фактор Фано
Концепция статистики

В статистике фактор Фано [1] , как и коэффициент вариации , является мерой дисперсии процесса подсчета . Первоначально он использовался для измерения шума Фано в детекторах ионов. Он назван в честь Уго Фано , итало-американского физика.

Фактор Фано по истечении времени определяется как т {\displaystyle т}

Ф ( т ) = σ т 2 μ т , {\displaystyle F(t)={\frac {\sigma _{t}^{2}}{\mu _{t}}},}

где — стандартное отклонение , а — среднее число событий процесса подсчета после некоторого времени . Фактор Фано можно рассматривать как своего рода отношение шума к сигналу; это мера надежности, с которой можно оценить случайную величину времени ожидания после нескольких случайных событий . σ т {\displaystyle \сигма _{т}} μ т {\displaystyle \mu _{t}} т {\displaystyle т}

Для процесса подсчета Пуассона дисперсия в подсчете равна среднему подсчету, поэтому . Ф = 1 {\displaystyle F=1}

Определение

Для процесса подсчета фактор Фано по истечении времени определяется как, Н т {\displaystyle N_{т}} т > 0 {\displaystyle т>0}

Ф ( т ) = Вар ⁡ ( Н т ) Э ⁡ [ Н т ] . {\displaystyle F(t)={\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}.}

Иногда долгосрочный предел также называют фактором Фано,

Ф = лим т → ∞ Ф ( т ) . {\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }F(t).}

Для процесса обновления с временем удержания, распределенным подобно случайной величине , мы имеем, что, С {\displaystyle S}

Ф = лим т → ∞ Ф ( т ) = лим т → ∞ Вар ⁡ ( Н т ) Э ⁡ [ Н т ] = Вар ⁡ ( С ) Э ⁡ [ С ] 2 . {\displaystyle F=\lim _{t\to \infty}F(t)=\lim _{t\to \infty}}{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (S)}{\operatorname {E} [S]^{2}}}.} [2]

Поскольку правая часть уравнения равна квадрату коэффициента вариации , правую часть этого уравнения иногда называют также фактором Фано. [3] с в 2 = Вар ⁡ ( С ) / Э ⁡ [ С ] 2 {\displaystyle c_{v}^{2}=\operatorname {Var} (S)/\operatorname {E} [S]^{2}}

Интерпретация

Если рассматривать фактор Фано как дисперсию числа, то он примерно соответствует ширине пика . Таким образом, фактор Фано часто интерпретируется как непредсказуемость лежащего в основе процесса. Ф {\displaystyle F} Н т {\displaystyle N_{т}}

Пример: постоянная случайная величина

Когда время удержания постоянно, то . Таким образом, если то мы интерпретируем процесс обновления как весьма предсказуемый. Ф = 0 {\displaystyle F=0} Ф ≈ 0 {\displaystyle F\приблизительно 0}

Пример: процесс подсчета Пуассона

Когда вероятность события, происходящего в любом интервале времени, одинакова для всего времени, то время удержания должно быть распределено экспоненциально, давая процесс подсчета Пуассона , для которого . Ф = 1 {\displaystyle F=1}

Использование для обнаружения частиц

В детекторах частиц фактор Фано возникает из-за потери энергии при столкновении, которое не является чисто статистическим. Процесс, приводящий к появлению каждого отдельного носителя заряда, не является независимым, поскольку число способов, которыми атом может быть ионизирован, ограничено дискретными электронными оболочками. Конечным результатом является лучшее энергетическое разрешение, чем предсказывалось чисто статистическими соображениями. Например, если w — средняя энергия частицы, необходимая для создания носителя заряда в детекторе, то относительное разрешение FWHM для измерения энергии частицы E равно: [4]

Р = Ф Вт ЧАС М μ = 2.35 Ф ж Э , {\displaystyle R={\frac {\mathrm {FWHM} {\mu }}=2,35 {\sqrt {\frac {Fw}{E}}},}

где коэффициент 2,35 связывает стандартное отклонение с полушириной на половине высоты.

Фактор Фано зависит от материала. Некоторые теоретические значения: [5]

Си:0,115 (обратите внимание на несоответствие экспериментальному значению)
Ге:0,13 [6]
GaAs:0,12 [7]
Алмаз:0,08

Измерение фактора Фано затруднено, поскольку на разрешение влияют многие факторы, но некоторые экспериментальные значения следующие:

Си:0,128 ± 0,001 [8] (при 5,9 кэВ) / 0,159 ± 0,002 (при 122 кэВ) [8]
Ar (газ):0,20 ± 0,01/0,02 [9]
Xe (газ):0,13–0,29 [10]
чешских крон :0,089 ± 0,005 [11]

Использование в нейронауке

Фактор Фано используется в нейронауке для описания изменчивости нейронных спайков. [12] В этом контексте событиями являются нейронные спайковые события, а временем удержания являются интервалы между спайками (ISI). Часто используется предельное определение фактора Фано, для которого,

Ф = лим т → ∞ Вар ⁡ ( Н т ) Э ⁡ [ Н т ] = Вар ⁡ ( я С я ) ( Э ⁡ [ я С я ] ) 2 = С В 2 , {\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (ISI)}{(\operatorname {E} [ISI])^{2}}}=CV^{2},}

где - коэффициент вариации ИСИ. С В {\displaystyle Резюме}

Обнаружено, что некоторые нейроны имеют различные распределения ISI, что означает, что процесс подсчета больше не является процессом обновления. Вместо этого используется процесс обновления Маркова. В случае, если у нас есть только два состояния Маркова с равными вероятностями перехода , мы имеем, что предел выше снова сходится, [13] где представляет собой среднее значение для ISI соответствующего состояния. п {\displaystyle p} Ф = 2 С В 2 2 μ 1 2 + С В 1 2 μ 2 2 ( μ 1 + μ 2 ) 2 + ( 1 п − 1 ) ( μ 1 − μ 2 ) 2 ( μ 1 + μ 2 ) 2 , {\displaystyle F=2{\frac {CV_{2}^{2}\mu _{1}^{2}+CV_{1}^{2}\mu _{2}^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}}+\left({\frac {1}{p}}-1\right){\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}},} μ {\displaystyle \мю}

Хотя большинство работ предполагает постоянный фактор Фано, в недавних работах рассматривались нейроны с непостоянными факторами Фано. [14] В этом случае обнаружено, что непостоянные факторы Фано могут быть достигнуты путем введения как шума, так и нелинейности в скорость базового процесса Пуассона.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Фано, У. (1947). «Ионизационный выход излучений. II. Флуктуации числа ионов». Physical Review . 72 (1): 26– 29. Bibcode : 1947PhRv...72...26F. doi : 10.1103/PhysRev.72.26.
  2. ^ Кокс, Д. Р. (1962). Теория обновления .
  3. ^ Шуай, Дж. В.; Цзэн, С.; Юнг, П. (2002). «Когерентный резонанс: об использовании и злоупотреблении фактором Фано». Fluct. Noise Lett . 02 (3): L139 – L146 . doi :10.1142/S0219477502000749.
  4. ^ Лео, В. Р. (1987). Методы проведения экспериментов по ядерной физике и физике элементарных частиц: практический подход . Springer-Verlag. С. 109–125. ISBN 978-3-540-17386-1.
  5. ^ Alig, R.; Bloom, S.; Struck, C. (1980). «Рассеяние ионизацией и испускание фононов в полупроводниках». Physical Review B. 22 ( 12): 5565. Bibcode : 1980PhRvB..22.5565A. doi : 10.1103/PhysRevB.22.5565.
  6. ^ HR Bilger Phys. Rev. 163, 238 (1967)
  7. ^ Г. Бертуччо, Д. Майокки J. Appl. Физика, 92 (2002), с. 1248
  8. ^ ab Котов, IV; Нил, Х.; О'Коннор, П. (2018-09-01). "Энергия создания пар и фактор Фано кремния, измеренные при 185 К с использованием рентгеновских лучей 55Fe". Ядерные приборы и методы в физических исследованиях. Раздел A: Ускорители, спектрометры, детекторы и сопутствующее оборудование . 901 : 126–132 . doi : 10.1016/j.nima.2018.06.022 . ISSN  0168-9002.
  9. ^ Kase, M.; Akioka, T.; Mamyoda, H.; Kikuchi, J.; Doke, T. (1984). "Фактор Фано в чистом аргоне". Ядерные приборы и методы в физических исследованиях. Раздел A: Ускорители, спектрометры, детекторы и сопутствующее оборудование . 227 (2): 311. Bibcode : 1984NIMPA.227..311K. doi : 10.1016/0168-9002(84)90139-6.
  10. ^ Do Carmo, SJC; Borges, FIGM; Vinagre, FLR; Conde, CAN (2008). "Экспериментальное исследование -значений и факторов Фано газообразного ксенона и смесей Ar-Xe для рентгеновских лучей". IEEE Transactions on Nuclear Science . 55 (5): 2637. Bibcode : 2008ITNS...55.2637D. doi : 10.1109/TNS.2008.2003075. S2CID  43581597. ж {\displaystyle w}
  11. ^ Редус, Р.Х.; Пантазис, Дж.А.; Хубер, AC; Иорданов, В.Т.; Батлер, Дж. Ф.; Апотовский, Б. (2011). «Определение фактора Фано для CZT». Дело МРС . 487 . дои : 10.1557/PROC-487-101.
  12. ^ Даян, Питер; Эбботт, Л. Ф. (2001). Теоретическая нейронаука .
  13. ^ Болл, Ф.; Милн, Р.К. (2005). «Простые выводы свойств счетных процессов, связанных с процессами восстановления Маркова». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  14. ^ Чарльз, Адам С.; Парк; Уэллер; Хорвиц; Пиллоу (2018). «Свержение фактора Фано: гибкий подход на основе моделей к разделению нейронной изменчивости». Neural Computation . 30 (4): 1012– 1045. doi :10.1162/neco_a_01062. PMC 6558056 . PMID  29381442. 
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fano_factor&oldid=1227911597"