Факторная группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный nilpotent solvable Glossary of group theory List of group theory topics
Finite groups Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

Фактор -группа или фактор-группа — это математическая группа, полученная путем агрегирования подобных элементов большей группы с использованием отношения эквивалентности , которое сохраняет часть структуры группы (остальная часть структуры «выносится за скобки»). Например, циклическая группа сложения по модулю n может быть получена из группы целых чисел при сложении путем идентификации элементов, которые отличаются на кратное и определения структуры группы, которая работает с каждым таким классом (известным как класс конгруэнтности ) как с единой сущностью. Это часть математической области, известной как теория групп .${\displaystyle n}$

Для отношения конгруэнтности на группе класс эквивалентности элемента тождества всегда является нормальной подгруппой исходной группы, а другие классы эквивалентности являются в точности смежными классами этой нормальной подгруппы. Результирующее частное записывается как ⁠ ⁠${\displaystyle G\,/\,N}$ , где — исходная группа, а — нормальная подгруппа. Это читается как ' ⁠ ⁠ ', где — сокращение от modulo . (Обозначение ⁠ ⁠ следует интерпретировать с осторожностью, поскольку некоторые авторы (например, Винберг ^[1] ) используют его для представления левых смежных классов по в для любой подгруппы , даже если эти смежные классы не образуют группу, если не является нормальным в . Другие (например, Даммит и Фут ^[2] ) используют это обозначение только для обозначения фактор-группы, причем появление этого обозначения подразумевает нормальность в .)${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G{\bmod {N}}}$${\displaystyle {\mbox{mod}}}$${\displaystyle G\,/\,H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

Значительная часть важности фактор-групп вытекает из их связи с гомоморфизмами . Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ любой группы G при гомоморфизме всегда изоморфен фактору . В частности , образ при гомоморфизме изоморфен , где обозначает ядро ​​⁠ ⁠ .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :G\rightarrow H}$${\displaystyle G\,/\,\ker(\varphi )}$${\displaystyle \ker(\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$

Двойственное понятие фактор-группы — это подгруппа , это два основных способа формирования меньшей группы из большей. Любая нормальная подгруппа имеет соответствующую фактор-группу, образованную из большей группы путем устранения различия между элементами подгруппы. В теории категорий фактор - группы являются примерами фактор-объектов , которые являются двойственными к подобъектам .

Если заданы группа и подгруппа , а также фиксированный элемент , можно рассмотреть соответствующий левый смежный класс : ⁠ ⁠ . Смежные классы — это естественный класс подмножеств группы; например, рассмотрим абелеву группу G целых чисел , с операцией, определяемой обычным сложением, и подгруппу четных целых чисел. Тогда существует ровно два смежных класса: ⁠ ⁠ , которые являются четными целыми числами, и ⁠ ⁠ , которые являются нечетными целыми числами (здесь мы используем аддитивную запись для бинарной операции вместо мультипликативной записи).${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle aH:=\left\{ah:h\in H\right\}}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle 0+H}$${\displaystyle 1+H}$

Для общей подгруппы ⁠ ⁠${\displaystyle H}$ желательно определить совместимую групповую операцию на множестве всех возможных смежных классов, ⁠ ⁠${\displaystyle \left\{aH:a\in G\right\}}$ . Это возможно именно тогда, когда является нормальной подгруппой, см. ниже. Подгруппа группы является нормальной тогда и только тогда, когда равенство смежных классов выполняется для всех ⁠ ⁠ . Нормальная подгруппа группы обозначается ⁠ ⁠ .${\displaystyle H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle aN=Na}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$

Пусть — нормальная подгруппа группы ⁠ ⁠ . Определим множество как множество всех левых смежных классов в ⁠ ⁠ . То есть, ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}}$

Так как элемент тождества ⁠ ⁠${\displaystyle e\in N}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle a\in aN}$ . Определим бинарную операцию на множестве смежных классов, ⁠ ⁠${\displaystyle G\,/\,N}$ , следующим образом. Для каждого и в ⁠ ⁠ , произведение и ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , равно ⁠ ⁠ . Это работает только потому, что не зависит от выбора представителей и ⁠ ⁠ , каждого левого смежного класса, и ⁠ ⁠ . Чтобы доказать это, предположим и для некоторого ⁠ ⁠ . Тогда${\displaystyle aN}$${\displaystyle bN}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle aN}$${\displaystyle bN}$${\displaystyle (aN)(bN)}$${\displaystyle (ab)N}$${\displaystyle (ab)N}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle aN}$${\displaystyle bN}$${\displaystyle xN=aN}$${\displaystyle yN=bN}$${\displaystyle x,y,a,b\in G}$

${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}$.

Это зависит от того, что ⁠ ⁠${\displaystyle N}$ является нормальной подгруппой. Остается еще показать, что это условие не только достаточно, но и необходимо для определения операции на ⁠ ⁠${\displaystyle G\,/\,N}$ .

Чтобы показать, что это необходимо, рассмотрим, что для подгруппы ⁠ ⁠ нам дано, что операция корректно определена. То есть для всех и ⁠ ⁠ для ⁠ ⁠ .${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle xN=aN}$${\displaystyle yN=bN}$${\displaystyle x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N}$

Пусть и ⁠ ⁠ . Так как ⁠ ⁠ , то имеем ⁠ ⁠ .${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle eN=nN}$${\displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$

Теперь и ⁠ ⁠ .${\displaystyle gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N}$${\displaystyle g\in G}$

Следовательно, является нормальной подгруппой ⁠ ⁠ .${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

Можно также проверить, что эта операция над всегда ассоциативна, имеет единичный элемент ⁠ ⁠ , а обратный элемент всегда может быть представлен как ⁠ ⁠ . Таким образом, множество вместе с операцией, определенной как , образует группу, фактор-группу по ⁠ ⁠ .${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle aN}$${\displaystyle a^{-1}N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle (aN)(bN)=(ab)N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$

Ввиду нормальности ⁠ ⁠${\displaystyle N}$ , левые и правые смежные классы in одинаковы, и поэтому их можно было бы определить как набор правых смежных классов in ⁠ ⁠ .${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

Например, рассмотрим группу со сложением по модулю 6: ⁠ ⁠${\displaystyle G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}}$ . Рассмотрим подгруппу ⁠ ⁠${\displaystyle N=\left\{0,3\right\}}$ , которая является нормальной, поскольку является абелевой . Тогда множество (левых) смежных классов имеет размер три:${\displaystyle G}$

${\displaystyle G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}}$.

Определенная выше бинарная операция превращает это множество в группу, известную как фактор-группа, которая в данном случае изоморфна циклической группе порядка 3.

Факторную группу можно сравнить с делением целых чисел . При делении 12 на 3 получается результат 4, поскольку можно перегруппировать 12 объектов в 4 подгруппы по 3 объекта. Факторная группа — это та же идея, хотя в итоге получается группа для окончательного ответа вместо числа, поскольку группы имеют больше структуры, чем произвольная коллекция объектов: в факторной группа используется для формирования естественной «перегруппировки». Это смежные классы в . Поскольку мы начали с группы и нормальной подгруппы, окончательное частное содержит больше информации, чем просто количество смежных классов (что дает обычное деление), но вместо этого имеет саму структуру группы.${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

Рассмотрим группу целых чисел (по сложению) и подгруппу, состоящую из всех четных целых чисел. Это нормальная подгруппа, поскольку является абелевой . Существует только два смежных класса: множество четных целых чисел и множество нечетных целых чисел, и поэтому фактор-группа является циклической группой с двумя элементами. Эта фактор-группа изоморфна множеству со сложением по модулю 2; неформально иногда говорят, что равно множеству со сложением по модулю 2.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$

Пример с подробным объяснением...

Пусть будут остатками от деления на ⁠ ⁠ . Тогда, когда четное, а когда нечетное.${\displaystyle \gamma (m)}$${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \gamma (m)=0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma (m)=1}$${\displaystyle m}$

По определению ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ , ядро ​​⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}}$ , представляет собой множество всех четных целых чисел.

Пусть ⁠ ⁠${\displaystyle H=\ker(\gamma )}$ . Тогда, является подгруппой, поскольку тождество в ⁠ ⁠ , то есть ⁠ ⁠ , находится в ⁠ ⁠ , сумма двух четных целых чисел четна и, следовательно, если и находятся в ⁠ ⁠ , находится в (замыкании), а если четно, также четно и, таким образом, содержит свои обратные.${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m}$${\displaystyle -m}$${\displaystyle H}$

Определим как для и — фактор-группа левых смежных классов; ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mu :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$${\displaystyle \mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}}$

Обратите внимание, что мы определили ⁠ ⁠${\displaystyle \mu }$ , если является нечетным, и если является четным.${\displaystyle \mu (aH)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle a}$

Таким образом, является изоморфизмом из в ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Небольшое обобщение последнего примера. Еще раз рассмотрим группу целых чисел по сложению. Пусть ⁠ ⁠ — любое положительное целое число. Мы рассмотрим подгруппу группы , состоящую из всех кратных ⁠ ⁠ . Еще раз является нормальной в , поскольку является абелевой. Смежные классы представляют собой совокупность ⁠ ⁠ . Целое число принадлежит смежному классу ⁠ ⁠ , где — остаток при делении на ⁠ ⁠ . Частное можно рассматривать как группу «остатков» по ​​модулю ⁠ ⁠ . Это циклическая группа порядка ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r+n\mathbb {Z} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Двенадцатые корни из единицы , которые являются точками на комплексной единичной окружности , образуют мультипликативную абелеву группу ⁠ ⁠${\displaystyle G}$ , показанную на рисунке справа в виде цветных шаров с числом в каждой точке, дающим ее комплексный аргумент. Рассмотрим ее подгруппу , состоящую из четвертых корней из единицы, показанных в виде красных шаров. Эта нормальная подгруппа разбивает группу на три смежных класса, показанных красным, зеленым и синим цветами. Можно проверить, что смежные классы образуют группу из трех элементов (произведение красного элемента с синим элементом — синий, обратный элемент синего элемента — зеленый и т. д.). Таким образом, фактор-группа — это группа из трех цветов, которая оказывается циклической группой с тремя элементами.${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$

Рассмотрим группу действительных чисел при сложении и подгруппу целых чисел. Каждый смежный класс в является множеством вида ⁠ ⁠ , где — действительное число. Поскольку и являются идентичными множествами, когда нецелые части и равны , можно наложить ограничение без изменения смысла. Сложение таких смежных классов выполняется путем сложения соответствующих действительных чисел и вычитания 1, если результат больше или равен 1. Фактор-группа изоморфна группе окружности , группе комплексных чисел с абсолютным значением 1 при умножении или, соответственно, группе вращений в 2D вокруг начала координат, то есть специальной ортогональной группе ⁠ ⁠ . Изоморфизм задается формулой (см. тождество Эйлера ).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a+\mathbb {Z} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{1}+\mathbb {Z} }$${\displaystyle a_{2}+\mathbb {Z} }$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle 0\leq a<1}$${\displaystyle \mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$${\displaystyle f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)}$

Если — группа обратимых действительных матриц , а — подгруппа действительных матриц с определителем 1, то является нормальной в (поскольку является ядром гомоморфизма определителя ) . Смежные классы по являются множествами матриц с заданным определителем, и, следовательно, изоморфны мультипликативной группе ненулевых действительных чисел. Группа известна как специальная линейная группа ⁠ ⁠ .${\displaystyle G}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (3)}$

Рассмотрим абелеву группу (то есть множество со сложением по модулю 4) и ее подгруппу ⁠ ⁠ . Фактор-группа — это ⁠ ⁠ . Это группа с единичным элементом ⁠ ⁠ , и групповыми операциями, такими как ⁠ ⁠ . Как подгруппа , так и фактор-группа изоморфны ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z} }$${\displaystyle \left\{0,1,2,3\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}}$${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Рассмотрим мультипликативную группу ⁠ ⁠${\displaystyle G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }}$ . Множество ⁠ ⁠ вычетов th является мультипликативной подгруппой, изоморфной ⁠ ⁠ . Тогда является нормальной в и фактор-группа имеет смежные классы ⁠ ⁠ . Криптосистема Пайе основана на гипотезе , что трудно определить смежный класс случайного элемента из , не зная факторизации ⁠ ⁠ .${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n})^{\times }}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$

Факторгруппа изоморфна тривиальной группе ( группе с одним элементом) и изоморфна ⁠ ⁠ .${\displaystyle G\,/\,G}$${\displaystyle G\,/\,\left\{e\right\}}$${\displaystyle G}$

Порядок ⁠ ⁠ , по определению количество элементов, равен ⁠ ⁠ , индексу в ⁠ ⁠ . Если конечно, индекс также равен порядку , делённому на порядок ⁠ ⁠ . Множество может быть конечным, хотя оба и бесконечны ( например, ⁠ ⁠ ).${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \vert G:N\vert }$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$

Существует «естественный» сюръективный групповой гомоморфизм ⁠ ⁠${\displaystyle \pi :G\rightarrow G\,/\,N}$ , отправляющий каждый элемент в смежный класс , которому принадлежит, то есть: ⁠ ⁠ . Отображение иногда называют канонической проекцией на ⁠ ⁠ . Его ядром является ⁠ ⁠ .${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \pi (g)=gN}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$

Существует биективное соответствие между подгруппами , содержащими , и подгруппами ⁠ ⁠ ; если — подгруппа , содержащая ⁠ ⁠ , то соответствующая подгруппа — ⁠ ⁠ . Это соответствие справедливо для нормальных подгрупп и также и формализуется в решеточной теореме .${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \pi (H)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$

Несколько важных свойств факторгрупп зафиксированы в основной теореме о гомоморфизмах и теоремах об изоморфизме .

Если является абелевым , нильпотентным , разрешимым , циклическим или конечно порожденным , то также является ⁠ ⁠ .${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$

Если — подгруппа в конечной группе ⁠ ⁠ , и порядок составляет половину порядка ⁠ ⁠ , то гарантированно является нормальной подгруппой, поэтому существует и изоморфна ⁠ ⁠ . Этот результат можно также сформулировать как «любая подгруппа индекса 2 является нормальной», и в этой форме он применим также к бесконечным группам. Более того, если — наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы, ⁠ ⁠ , то если имеет порядок ⁠ ⁠ , должна быть нормальной подгруппой ⁠ ⁠ . ^[3]${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\,/\,H}$${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,H}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

Дано и нормальная подгруппа ⁠ ⁠ , тогда является расширением группы на ⁠ ⁠ . Можно спросить, является ли это расширение тривиальным или расщепляемым; другими словами, можно спросить, является ли прямым произведением или полупрямым произведением и ⁠ ⁠ . Это частный случай проблемы расширения . Пример, когда расширение не расщепляется, следующий: Пусть ⁠ ⁠ , и ⁠ ⁠ , который изоморфен ⁠ ⁠ . Тогда также изоморфен ⁠ ⁠ . Но имеет только тривиальный автоморфизм , поэтому единственным полупрямым произведением и является прямое произведение. Поскольку отличается от ⁠ ⁠ , мы заключаем, что не является полупрямым произведением и ⁠ ⁠ .${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}}$${\displaystyle N=\left\{0,2\right\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$

Если — группа Ли и — нормальная и замкнутая (в топологическом, а не алгебраическом смысле слова) подгруппа Ли ⁠ ⁠ , фактор также является группой Ли. В этом случае исходная группа имеет структуру расслоения волокон (в частности, главного ⁠ ⁠ -расслоения ) с базовым пространством и волокном ⁠ ⁠ . Размерность равна ⁠ ⁠ . ^[4]${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle \dim G-\dim N}$

Обратите внимание, что условие замкнутости является необходимым. Действительно, если не замкнуто, то фактор-пространство не является T1-пространством (поскольку в факторе есть смежный класс, который не может быть отделен от единицы открытым множеством), и, таким образом, не является хаусдорфовым пространством .${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

Для ненормальной подгруппы Ли ⁠ ⁠${\displaystyle N}$ пространство левых смежных классов не является группой, а просто дифференцируемым многообразием , на котором действует. Результат известен как однородное пространство .${\displaystyle G\,/\,N}$${\displaystyle G}$

• Расширение группы
• Категория коэффициента
• Короткая точная последовательность

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 978-0-471-43334-7
• Херштейн, ИН (1975), Топики по алгебре (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-02371-X