Квадрат отношений

В статистике квадрат отношений — это графическое представление для использования в факторном анализе таблицы индивидуумов x переменных . Это представление дополняет классические представления, предоставляемые анализом главных компонент (PCA) или анализом множественных соответствий (MCA), а именно представления индивидуумов, количественных переменных (корреляционный круг) и категорий качественных переменных (в центроиде индивидуумов, которые ими обладают). Это особенно важно в факторном анализе смешанных данных (FAMD) и в многофакторном анализе (MFA).

Первый интерес квадрата отношений заключается в представлении самих переменных, а не их категорий, что тем более ценно, что существует много переменных. Для этого мы вычисляем для каждой качественной переменной и каждого фактора ( , фактор ранга, является вектором координат индивидуумов вдоль оси ранга ; в PCA, называется главным компонентом ранга ), квадрат корреляционного отношения между и переменной , обычно обозначаемый : Таким образом, с каждой факторной плоскостью мы можем связать представление самих качественных переменных. Их координаты находятся между 0 и 1, переменные появляются в квадрате, имеющем вершины в точках (0,0), ( 0,1), (1,0) и (1,1).${\displaystyle j}$${\displaystyle F_{s}}$${\displaystyle F_{s}}$${\displaystyle с}$${\displaystyle с}$${\displaystyle F_{s}}$${\displaystyle с}$${\displaystyle F_{s}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \eta ^{2}(j,F_{s})}$

Шесть индивидуумов ( описываются тремя переменными, имеющими соответственно 3, 2 и 3 категории. Пример: индивидуум обладает категориями , и .${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{6})}$${\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})}$${\displaystyle i_{1}}$${\displaystyle а}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle д}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle q_{3}}$

Таблица 1. Минутный набор данных для MCA.

	${\displaystyle q_{1}}$	${\displaystyle q_{2}}$	${\displaystyle q_{3}}$
${\displaystyle i_{1}}$	${\displaystyle q_{1}}$-а	${\displaystyle q_{2}}$-д	${\displaystyle q_{3}}$-ф
${\displaystyle i_{2}}$	${\displaystyle q_{1}}$-б	${\displaystyle q_{2}}$-д	${\displaystyle q_{3}}$-ф
${\displaystyle i_{3}}$	${\displaystyle q_{1}}$-с	${\displaystyle q_{2}}$-д	${\displaystyle q_{3}}$-г
${\displaystyle i_{4}}$	${\displaystyle q_{1}}$-а	${\displaystyle q_{2}}$-е	${\displaystyle q_{3}}$-г
${\displaystyle i_{5}}$	${\displaystyle q_{1}}$-б	${\displaystyle q_{2}}$-е	${\displaystyle q_{3}}$-час
${\displaystyle i_{6}}$	${\displaystyle q_{1}}$-с	${\displaystyle q_{2}}$-е	${\displaystyle q_{3}}$-час

Применительно к этим данным функция MCA, включенная в пакет R FactoMineR, позволяет построить классический график, представленный на рисунке 1.

Квадрат отношения (рисунок 2) облегчает чтение классической факторной плоскости. Он показывает, что:

• Первый фактор связан с тремя переменными, но особенно (которые имеют очень высокую координату вдоль первой оси), а затем .${\displaystyle q_{3}}$${\displaystyle q_{2}}$
• Второй фактор связан только с и (а не с , который имеет координату по оси 2, равную 0), причем сильным и равным образом.${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{3}}$${\displaystyle q_{2}}$

Все это видно на классическом графике, но не так отчетливо. Роль квадрата отношений заключается в том, чтобы, во-первых, помочь в чтении обычного графика. Это ценно, когда переменных много и они обладают многочисленными координатами.

Это представление может быть дополнено представлением количественных переменных, координатами которых являются квадраты коэффициентов корреляции (а не корреляционных отношений). Таким образом, второе преимущество квадрата отношения заключается в возможности одновременного представления количественных и качественных переменных. ^[1]

Квадрат отношения может быть построен из любого факторного анализа таблицы индивидуумов x переменных . В частности, он используется (или должен использоваться) систематически:

• в анализе множественных соответствий (MCA); ^[2]
• в анализе главных компонент (PCA), когда имеется много дополнительных переменных;
• в факторном анализе смешанных данных (FAMD).

Расширение этого графика на группы переменных (как представить группу переменных одной точкой?) используется в многофакторном анализе (МФА).

Идея представления качественных переменных как таковых точкой (а не категориями) принадлежит Брижит Эскофье. ^[3] Графика, используемая сейчас, была введена Брижит Эскофье и Жеромом Пажесом в рамках многофакторного анализа ^[4].

В MCA квадрат отношений обеспечивает синтетическое представление связей между смешанными переменными, что тем более ценно, что существует много переменных, имеющих много категорий. Это представление может быть полезным в любом факторном анализе, когда есть много смешанных переменных, активных и/или дополнительных.

• Программное обеспечение дополненной реальности FactoMineR, предназначенное для разведочного анализа данных.