Магнитозвуковая волна

Тип низкочастотной волны сжатия

В физике магнитозвуковые волны , также известные как магнитоакустические волны , представляют собой низкочастотные компрессионные волны, вызываемые взаимным взаимодействием электропроводящей жидкости и магнитного поля . Они связаны со сжатием и разрежением как жидкости, так и магнитного поля, а также с эффективным натяжением , которое выпрямляет изогнутые линии магнитного поля. Свойства магнитозвуковых волн сильно зависят от угла между волновым вектором и равновесным магнитным полем и от относительной важности жидкостных и магнитных процессов в среде. Они распространяются только с частотами, намного меньшими ионно-циклотронных или ионно-плазменных частот среды, и они недисперсионны при малых амплитудах.

Существует два типа магнитозвуковых волн, быстрые магнитозвуковые волны и медленные магнитозвуковые волны , которые — вместе с волнами Альвена — являются нормальными модами идеальной магнитогидродинамики. Быстрые и медленные моды различаются магнитными и газовыми колебаниями давления, которые либо синфазны , либо противофазны соответственно. Это приводит к тому, что фазовая скорость любой данной быстрой моды всегда больше или равна скорости любой медленной моды в той же среде, среди прочих отличий.

Магнитозвуковые волны наблюдаются в короне Солнца и обеспечивают наблюдательную основу для корональной сейсмологии .

Характеристики

Магнитозвуковые волны — это тип низкочастотных волн, присутствующих в электропроводящих, намагниченных жидкостях, таких как плазма и жидкие металлы . Они существуют на частотах, значительно ниже циклотронных и плазменных частот как ионов, так и электронов в среде (см. Параметры плазмы § Частоты ).

В идеальной, однородной, электропроводящей, намагниченной жидкости бесконечной протяженности существуют две магнитозвуковые моды: быстрая и медленная. Они образуют вместе с волной Альвена три основные линейные магнитогидродинамические (МГД) волны. В этом режиме магнитозвуковые волны недисперсионны при малых амплитудах.

Дисперсионное соотношение

Быстрые и медленные магнитозвуковые волны определяются биквадратичным дисперсионным соотношением , которое можно вывести из линеаризованных уравнений МГД.

Вывод из линеаризованных уравнений МГД ^[1]^[2]^[3]

В идеальной электропроводящей жидкости с однородным магнитным полем $B$ замкнутая система уравнений МГД, состоящая из уравнения движения, уравнения непрерывности, уравнения состояния и уравнения идеальной индукции (см. Магнитная гидродинамика § Уравнения ), линеаризованная относительно стационарного равновесия, где давление $p$ и плотность $ρ$ однородны и постоянны, имеет вид:

\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {v} _{1}}{\partial t}}={\frac {(\nabla \times \mathbf {B} _{1} )\times \mathbf {B} _{0}}{\mu _{0}}}-\nabla p_{1},

{\frac {\partial \rho _{1}}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} _{1}=0,

{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {p_{1}}{p_{0}}}-{\frac {\gamma \rho _{1}}{\rho _{0}}}\right)=0,

{\frac {\partial \mathbf {B} _{1}}{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {B} _{0}),

где равновесные величины имеют индексы 0, возмущения имеют индексы 1, $γ$ — показатель адиабатичности , а $μ 0$ — проницаемость вакуума . При поиске решения в виде суперпозиции плоских волн, которые изменяются как $exp[i (k \cdot x - ωt)]$ с волновым вектором $k$ и угловой частотой $ω$ , линеаризованное уравнение движения можно переписать как

-\omega \rho _{0}\mathbf {v} _{1}={\frac {(\mathbf {k} \times \mathbf {B} _{1})\times \mathbf {B } _{0}}{\mu _{0}}}-\mathbf {k} p_{1}.

И предположив, что $ω \neq 0$ , оставшиеся уравнения можно решить для возмущенных величин в терминах $v 1$ :

\rho _{1}=\rho _{0}{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1}}{\omega }},

p_{1}=\gamma p_{0}{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1}}{\omega }},

\mathbf {B} _{1} = {\frac {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1})\mathbf {B} _{0} - (\mathbf {k } \cdot \mathbf {B} _{0})\mathbf {v} _{1}}{\omega }}.

Без потери общности можно предположить, что ось $z$ ориентирована вдоль $B 0$ и что волновой вектор $k$ лежит в плоскости $xz$ с компонентами $k ∥$ и $k ⊥ ,$ параллельными и перпендикулярными $B 0$ , соответственно. Уравнение движения после подстановки возмущенных величин сводится к уравнению на собственные значения

{\begin{pmatrix}\omega ^{2}-v_{A}^{2}k^{2}-c_{s}^{2}k_{\perp }^{2}&0&-c_{s}^{2}k_{\parallel }k_{\perp }\\0&\omega ^{2}-v_{A}^{2}k_{\parallel }^{2}&0\\-c_{s}^{2}k_{\parallel }k_{\perp }&0&\omega ^{2}-c_{s}^{2}k_{\parallel }^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x1}\\v_{y1}\\v_{z1}\end{pmatrix}}=\mathbf {0}

где $c s = \sqrt γp 0 / ρ 0$ — скорость звука , а $v A = B 0 / \sqrt μ 0 ρ 0$ — скорость Альвена . Приравнивая определитель к нулю, получаем дисперсионное соотношение

\left(\omega ^{2}-v_{A}^{2}k_{\parallel }^{2}\right)\left(\omega ^{4}-\omega ^{2}k^{2}c_{ms}^{2}+k^{2}k_{\parallel }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}\right)=0

где

\textstyle c_{ms}={\sqrt {v_{A}^{2}+c_{s}^{2}}}

- магнитозвуковая скорость . Это дисперсионное соотношение имеет три независимых корня: один соответствует альвеновской волне, а два других соответствуют магнитозвуковым модам. Из уравнения собственных значений y -компонента возмущения скорости отделяется от двух других компонентов, давая дисперсионное соотношение $ω 2 А = в 2 А к 2 ∥$ для волны Альвена. Оставшееся биквадратное уравнение

\omega ^{4}-\omega ^{2}k^{2}c_{ms}^{2}+k^{2}k_{\parallel}^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}=0

— дисперсионное соотношение для быстрых и медленных магнитозвуковых мод. Имеет корни

\omega ^{2}={\frac {k^{2}}{2}}\left(c_{ms}^{2}\pm {\sqrt {c_{ms}^{4}-4k_{\parallel }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}/k^{2}}}\right)

где верхний знак соответствует быстрой магнитозвуковой моде, а нижний знак соответствует медленной магнитозвуковой моде.

Фазовые и групповые скорости

Фазовые скорости быстрых и медленных магнитозвуковых волн зависят от угла $θ$ между волновым вектором $k$ и равновесным магнитным полем $B 0 ,$ а также от равновесной плотности, давления и напряженности магнитного поля. Из корней магнитозвукового дисперсионного соотношения соответствующие фазовые скорости могут быть выражены как

в \pm

^{2}={\frac {\omega ^{2}}{k^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(c_{ms}^{2}\pm {\sqrt {c_{ms}^{4}-4v_{A}^{2}c_{s}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)

где верхний знак дает фазовую скорость $v +$ быстрой моды, а нижний знак дает фазовую скорость $v -$ медленной моды.

Фазовая скорость быстрой моды всегда больше или равна , что больше или равно скорости медленной моды, $v$ $+$ $v$ $-$ . Это происходит из-за различий в знаках возмущений теплового и магнитного давления , связанных с каждой модой. Возмущение магнитного давления можно выразить через возмущение теплового давления $p$ $1$ и фазовую скорость как ${\frac {c_{ms}}{\sqrt {2}}}$ $\geq {\frac {c_{ms}}{\sqrt {2}}}\geq$ $p_{m1}={\mathbf {B}}_{0}\cdot {\mathbf {B}}_{1}/\mu _{0}$

p_{m1}={\frac {v_{A}^{2}}{c_{s}^{2}}}\left(1-{\frac {c_{s}^{2}\cos ^{2}\theta }{v_{\pm }^{2}}}\right)p_{1}.

Для быстрого режима $v 2 + > с 2 с cos 2 θ$ , поэтому возмущения магнитного и теплового давления имеют совпадающие знаки. Наоборот, для медленной моды $v 2 - < с 2 с cos 2 θ$ , поэтому магнитные и тепловые возмущения давления имеют противоположные знаки. Другими словами, два возмущения давления усиливают друг друга в быстром режиме, но противостоят друг другу в медленном режиме. В результате быстрая мода распространяется с большей скоростью, чем медленная мода. ^[2]

Групповая скорость $v g \pm$ быстрых и медленных магнитозвуковых волн определяется выражением

\mathbf {v} _{g\pm }={\frac {d\omega }{d\mathbf {k} }}={\hat {k}}\,v_{\pm }+{\hat {\theta }}{\frac {\partial v_{\pm }}{\partial \theta }}

где $\land к$ и $\land θ$ являются локальными ортогональными единичными векторами в направлении $k$ и в направлении увеличения $θ$ соответственно. В сферической системе координат с осью $z$ вдоль невозмущенного магнитного поля эти единичные векторы соответствуют единичным векторам в направлении увеличения радиального расстояния и увеличения полярного угла. ^[2]^[4]

Предельные случаи

Несжимаемая жидкость

В несжимаемой жидкости возмущения плотности и давления исчезают, $ρ 1 = 0$ и $p 1 = 0$ , в результате чего скорость звука стремится к бесконечности, $c s \to \infty$ . В этом случае медленная мода распространяется с альфвеновской скоростью, $ω 2 сл = ω 2 А$ , и быстрая мода исчезает из системы, $ω 2 ф \to \infty$ .

Холодный предел

При предположении, что фоновая температура равна нулю, из закона идеального газа следует , что тепловое давление также равно нулю, $p 0 = 0$ , и, как следствие, скорость звука обращается в нуль, $c s = 0.$ В этом случае медленная мода исчезает из системы, $ω 2 сл = 0$ , а быстрая мода распространяется изотропно со скоростью Альвена, $ω 2 ф = к 2 в 2 А$ . В этом пределе быстрый режим иногда называют компрессионной альфвеновской волной .

Параллельное распространение

Когда волновой вектор и равновесное магнитное поле параллельны, $θ \to 0$ , быстрая и медленная моды распространяются либо как чистая звуковая волна, либо как чистая волна Альвена, причем быстрая мода отождествляется с большей из двух скоростей, а медленная мода — с меньшей.

Перпендикулярное распространение

Когда волновой вектор и равновесное магнитное поле перпендикулярны, $θ \to π /2$ , быстрая мода распространяется как продольная волна с фазовой скоростью, равной магнитозвуковой скорости, а медленная мода распространяется как поперечная волна с фазовой скоростью, приближающейся к нулю. ^[5]^[6]

Неоднородная жидкость

В случае неоднородных жидкостей (то есть жидкости, где хотя бы одна из фоновых величин не является постоянной) МГД-волны теряют свою определяющую природу и приобретают смешанные свойства. ^[7] В некоторых установках, таких как осесимметричные волны в прямом цилиндре с круговым основанием (одна из простейших моделей корональной петли ), три МГД-волны все еще можно четко различить. Но в целом чистые альфвеновские и быстрые и медленные магнитозвуковые волны не существуют, и волны в жидкости связаны друг с другом сложным образом.

Наблюдения

В солнечной короне наблюдались как быстрые, так и медленные магнитозвуковые волны, что обеспечило наблюдательную основу для метода диагностики корональной плазмы, корональной сейсмологии . ^[8]

Смотрите также

Ссылки

^ Goossens, Marcel (2003). Введение в плазменную астрофизику и магнитогидродинамику . Библиотека астрофизики и космической науки. Том 294. Дордрехт: Springer Netherlands. doi :10.1007/978-94-007-1076-4. ISBN 978-1-4020-1433-8.
^ abc Bellan, Paul Murray (2006). Основы физики плазмы . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0521528003.
^ Сомов, Борис В. (2012). Плазменная астрофизика, часть I: основы и практика (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4614-4283-7.
^ Хуан, YC; Лю, LH (1 сентября 2019 г.). «Атлас волн средней частоты в ионно-электронной двухжидкостной плазме». Физика плазмы . 26 (9). Bibcode : 2019PhPl...26i2102H. doi : 10.1063/1.5110991 .
^ Паркер, EN (1979). Космические магнитные поля: их происхождение и их активность (Oxford Classics Series ed.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-882996-6.
^ Накаряков, В. М. (27 августа 2020 г.). «Магнитогидродинамические волны». Oxford Research Encyclopedia of Physics . doi :10.1093/acrefore/9780190871994.013.7. ISBN 978-0-19-087199-4.
^ Goossens, Marcel L.; Arregui, Inigo; Van Doorsselaere, Tom (2019-04-11). "Смешанные свойства МГД-волн в неоднородной плазме". Frontiers in Astronomy and Space Sciences . 6 : 20. Bibcode :2019FrASS...6...20G. doi : 10.3389/fspas.2019.00020 . ISSN 2296-987X.
^ Накаряков, В.М.; Вервихте, Э. (2005). «Корональные волны и колебания». Living Rev. Sol. Phys . 2 (1): 3. Bibcode :2005LRSP....2....3N. doi : 10.12942/lrsp-2005-3 . S2CID 123211890.

[1] Goossens, Marcel (2003). Введение в плазменную астрофизику и магнитогидродинамику . Библиотека астрофизики и космической науки. Том 294. Дордрехт: Springer Netherlands. doi :10.1007/978-94-007-1076-4. ISBN 978-1-4020-1433-8.

[bellan06-2] Bellan, Paul Murray (2006). Основы физики плазмы . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0521528003.

[3] Сомов, Борис В. (2012). Плазменная астрофизика, часть I: основы и практика (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4614-4283-7.

[4] Хуан, YC; Лю, LH (1 сентября 2019 г.). «Атлас волн средней частоты в ионно-электронной двухжидкостной плазме». Физика плазмы . 26 (9). Bibcode : 2019PhPl...26i2102H. doi : 10.1063/1.5110991 .

[parker19-5] Паркер, EN (1979). Космические магнитные поля: их происхождение и их активность (Oxford Classics Series ed.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-882996-6.

[6] Накаряков, В. М. (27 августа 2020 г.). «Магнитогидродинамические волны». Oxford Research Encyclopedia of Physics . doi :10.1093/acrefore/9780190871994.013.7. ISBN 978-0-19-087199-4.

[7] Goossens, Marcel L.; Arregui, Inigo; Van Doorsselaere, Tom (2019-04-11). "Смешанные свойства МГД-волн в неоднородной плазме". Frontiers in Astronomy and Space Sciences . 6 : 20. Bibcode :2019FrASS...6...20G. doi : 10.3389/fspas.2019.00020 . ISSN 2296-987X.

[8] Накаряков, В.М.; Вервихте, Э. (2005). «Корональные волны и колебания». Living Rev. Sol. Phys . 2 (1): 3. Bibcode :2005LRSP....2....3N. doi : 10.12942/lrsp-2005-3 . S2CID 123211890.