов, С. (1982). «Каскад удвоения периода в ртути, количественное измерение» (PDF) . Journal de Physique Lettres . 43 (7): 211–216. doi :10.1051/jphyslet:01982004307021100. ISSN  0302-072X.
  • Папагеоргиу, Д.Т.; Смирлис, Я.С. (1991), «Путь к хаосу для уравнения Курамото-Сивашинского», Теор. вычисл. гидродинамика , 3 (1): 15–42, Bibcode : 1991ThCFD...3...15P, doi : 10.1007/BF00271514, hdl : 2060/19910004329 , ISSN  1432-2250, S2CID  116955014
  • Smyrlis, YS; Papageorgiou, DT (1991). «Предсказание хаоса для бесконечномерных динамических систем: уравнение Курамото-Сивашинского, пример». Труды Национальной академии наук . 88 (24): 11129–11132. Bibcode : 1991PNAS...8811129S. doi : 10.1073/pnas.88.24.11129 . ISSN  0027-8424. PMC 53087.  PMID 11607246  .
  • Строгац, Стивен (2015). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике (2-е изд.). CRC Press. ISBN 978-0813349107.
  • Cheung, PY; Wong, AY (1987). «Хаотическое поведение и удвоение периода в плазме». Physical Review Letters . 59 (5): 551–554. Bibcode :1987PhRvL..59..551C. doi :10.1103/PhysRevLett.59.551. ISSN  0031-9007. PMID  10035803.
  • Связь каскадов удвоения периода с хаосом
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Period-doubling_bifurcation&oldid=1221894499"