Интервальное распространение

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Распространение интервалов» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2013 г. )

В числовой математике распространение интервалов или распространение ограничений интервалов — это проблема сжатия интервальных доменов, связанных с переменными R, без удаления любого значения, которое согласуется с набором ограничений (т. е. уравнений или неравенств). Его можно использовать для распространения неопределенностей в ситуации, когда ошибки представлены интервалами . ^[1] Распространение интервалов рассматривает проблему оценки как проблему удовлетворения ограничений .

Контрактор, связанный с уравнением, включающим переменные x ₁ ,..., x _{n ,} — это оператор, который сжимает интервалы [ x ₁ ],..., [ x _n ] (которые должны охватывать x _i ), не удаляя никаких значений переменных, которые согласуются с уравнением.

Подрядчик называется атомарным, если он не построен как композиция других подрядчиков. Основная теория, которая используется для построения атомарных подрядчиков, основана на интервальном анализе .

Пример . Рассмотрим, например, уравнение

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=x_{3},}$

которая включает три переменные x ₁ , x ₂ и x ₃ .

Связанный подрядчик указан в следующих заявлениях

${\displaystyle [x_{3}]:=[x_{3}]\cap ([x_{1}]+[x_{2}])}$

${\displaystyle [x_{1}]:=[x_{1}]\cap ([x_{3}]-[x_{2}])}$

${\displaystyle [x_{2}]:=[x_{2}]\cap ([x_{3}]-[x_{1}])}$

Например, если

${\displaystyle x_{1}\in [-\infty ,5],}$

${\displaystyle x_{2}\in [-\infty ,4],}$

${\displaystyle x_{3}\in [6,\infty ]}$

подрядчик выполняет следующие расчеты

${\displaystyle x_{3}=x_{1}+x_{2}\Rightarrow x_{3}\in [6,\infty ]\cap ([-\infty ,5]+[-\infty ,4])=[6,\infty ]\cap [-\infty ,9]=[6,9].}$

${\displaystyle x_{1}=x_{3}-x_{2}\Rightarrow x_{1}\in [-\infty ,5]\cap ([6,\infty ]-[-\infty ,4])=[-\infty ,5]\cap [2,\infty ]=[2,5].}$

${\displaystyle x_{2}=x_{3}-x_{1}\Rightarrow x_{2}\in [-\infty ,4]\cap ([6,\infty ]-[-\infty ,5])=[-\infty ,4]\cap [1,\infty ]=[1,4].}$

Для других ограничений должен быть написан конкретный алгоритм для реализации атомарного контрактора. Иллюстрацией является атомарный контрактор, связанный с уравнением

${\displaystyle x_{2}=\sin(x_{1}),}$

представлено на рисунках 1 и 2.

Для более сложных ограничений следует выполнить разложение на атомарные ограничения (т.е. ограничения, для которых существует атомарный контрактор). Рассмотрим, например, ограничение

${\displaystyle x+\sin(xy)\leq 0,}$

можно разложить на

${\displaystyle а=ху}$

${\displaystyle b=\sin(a)}$

${\displaystyle c=x+b.}$

Интервальные домены, которые должны быть связаны с новыми промежуточными переменными, следующие:

${\displaystyle a\in [-\infty ,\infty ],}$

${\displaystyle b\in [-1,1],}$

${\displaystyle c\in [-\infty ,0].}$

Принцип интервального распространения заключается в вызове всех доступных атомарных контракторов до тех пор, пока больше не будет наблюдаться сокращение. ^[2] В результате теоремы Кнастера-Тарского процедура всегда сходится к интервалам, которые охватывают все возможные значения для переменных. Формализацию интервального распространения можно осуществить благодаря алгебре контракторов . Интервальное распространение быстро сходится к результату и может решать проблемы, включающие несколько сотен переменных. ^[3]

Рассмотрим электронную схему, представленную на рисунке 3.

Предположим, что из различных измерений мы знаем, что

${\displaystyle E\in [23В,26В]}$

${\displaystyle I\in [4A,8A]}$

${\displaystyle U_{1}\in [10В,11В]}$

${\displaystyle U_{2}\in [14В,17В]}$

${\displaystyle P\in [124W,130W]}$

${\displaystyle R_{1}\in [0\Омега ,\infty ]}$

${\displaystyle R_{2}\in [0\Омега ,\infty ].}$

Из схемы имеем следующие уравнения:

${\displaystyle P=EI}$

${\displaystyle U_{1}=R_{1}I}$

${\displaystyle U_{2}=R_{2}I}$

${\displaystyle E=U_{1}+U_{2}.}$

После выполнения интервального распространения получаем

${\displaystyle E\in [24В,26В]}$

${\displaystyle I\in [4.769A,5.417A]}$

${\displaystyle U_{1}\in [10В,11В]}$

${\displaystyle U_{2}\in [14В,16В]}$

${\displaystyle P\in [124W,130W]}$

${\displaystyle R_{1}\in [1,846\Омега ,2,307\Омега ]}$

${\displaystyle R_{2}\in [2,584\Омега ,3,355\Омега ].}$