Ультрасвязанное пространство

В математике топологическое пространство называется ультрасвязным , если никакие два непустых замкнутых множества не являются непересекающимися . ^[1] Эквивалентно, пространство является ультрасвязным тогда и только тогда, когда замыкания двух различных точек всегда имеют нетривиальное пересечение. Следовательно, никакое пространство T ₁ с более чем одной точкой не является ультрасвязным. ^[2]

Каждое ультрасвязное пространство является путе-связным (но не обязательно дуго-связным ). Если и являются двумя точками и является точкой в ​​пересечении , функция, определяемая как , и если , является непрерывным путем между и . ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{a\}\cap \operatorname {cl} \{b\}}$${\displaystyle f:[0,1]\to X}$${\displaystyle f(t)=a}$${\displaystyle 0\leq t<1/2}$${\displaystyle f(1/2)=p}$${\displaystyle f(t)=b}$${\displaystyle 1/2<t\leq 1}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$

Каждое ультрасвязное пространство является нормальным , компактным в предельной точке и псевдокомпактным . ^[1]

Ниже приведены примеры ультрасвязных топологических пространств.

• Множество с недискретной топологией .
• Пространство Серпинского .
• Множество с исключенной точечной топологией .
• Правильная топология порядка на действительной прямой. ^[3]

• Гиперсвязанное пространство

• В данной статье использованы материалы из пространства Ultraconnected на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN  0-486-68735-X (издание Dover).