Распространение неопределенности

В статистике распространение неопределенности (или распространение ошибки ) — это влияние неопределенностей переменных (или ошибок , точнее случайных ошибок ) на неопределенность функции, основанной на них. Когда переменные являются значениями экспериментальных измерений, они имеют неопределенности из-за ограничений измерения (например, точности прибора ) , которые распространяются из-за комбинации переменных в функции.

Неопределенность u может быть выражена несколькими способами. Она может быть определена с помощью абсолютной погрешности Δ x . Неопределенности также могут быть определены с помощью относительной погрешности (Δ x )/ x , которая обычно записывается в процентах. Чаще всего неопределенность величины количественно определяется с помощью стандартного отклонения σ , которое является положительным квадратным корнем дисперсии . Значение величины и ее погрешность затем выражаются как интервал x ± u . Однако наиболее общий способ характеризовать неопределенность — это указать ее распределение вероятностей . Если распределение вероятностей переменной известно или может быть предположено, теоретически можно получить любую ее статистику. В частности, можно вывести доверительные пределы для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, 68% доверительные пределы для одномерной переменной, принадлежащей нормальному распределению, составляют приблизительно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения x , что означает, что область x ± σ будет охватывать истинное значение примерно в 68% случаев.

Если неопределенности коррелируют, то необходимо учитывать ковариацию . Корреляция может возникнуть из двух разных источников. Во-первых, ошибки измерения могут быть коррелированы. Во-вторых, когда базовые значения коррелируют по всей популяции, неопределенности в средних значениях группы будут коррелированы. ^[1]

В общем контексте, где нелинейная функция изменяет неопределенные параметры (коррелированные или нет), стандартными инструментами для распространения неопределенности и вывода результирующего количественного распределения вероятностей/статистики являются методы выборки из семейства методов Монте-Карло . ^[2] Для очень больших наборов данных или сложных функций вычисление распространения ошибки может быть очень дорогим, поэтому может потребоваться суррогатная модель ^[3] или стратегия параллельных вычислений ^{[4] [5] [6]} .

В некоторых частных случаях расчет распространения неопределенности может быть выполнен с помощью упрощенных алгебраических процедур. Некоторые из этих сценариев описаны ниже.

Пусть будет набором из m функций, которые являются линейными комбинациями переменных с коэффициентами комбинации : или в матричной записи,${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\точки,x_{n})\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\точки ,x_{n}}$${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}$$${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},}$$$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .}$$

Также пусть матрица дисперсии-ковариации x = ( x ₁ , ..., x n ₎ обозначается как , а среднее значение обозначается как : — внешнее произведение .${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma}}^{x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=E[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Сигма }_{12}^{x}&{\Сигма }_{13}^{x}&\cdots \\{\Сигма }_{21}^{x}&{\Сигма }_{22}^{x}&{\Сигма }_{23}^{x}&\cdots \\{\Сигма }_{31}^{x}&{\Сигма }_{32}^{x}&{\Сигма }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle \otimes}$

Тогда матрица дисперсии-ковариации функции f определяется как${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma}}^{f}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=E[(\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])]=E[\mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes \mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]=\mathbf {A} E[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.}$$

В компонентной записи уравнение выглядит следующим образом:$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$$$${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.}$$

Это наиболее общее выражение для распространения ошибки из одного набора переменных в другой. Когда ошибки по x некоррелированы, общее выражение упрощается до , где - дисперсия k -го элемента вектора x . Обратите внимание, что даже если ошибки по x могут быть некоррелированными, ошибки по f в общем случае коррелированы; другими словами, даже если - диагональная матрица, - в общем случае полная матрица.$${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}$$${\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$

Общие выражения для скалярной функции f немного проще (здесь a — вектор-строка):$${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$$

Каждый ковариационный член может быть выражен через коэффициент корреляции следующим образом : , так что альтернативное выражение для дисперсии f имеет вид${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

В случае, если переменные в x не коррелируют, это упрощается еще больше:$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$$

В простом случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим$${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}$$

Для среднего арифметического результатом является стандартная ошибка среднего :${\displaystyle a=1/n}$$${\displaystyle \sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

Когда f представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных x , можно выполнить интервальное распространение для вычисления интервалов, содержащих все согласованные значения переменных. В вероятностном подходе функция f обычно должна быть линеаризована путем приближения к разложению в ряд Тейлора первого порядка , хотя в некоторых случаях можно вывести точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае точной дисперсии произведений. ^[7] Разложение Тейлора будет выглядеть так: где обозначает частную производную f _k по отношению к i -й переменной, вычисленную по среднему значению всех компонентов вектора x . Или в матричной записи , где J - матрица Якоби . Поскольку f ⁰ является константой, она не вносит вклад в ошибку в f. Следовательно, распространение ошибки следует линейному случаю, описанному выше, но заменяя линейные коэффициенты A _ki и A _kj частными производными и . В матричной записи ^[8]$${\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}$$${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$$${\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$$${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$$${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$$

То есть, якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов матрицы дисперсии-ковариации аргумента. Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с .${\displaystyle \mathrm {J=A} }$

Пренебрежение корреляциями или предположение о независимости переменных приводит к общей формуле среди инженеров и ученых-экспериментаторов для расчета распространения ошибок — формуле дисперсии: ^[9] где представляет собой стандартное отклонение функции , представляет собой стандартное отклонение , представляет собой стандартное отклонение и т. д.$${\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}}$$${\displaystyle s_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s_{y}}$${\displaystyle y}$

Эта формула основана на линейных характеристиках градиента и, следовательно, является хорошей оценкой для стандартного отклонения, если они достаточно малы. В частности, линейная аппроксимация должна быть близка к внутри окрестности радиуса . ^[10]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$

Любая нелинейная дифференцируемая функция двух переменных и может быть разложена как Если мы возьмем дисперсию с обеих сторон и применим формулу ^[11] для дисперсии линейной комбинации переменных, то получим где — стандартное отклонение функции , — стандартное отклонение , — стандартное отклонение и — ковариация между и .${\displaystyle f(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b.}$$$${\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y),}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab},}$$${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

В частном случае, когда , , . Тогда или где есть корреляция между и .${\displaystyle f=ab}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}=b}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial b}}=a}$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}}$$$${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}}$$${\displaystyle \rho _{ab}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Когда переменные и некоррелированы, . Тогда${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \rho _{ab}=0}$$${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.}$$

Оценки ошибок для нелинейных функций смещены из-за использования усеченного расширения ряда. Степень этого смещения зависит от природы функции. Например, смещение ошибки, вычисленной для log(1+ x ), увеличивается с ростом x , поскольку расширение до x является хорошим приближением только тогда, когда x близок к нулю.

Для сильно нелинейных функций существует пять категорий вероятностных подходов к распространению неопределенности; ^[12] подробности см . в разделе Количественная оценка неопределенности .

В особом случае обратного или обратного распределения , когда следует стандартное нормальное распределение , результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и не существует определяемой дисперсии. ^[13]${\displaystyle 1/B}$${\displaystyle B=N(0,1)}$

Однако в несколько более общем случае смещенной обратной функции для следования общему нормальному распределению, тогда статистики среднего и дисперсии существуют в смысле главного значения , если разница между полюсом и средним значением является действительной. ^[14]${\displaystyle 1/(p-B)}$${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu }$

Соотношения также проблематичны; при определенных условиях существуют нормальные приближения.

В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций действительных переменных со стандартными отклонениями, ковариацией и корреляцией. Действительные коэффициенты и предполагаются точно известными (детерминированными), т.е.${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}$ ${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}$${\displaystyle \rho _{AB}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}$

В правых столбцах таблицы и — это ожидаемые значения , а — значение функции, рассчитанное при этих значениях.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$

Функция	Дисперсия	Стандартное отклонение
${\displaystyle f=aA\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}=|a|\sigma _{A}}$
${\displaystyle f=A+B}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=A-B}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA+bB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA-bB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=AB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[15] [16]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{B}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[17]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{A+B}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx {\frac {f^{2}}{\left(A+B\right)^{2}}}\left({\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}\right)}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{\frac {f}{A+B}}\right|{\sqrt {{\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA^{b}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\ln(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}}$[18]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\log _{10}(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}}$[18]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|}$
${\displaystyle f=ae^{bA}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}}$[19]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|}$
${\displaystyle f=a^{bA}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|b\ln(a)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\sin(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\cos \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\tan \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=A^{B}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}}$

Для некоррелированных переменных ( , ) выражения для более сложных функций могут быть получены путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение, предполагающее отсутствие корреляции, дает${\displaystyle \rho _{AB}=0}$${\displaystyle \sigma _{AB}=0}$$${\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}$$

Для этого случая у нас также есть выражение Гудмана ^[7] для точной дисперсии: для некоррелированного случая оно равно и поэтому мы имеем${\displaystyle f=AB}$$${\displaystyle V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2}),}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.}$$

Если A и B не коррелируют, их разность A − B будет иметь большую дисперсию, чем любая из них. Увеличивающаяся положительная корреляция ( ) уменьшит дисперсию разности, сходясь к нулевой дисперсии для идеально коррелированных переменных с той же дисперсией . С другой стороны, отрицательная корреляция ( ) еще больше увеличит дисперсию разности по сравнению с некоррелированным случаем.${\displaystyle \rho _{AB}\to 1}$${\displaystyle \rho _{AB}\to -1}$

Например, самовычитание f = A − A имеет нулевую дисперсию только в том случае, если переменная полностью автокоррелирована ( ). Если A некоррелирована, то выходная дисперсия в два раза больше входной дисперсии, а если A полностью антикоррелирована, то входная дисперсия в четыре раза больше выходной (обратите внимание на f = aA − aA в таблице выше).${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}$${\displaystyle \rho _{A}=1}$${\displaystyle \rho _{A}=0,}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}.}$${\displaystyle \rho _{A}=-1,}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}}$${\displaystyle 1-\rho _{A}=2}$

Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции арктангенса в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.

Определим , где абсолютная неопределенность нашего измерения x . Производная f ( x ) по x равна$${\displaystyle f(x)=\arctan(x),}$$${\displaystyle \Delta _{x}}$$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$$

Следовательно, наша распространенная неопределенность равна , где — абсолютная распространенная неопределенность.$${\displaystyle \Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},}$$${\displaystyle \Delta _{f}}$

Практическим применением является эксперимент , в котором измеряют ток I и напряжение V на резисторе , чтобы определить сопротивление R , используя закон Ома R = V / I.

Учитывая измеренные переменные с неопределенностями, I ± σ _I и V ± σ _V , и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность вычисляемой величины, σ _R , равна:

$${\displaystyle \sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.}$$

• Бевингтон, Филип Р.; Робинсон, Д. Кит (2002), Обработка данных и анализ ошибок для физических наук (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Форназини, Паоло (2008), Неопределенность физических измерений: введение в анализ данных в физической лаборатории, Springer, стр. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
• Мейер, Стюарт Л. (1975), Анализ данных для ученых и инженеров , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
• Перальта, М. (2012), Распространение ошибок: как математически предсказать ошибки измерения , CreateSpace
• Руо, М. (2013), Вероятность, статистика и оценка: распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (краткое изд.)
• Тейлор, Дж. Р. (1997), Введение в анализ ошибок: изучение неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.), University Science Books
• Ван, CM; Айер, Хари К. (2005-09-07). «О поправках высшего порядка для распространяющихся неопределенностей». Metrologia . 42 (5): 406– 410. doi :10.1088/0026-1394/42/5/011. ISSN  0026-1394. S2CID  122841691.

• Подробное обсуждение измерений и распространения неопределенности, объясняющее преимущества использования формул распространения ошибок и моделирования Монте-Карло вместо простой арифметики значимости.
• GUM, Руководство по выражению неопределенности в измерениях
• EPFL Введение в распространение ошибок, вывод, значение и примеры Cy = Fx Cx Fx'
• пакет неопределенностей, программа/библиотека для прозрачного выполнения расчетов с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• Пакет soerp, программа/библиотека Python для прозрачного выполнения вычислений *второго порядка* с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• Объединенный комитет по руководствам по метрологии (2011). JCGM 102: Оценка данных измерений — Дополнение 2 к «Руководству по выражению неопределенности измерений» — Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM . Получено 13 февраля 2013 г.
• Калькулятор неопределенности Распространить неопределенность для любого выражения