Исключенная точечная топология

В математике топология исключенной точки — это топология , в которой исключение конкретной точки определяет открытость . Формально, пусть X — любое непустое множество и p ∈ X. Совокупность

${\displaystyle T=\{S\subseteq X:p\notin S\}\cup \{X\}}$

подмножеств X тогда является исключенной точечной топологией на X. Существует множество случаев, которые имеют индивидуальные названия :

• Если X имеет две точки, то оно называется пространством Серпинского . Этот случай несколько особый и рассматривается отдельно.
• Если X конечно (имеет не менее 3 точек), топология на X называется топологией конечной исключенной точки .
• Если X счетно бесконечно , то топология на X называется счетной исключенной топологией.
• Если X несчетно , то топология на X называется топологией несчетной исключенной точки.

Обобщением является топология открытого расширения ; если имеет дискретную топологию , то топология открытого расширения на является топологией исключенной точки. ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$${\displaystyle (X\setminus \{p\})\cup \{p\}}$

Эта топология используется для предоставления интересных примеров и контрпримеров.

Пусть будет пространством с топологией исключенной точки с особой точкой${\displaystyle X}$${\displaystyle с.}$

Пространство компактно , поскольку единственным соседством является все пространство.${\displaystyle p}$

Топология — топология Александрова . Наименьшая окрестность — всё пространство, наименьшая окрестность точки — синглтон . Эти наименьшие окрестности компактны. Их замыкания — соответственно и , которые также компактны. Таким образом, пространство локально относительно компактно (каждая точка допускает локальную базу относительно компактных окрестностей) и локально компактно в том смысле, что каждая точка имеет локальную базу компактных окрестностей. Но точки не допускают локальную базу замкнутых компактных окрестностей.${\displaystyle p}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle x\neq p}$${\displaystyle \{x\}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{x,p\},}$${\displaystyle x\neq p}$

Пространство является ультрасвязным , так как любое непустое замкнутое множество содержит точку Поэтому пространство также связно и линейно связно .${\displaystyle с.}$

• Конечное топологическое пространство
• Форт-пространство
• Список топологий
• Конкретная точечная топология

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446