Расширения симметричных операторов

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В функциональном анализе интересуют расширения симметричных операторов, действующих в гильбертовом пространстве . Особое значение имеет существование, а иногда и явные конструкции, самосопряженных расширений. Эта проблема возникает, например, когда нужно указать области самосопряженности для формальных выражений наблюдаемых в квантовой механике . Другие приложения решений этой проблемы можно увидеть в различных проблемах моментов .

В этой статье обсуждаются несколько связанных проблем этого типа. Объединяющая тема заключается в том, что каждая проблема имеет операторно-теоретическую характеристику, которая дает соответствующую параметризацию решений. Более конкретно, нахождение самосопряженных расширений с различными требованиями симметричных операторов эквивалентно нахождению унитарных расширений подходящих частичных изометрий .

Пусть — гильбертово пространство. Линейный оператор, действующий на с плотной областью определения , симметричен , если${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {dom} (A).}$

Если , теорема Хеллингера-Теплица утверждает, что является ограниченным оператором , в этом случае является самосопряженным и проблема расширения тривиальна. В общем случае симметричный оператор является самосопряженным, если область определения его сопряженного оператора , лежит в .${\displaystyle \operatorname {dom} (A)=H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$

При работе с неограниченными операторами часто желательно иметь возможность предположить, что рассматриваемый оператор замкнут . В данном контексте удобным фактом является то, что каждый симметричный оператор замыкаем . То есть имеет наименьшее замкнутое расширение, называемое замыканием . Это можно показать, прибегнув к симметричному предположению и теореме Рисса о представлении . Поскольку и его замыкание имеют одни и те же замкнутые расширения, всегда можно предположить , что интересующий симметричный оператор замкнут.${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

В следующем разделе будет предполагаться, что симметричный оператор плотно определен и замкнут.

Если оператор в гильбертовом пространстве симметричен, когда он имеет самосопряженные расширения? Оператор, имеющий единственное самосопряженное расширение, называется существенно самосопряженным ; эквивалентно, оператор является существенно самосопряженным, если его замыкание (оператор, график которого является замыканием графика ) является самосопряженным. В общем случае симметричный оператор может иметь много самосопряженных расширений или вообще ни одного. Таким образом, мы хотели бы получить классификацию его самосопряженных расширений.${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$

Первый основной критерий существенной самосопряженности следующий: ^[1]

Эквивалентно, является по существу самосопряженным тогда и только тогда, когда операторы имеют тривиальные ядра . ^[2] Другими словами, не является самосопряженным тогда и только тогда, когда имеет собственный вектор с комплексными собственными значениями .${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}\pm i}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle \pm i}$

Другой способ взглянуть на проблему — это преобразование Кэли самосопряженного оператора и индексы дефекта. ^[3]

${\displaystyle W(A)}$изометричен в своей области определения . Более того, плотен в .${\displaystyle \operatorname {ran} (1-W(A))}$${\displaystyle A}$

Наоборот, если задан любой плотно определенный оператор , который изометричен в своей (не обязательно замкнутой) области определения и такой, что является плотным, то существует (единственный) плотно определенный симметричный оператор${\displaystyle U}$${\displaystyle 1-U}$

${\displaystyle S(U):\operatorname {ran} (1-U)\to \operatorname {ran} (1+U)}$

такой что

${\displaystyle S(U)(x-Ux)=i(x+Ux),\quad x\in \operatorname {dom} (U).}$

Отображения и являются обратными друг другу, т.е. . ${\displaystyle W}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(W(A))=A}$

Отображение называется преобразованием Кэли . Оно связывает частично определенную изометрию с любым симметричным плотно определенным оператором. Обратите внимание, что отображения и являются монотонными : Это означает, что если — симметричный оператор, который расширяет плотно определенный симметричный оператор , то расширяет , и аналогично для .${\displaystyle A\mapsto W(A)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W(B)}$${\displaystyle W(A)}$${\displaystyle S}$

Это немедленно дает нам необходимое и достаточное условие для наличия самосопряженного расширения, а именно:${\displaystyle A}$

Частично определенный изометрический оператор в гильбертовом пространстве имеет единственное изометрическое расширение до замыкания нормы . Частично определенный изометрический оператор с замкнутой областью определения называется частичной изометрией .${\displaystyle V}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {dom} (V)}$

Определим дефектные подпространства A как

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{+}&=\operatorname {ran} (A+i)^{\perp }\\K_{-}&=\operatorname {ran} (A-i)^{\perp }\end{aligned}}}$

На этом языке описание задачи самосопряженного расширения, даваемое теоремой, можно переформулировать следующим образом: симметричный оператор имеет самосопряженные расширения тогда и только тогда, когда дефектные подпространства и имеют одинаковую размерность. ^[4]${\displaystyle A}$${\displaystyle K_{+}}$${\displaystyle K_{-}}$

Индексы дефекта частичной изометрии определяются как размерность ортогональных дополнений области и диапазона:${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{+}(V)&=\dim \operatorname {dom} (V)^{\perp }\\n_{-}(V)&=\dim \operatorname {ran} (V)^{\perp }\end{aligned}}}$

Мы видим, что существует биекция между симметричными расширениями оператора и изометрическими расширениями его преобразования Кэли. Симметричное расширение является самосопряженным тогда и только тогда, когда соответствующее изометрическое расширение является унитарным.

Симметричный оператор имеет единственное самосопряженное расширение тогда и только тогда, когда оба его индекса дефекта равны нулю. Такой оператор называется существенно самосопряженным . Симметричные операторы, которые не являются существенно самосопряженными, все равно могут иметь каноническое самосопряженное расширение. Так обстоит дело с неотрицательными симметричными операторами (или, в более общем смысле, операторами, которые ограничены снизу). Эти операторы всегда имеют канонически определенное расширение Фридрихса , и для этих операторов мы можем определить каноническое функциональное исчисление. Многие операторы, которые встречаются в анализе, ограничены снизу (например, отрицательное значение оператора Лапласа ), поэтому вопрос существенной сопряженности для этих операторов менее критичен.

Предположим , что симметрично плотно определено. Тогда любое симметричное расширение является ограничением . Действительно, и симметрично дает , применяя определение . Это понятие приводит к формулам фон Неймана : ^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\subseteq A^{*}}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (January 2024) (Learn how and when to remove this message)

Рассмотрим гильбертово пространство . На подпространстве абсолютно непрерывных функций, обращающихся в нуль на границе, определим оператор по формуле${\displaystyle L^{2}([0,1])}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle Af=i{\frac {d}{dx}}f.}$

Интеграция по частям показывает , что симметрична. Ее сопряженный оператор — тот же самый оператор , причем абсолютно непрерывные функции без граничных условий. Мы увидим, что расширение A равнозначно изменению граничных условий, тем самым увеличивая и уменьшая , пока они не совпадут.${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$

Прямой расчет показывает, что и являются одномерными подпространствами, заданными формулой${\displaystyle K_{+}}$${\displaystyle K_{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{+}&=\operatorname {span} \{\phi _{+}=c\cdot e^{x}\}\\K_{-}&=\operatorname {span} \{\phi _{-}=c\cdot e^{-x}\}\end{aligned}}}$

где — нормирующая константа. Самосопряженные расширения параметризуются группой окружности . Для каждого унитарного преобразования, определяемого формулой ${\displaystyle c}$${\displaystyle A_{\alpha }}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {T} =\{\alpha \in \mathbb {C} :|\alpha |=1\}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }:K_{-}\to K_{+}}$

${\displaystyle U_{\alpha }(\phi _{-})=\alpha \phi _{+}}$

соответствует расширение с доменом${\displaystyle A_{\alpha }}$

${\displaystyle \operatorname {dom} (A_{\alpha })=\{f+\beta (\alpha \phi _{-}-\phi _{+})|f\in \operatorname {dom} (A),\;\beta \in \mathbb {C} \}.}$

Если , то абсолютно непрерывно и${\displaystyle f\in \operatorname {dom} (A_{\alpha })}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(0)}{f(1)}}\right|=\left|{\frac {e\alpha -1}{\alpha -e}}\right|=1.}$

Наоборот, если абсолютно непрерывно и для некоторого , то лежит в указанной выше области.${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)=\gamma f(1)}$${\displaystyle \gamma \in \mathbb {T} }$${\displaystyle f}$

Самосопряженные операторы являются примерами оператора импульса в квантовой механике.${\displaystyle A_{\alpha }}$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (June 2008)

Каждая частичная изометрия может быть расширена на возможно большем пространстве до унитарного оператора. Следовательно, каждый симметричный оператор имеет самосопряженное расширение на возможно большем пространстве.

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (January 2024) (Learn how and when to remove this message)

Симметричный оператор называется положительным , если${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0,\quad \forall x\in \operatorname {dom} (A).}$

Известно, что для каждого такого , имеет . Следовательно, каждый положительный симметричный оператор имеет самосопряженные расширения. Более интересный вопрос в этом направлении — имеет ли положительные самосопряженные расширения.${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {dim} K_{+}=\operatorname {dim} K_{-}}$${\displaystyle A}$

Для двух положительных операторов и , мы положим , если${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\leq B}$

${\displaystyle (A+1)^{-1}\geq (B+1)^{-1}}$

в смысле ограниченных операторов.

В то время как проблема расширения для общих симметричных операторов по сути заключается в расширении частичных изометрий до унитарных, для положительных симметричных операторов вопрос становится вопросом расширения контракций : «заполняя» некоторые неизвестные элементы самосопряженной контракции 2 × 2, мы получаем положительные самосопряженные расширения положительного симметричного оператора.

Прежде чем сформулировать соответствующий результат, сначала зафиксируем некоторую терминологию. Для сокращения , действующего на , мы определяем его операторы дефекта как${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D_{\Gamma }\;=(1-\Gamma ^{*}\Gamma )^{\frac {1}{2}}\\&D_{\Gamma ^{*}}=(1-\Gamma \Gamma ^{*})^{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$

Дефектные пространства​​${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {D}}_{\Gamma }\;=\operatorname {ran} (D_{\Gamma })\\&{\mathcal {D}}_{\Gamma ^{*}}=\operatorname {ran} (D_{\Gamma ^{*}})\end{aligned}}}$

Операторы дефекта указывают на неунитарность , в то время как дефектные пространства обеспечивают уникальность в некоторых параметризациях. Используя этот механизм, можно явно описать структуру общих матричных сжатий. Нам понадобится только случай 2 × 2. Каждое сжатие 2 × 2 может быть однозначно выражено как${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma ={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}^{*}}\Gamma _{2}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}^{*}\Gamma _{2}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{2}}\end{bmatrix}}}$

где каждое из них является сокращением.${\displaystyle \Gamma _{i}}$

Преобразование Кэли для общих симметричных операторов можно адаптировать к этому особому случаю. Для каждого неотрицательного числа ,${\displaystyle a}$

${\displaystyle \left|{\frac {a-1}{a+1}}\right|\leq 1.}$

Это предполагает, что мы назначаем каждому положительному симметричному оператору сжатие${\displaystyle A}$

${\displaystyle C_{A}:\operatorname {ran} (A+1)\rightarrow \operatorname {ran} (A-1)\subset H}$

определяется

${\displaystyle C_{A}(A+1)x=(A-1)x.\quad {\mbox{i.e.}}\quad C_{A}=(A-1)(A+1)^{-1}.\,}$

которые имеют матричное представление ^{[ требуется разъяснение ]}

${\displaystyle C_{A}={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}\end{bmatrix}}:\operatorname {ran} (A+1)\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {ran} (A+1)\\\oplus \\\operatorname {ran} (A+1)^{\perp }\end{matrix}}.}$

Легко проверить, что запись, спроецированная на , является самосопряженной. Оператор можно записать как${\displaystyle \Gamma _{1}}$${\displaystyle C_{A}}$${\displaystyle \operatorname {ran} (A+1)=\operatorname {dom} (C_{A})}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(1+C_{A})(1-C_{A})^{-1}\,}$

с . Если — сжатие, которое расширяется , и его проекция на свою область является самосопряженной, то ясно, что его обратное преобразование Кэли${\displaystyle \operatorname {dom} (A)=\operatorname {ran} (C_{A}-1)}$${\displaystyle {\tilde {C}}}$${\displaystyle C_{A}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}=(1+{\tilde {C}})(1-{\tilde {C}})^{-1}}$

определенное на является положительным симметричным расширением . Симметричное свойство следует из его проекции на собственную область, являющейся самосопряженной, а положительность следует из сжимаемости. Обратное также верно: если задано положительное симметричное расширение , его преобразование Кэли является сжатием, удовлетворяющим указанному свойству "частичной" самосопряженности.${\displaystyle \operatorname {ran} (1-{\tilde {C}})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Критерий унитарности преобразования Кэли заменяется на самосопряженность для положительных операторов.

Поэтому нахождение самосопряженного расширения для положительного симметричного оператора становится " проблемой завершения матрицы ". В частности, нам нужно встроить свертку столбца в самосопряженную свертку 2 × 2. Это всегда можно сделать, и структура таких сверток дает параметризацию всех возможных расширений.${\displaystyle C_{A}}$

Согласно предыдущему подразделу, все самосопряженные расширения принимают вид${\displaystyle C_{A}}$

${\displaystyle {\tilde {C}}(\Gamma _{4})={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}}\Gamma _{3}^{*}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}\Gamma _{3}^{*}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{3}^{*}}\end{bmatrix}}.}$

Итак, самосопряженные положительные расширения находятся в биективном соответствии с самосопряженными сжатиями на дефектном пространстве . Сокращения и порождают положительные расширения и соответственно. Это наименьшее и наибольшее положительные расширения в том смысле, что${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma _{4}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\Gamma _{3}^{*}}}$${\displaystyle \Gamma _{3}}$${\displaystyle {\tilde {C}}(-1)}$${\displaystyle {\tilde {C}}(1)}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A_{0}\leq B\leq A_{\infty }}$

для любого положительного самосопряженного расширения . Оператор является расширением Фридрихса и является расширением фон Неймана-Крейна .${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A}$

Аналогичные результаты можно получить для аккретивных операторов .

• Ахиезер, Наум Ильич (1981). Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве . Бостон: Pitman. ISBN 0-273-08496-8.
• А. Алонсо и Б. Саймон, Теория Бирмана-Крейна-Вишика самосопряженных расширений полуограниченных операторов. J. Operator Theory 4 (1980), 251-270.
• Гр. Арсен и А. Геондеа, Завершение матричных сокращений, J. Operator Theory 7 (1982), 179-189.
• Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц, Линейные операторы , часть II, Interscience, 1958.
• Холл, BC (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• Йоргенсен, Палле ET; Корнельсон, Кери А.; Шуман, Карен Л. (2011). Итерированные функциональные системы, моменты и преобразования бесконечных матриц . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5248-4.
• Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Рид, М.; Саймон , Б. (1972), Методы математической физики: Том 2: Анализ Фурье, Самосопряженность , Academic Press
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN 978-0-07-054236-5.