Факторный анализ смешанных данных

В статистике факторный анализ смешанных данных или факторный анализ смешанных данных ( FAMD , во французском оригинале: AFDM или Analyse Factorielle de Données Mixtes ) — факторный метод, посвященный таблицам данных, в которых группа лиц описывается как количественными, так и качественными переменными. Он относится к исследовательским методам, разработанным французской школой Analyse des données (анализ данных), основанной Жаном-Полем Бензекри .

Термин смешанный относится к использованию как количественных, так и качественных переменных. Грубо говоря, можно сказать, что FAMD работает как анализ главных компонентов (PCA) для количественных переменных и как анализ множественного соответствия (MCA) для качественных переменных.

Если данные включают оба типа переменных, но активные переменные однородны, можно использовать PCA или MCA.

Действительно, в MCA легко включить дополнительные количественные переменные с помощью коэффициентов корреляции между переменными и факторами по индивидуумам (фактор по индивидуумам — это вектор, собирающий координаты индивидуумов на факторной оси); полученное представление представляет собой корреляционный круг (как в PCA).

Аналогичным образом, в PCA легко включить дополнительные категориальные переменные. ^[1] Для этого каждая категория представлена ​​центром тяжести лиц, которые ее имеют (как MCA).

При смешивании активных переменных обычной практикой является дискретизация количественных переменных (например, в обследованиях возраст обычно преобразуется в возрастные классы). Полученные таким образом данные могут быть обработаны с помощью MCA.

Эта практика достигает своих пределов:

• Когда людей немного (менее сотни, чтобы зафиксировать идеи), в этом случае MCA нестабилен;
• Когда имеется мало качественных переменных по отношению к количественным переменным (может возникнуть нежелание дискретизировать двадцать количественных переменных, чтобы учесть одну качественную переменную).

Данные включают количественные и качественные переменные .${\displaystyle К}$${\displaystyle {k=1,\dots ,K}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {q=1,\точки ,Q}}$

${\displaystyle z}$является количественной переменной. Мы отмечаем:

• ${\displaystyle r(z,k)}$коэффициент корреляции между переменными и  ;${\displaystyle к}$${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \eta ^{2}(z,q)}$квадрат коэффициента корреляции между переменными и .${\displaystyle z}$${\displaystyle д}$

В PCA мы ищем функцию (функция присваивает значение каждому индивидууму, это касается исходных переменных и главных компонент), наиболее коррелирующую со всеми переменными в следующем смысле:${\displaystyle К}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle К}$

${\displaystyle \sum _{k}r^{2}(z,k)}$максимум.

В MCA Q мы ищем функцию, более связанную со всеми переменными в следующем смысле:${\displaystyle Я}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \sum _{q} \eta ^{2}(z,q)}$максимум.

В FAMD мы ищем функцию, наиболее связанную со всеми переменными в следующем смысле:${\displaystyle \{К,Q\}}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle К+Q}$

${\displaystyle \sum _{k}r^{2}(z,k)+\sum _{q}\eta ^{2}(z,q)}$максимум.

В этом критерии оба типа переменных играют одинаковую роль. Вклад каждой переменной в этом критерии ограничен 1.

Представление индивидов осуществляется непосредственно из факторов .${\displaystyle Я}$

Представление количественных переменных строится как в PCA (корреляционный круг).

Представление категорий качественных переменных такое же, как в MCA: категория находится в центроиде индивидов, которые ею обладают. Обратите внимание, что мы берем точный центроид, а не, как принято в MCA, центроид с точностью до коэффициента, зависящего от оси (в MCA этот коэффициент равен обратной величине квадратного корня собственного значения; в FAMD он был бы неадекватен).

Представление переменных называется квадратом связи . Координата качественной переменной по оси равна квадрату коэффициента корреляции между переменной и фактором ранга (обозначается ). Координата количественной переменной по оси равна квадрату коэффициента корреляции между переменной и фактором ранга (обозначается ).${\displaystyle j}$${\displaystyle с}$${\displaystyle j}$${\displaystyle с}$${\displaystyle \eta ^{2}(j,s)}$${\displaystyle к}$${\displaystyle с}$${\displaystyle к}$${\displaystyle с}$${\displaystyle r^{2}(к,с)}$

Показатели взаимосвязи между исходными переменными объединяются в так называемую матрицу взаимосвязи, которая содержит на пересечении строки и столбца :${\displaystyle л}$${\displaystyle с}$

• Если переменные и количественные, то квадрат коэффициента корреляции между переменными и  ;${\displaystyle л}$${\displaystyle с}$${\displaystyle л}$${\displaystyle с}$
• Если переменная качественная, а переменная количественная, то квадрат коэффициента корреляции между и ;${\displaystyle л}$${\displaystyle с}$${\displaystyle л}$${\displaystyle с}$
• Если переменные и качественные, то показатель между переменными и .${\displaystyle л}$${\displaystyle с}$${\displaystyle \фи ^{2}}$${\displaystyle л}$${\displaystyle с}$

Очень небольшой набор данных (таблица 1) иллюстрирует работу и результаты FAMD. Шесть человек описываются тремя количественными переменными и тремя качественными переменными. Данные были проанализированы с использованием функции пакета R FAMD FactoMineR.

Таблица 1. Данные (тестовый пример). ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle k_{3}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{3}}$ ${\displaystyle i_{1}}$ 2 4.5 4 ${\displaystyle q_{1}}$-А ${\displaystyle q_{2}}$-Б ${\displaystyle q_{3}}$-С ${\displaystyle i_{2}}$ 5 4.5 4 ${\displaystyle q_{1}}$-С ${\displaystyle q_{2}}$-Б ${\displaystyle q_{3}}$-С ${\displaystyle i_{3}}$ 3 1 2 ${\displaystyle q_{1}}$-Б ${\displaystyle q_{2}}$-Б ${\displaystyle q_{3}}$-Б ${\displaystyle i_{4}}$ 4 1 2 ${\displaystyle q_{1}}$-Б ${\displaystyle q_{2}}$-Б ${\displaystyle q_{3}}$-Б ${\displaystyle i_{5}}$ 1 1 1 ${\displaystyle q_{1}}$-А ${\displaystyle q_{2}}$-А ${\displaystyle q_{3}}$-А ${\displaystyle i_{6}}$ 6 1 2 ${\displaystyle q_{1}}$-С ${\displaystyle q_{2}}$-А ${\displaystyle q_{3}}$-А

Таблица 2. Тестовый пример. Матрица отношений. ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle k_{3}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{3}}$ ${\displaystyle k_{1}}$ 1 0.00 0,05 0,91 0.00 0.00 ${\displaystyle k_{2}}$ 0.00 1 0,90 0,25 0,25 1.00 ${\displaystyle k_{3}}$ 0,05 0,90 1 0,13 0,40 0,93 ${\displaystyle q_{1}}$ 0,91 0,25 0,13 2 0,25 1.00 ${\displaystyle q_{2}}$ 0.00 0,25 0,40 0,25 1 1.00 ${\displaystyle q_{3}}$ 0.00 1.00 0,93 1.00 1.00 2

В матрице отношений коэффициенты равны (количественным переменным), (качественным переменным) или (одной переменной каждого типа).${\displaystyle R^{2}}$${\displaystyle \фи ^{2}}$${\displaystyle \эта ^{2}}$

Матрица показывает запутанность отношений между двумя типами переменных.

Представление индивидов (рисунок 1) наглядно показывает три группы индивидов. Первая ось противопоставляет индивидов 1 и 2 всем остальным. Вторая ось противопоставляет индивидов 3 и 4 индивидам 5 и 6.

Представление переменных (квадрат связи, рисунок 2) показывает, что первая ось ( ) тесно связана с переменными , и . Корреляционный круг (рисунок 3) указывает знак корреляции между , и ; представление категорий (рисунок 4) проясняет характер связи между и . Наконец, индивиды 1 и 2, индивидуализированные первой осью, характеризуются высокими значениями и , а также категориями .${\displaystyle F1}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle k_{3}}$${\displaystyle Q_{3}}$${\displaystyle F1}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle k_{3}}$${\displaystyle F1}$${\displaystyle Q_{3}}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle k_{3}}$${\displaystyle с}$${\displaystyle Q_{3}}$

Этот пример иллюстрирует, как FAMD одновременно анализирует количественные и качественные переменные. Таким образом, в этом примере показано первое измерение, основанное на двух типах переменных.

Первоначальная работа FAMD принадлежит Брижит Эскофье ^[2] и Жильберу Сапорте. ^[3] Эта работа была возобновлена ​​в 2002 году Жеромом Пажесом. ^[4] Более полное представление FAMD на английском языке включено в книгу Жерома Пажеса. ^[5]

Метод реализован в пакете R FactoMineR. Метод реализован в библиотеке Python prince.