Расширение Фридриха

В функциональном анализе расширение Фридрихса является каноническим самосопряженным расширением неотрицательного плотно определенного симметричного оператора . Оно названо в честь математика Курта Фридрихса . Это расширение особенно полезно в ситуациях, когда оператор может не быть существенно самосопряженным или существенную самосопряженность которого трудно показать.

Оператор T неотрицателен, если

${\displaystyle \langle \xi \mid T \xi \rangle \geq 0 \quad \xi \in \operatorname {dom} \ T}$

Пример . Умножение на неотрицательную функцию в ^{пространстве} L2 является неотрицательным самосопряженным оператором.

Пример . Пусть U — открытое множество в Rn . На ^L2 ( U ) рассмотрим дифференциальные ^{операторы} вида

${\displaystyle [T\phi ](x)=-\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}\{a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}\phi (x)\}\quad x\in U,\phi \in \operatorname {C} _{c}^{\infty }(U),}$

где функции a _{i j} являются бесконечно дифференцируемыми действительными функциями на U. Мы рассматриваем T , действующую на плотное подпространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций с компактным носителем, в символах

${\displaystyle \operatorname {C} _{c}^{\infty }(U)\subseteq L^{2}(U).}$

Если для каждого x ∈ U матрица n × n

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}$

неотрицательно полуопределен, то T — неотрицательный оператор. Это означает (a), что матрица эрмитова и

${\displaystyle \sum _{i,j}a_{ij}(x)c_{i}{\overline {c_{j}}}\geq 0}$

для любого выбора комплексных чисел c ₁ , ..., c _n . Это доказывается с помощью интегрирования по частям .

Эти операторы являются эллиптическими , хотя в общем случае эллиптические операторы могут не быть неотрицательными. Однако они ограничены снизу.

Определение расширения Фридрихса основано на теории замкнутых положительных форм на гильбертовых пространствах. Если T неотрицательно, то

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi,\eta) =\langle \xi \mid T\eta \rangle +\langle \xi \mid \eta \rangle}$

является полуторалинейной формой на dom T и

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi,\xi)=\langle \xi \mid T\xi \rangle +\langle \xi \mid \xi \rangle \geq \|\xi \|^{2} .}$

Таким образом, Q определяет скалярное произведение на dom T. Пусть H ₁ будет пополнением dom T относительно Q. H ₁ — это абстрактно определенное пространство; например, его элементы могут быть представлены как классы эквивалентности последовательностей Коши элементов dom T. Неочевидно, что все элементы в H ₁ можно отождествить с элементами H. Однако можно доказать следующее:

Каноническое включение

${\displaystyle \operatorname {dom} T\rightarrow H}$

продолжается до инъективного непрерывного отображения H ₁ → H. Мы рассматриваем H ₁ как подпространство H.

Определим оператор A как

${\displaystyle \operatorname {dom} \ A=\{\xi \in H_{1}:\phi _{\xi }:\eta \mapsto \operatorname {Q} (\xi ,\eta ){\mbox{ ограничено линейно.}}\}}$

В приведенной выше формуле ограниченность относится к топологии на H _{1 ,} унаследованной от H. По теореме о представлении Рисса, примененной к линейному функционалу φ _{ξ ,} расширенному до H , существует единственный A ξ ∈ H такой, что

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi,\eta)=\langle A\xi \mid \eta \rangle \quad \eta \in H_ {1}}$

Теорема . A — неотрицательный самосопряженный оператор, такой что T ₁ = A - I расширяет T .

T ₁ — это расширение Фридрихса T .

Другой способ получить это расширение заключается в следующем. Пусть : — ограниченный оператор включения. Включение является ограниченным инъективным с плотным образом. Следовательно, — ограниченный инъективный оператор с плотным образом, где — сопряженный оператор как оператор между абстрактными гильбертовыми пространствами. Следовательно, оператор является неотрицательным самосопряженным оператором, областью определения которого является образ . Тогда расширяет T.${\displaystyle L:H_{1}\rightarrow H}$${\displaystyle LL^{*}:H\rightarrow H}$${\displaystyle Л^{*}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle A:=(LL^{*})^{-1}}$${\displaystyle LL^{*}}$${\displaystyle ИИ}$

М. Г. Крейн дал изящную характеристику всех неотрицательных самосопряженных расширений неотрицательного симметричного оператора T.

Если T , S — неотрицательные самосопряженные операторы, запишите

${\displaystyle T\leq S}$

если и только если,

• ${\displaystyle \operatorname {dom} (S^{1/2})\subseteq \operatorname {dom} (T^{1/2})}$
• ${\displaystyle \langle T^{1/2}\xi \mid T^{1/2}\xi \rangle \leq \langle S^{1/2}\xi \mid S^{1/2}\xi \rangle \quad \forall \xi \in \operatorname {dom} (S^{1/2})}$

Теорема . Существуют единственные самосопряженные расширения T _min и T _max любого неотрицательного симметричного оператора T такие, что

${\displaystyle T_{\mathrm {мин} }\leq T_{\mathrm {макс} },}$

и каждое неотрицательное самосопряженное расширение S оператора T находится между T _min и T _max , т.е.

${\displaystyle T_{\mathrm {мин} }\leq S\leq T_{\mathrm {макс} }.}$

• Энергичное расширение
• Расширения симметричных операторов

• Н.И. Ахиезер и И.М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве , Питман, 1981.