Элемент (теория категорий)

В теории категорий понятие элемента или точки обобщает более привычное теоретико-множественное понятие элемента множества на объект любой категории . Эта идея часто позволяет переформулировать определения или свойства морфизмов (такие как мономорфизм или произведение ), заданные универсальным свойством , в более привычных терминах, устанавливая их связь с элементами. Некоторые очень общие теоремы, такие как лемма Йонеды и теорема вложения Митчелла , очень полезны для этого, позволяя работать в контексте, где эти переводы допустимы. Этот подход к теории категорий — в частности, использование леммы Йонеды таким образом — принадлежит Гротендику и часто называется методом функтора точек .

Предположим, что C — любая категория , а A , T — два объекта C. T - значная точка A — это просто морфизм . Множество всех T -значных точек A функториально изменяется вместе с T , что приводит к «функтору точек» A ; согласно лемме Йонеды , это полностью определяет A как объект C.${\displaystyle p\двоеточие T\to A}$

Многие свойства морфизмов можно переформулировать в терминах точек. Например, карта называется мономорфизмом , если${\displaystyle f}$

Для всех карт , , если , то .${\displaystyle г}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\displaystyle г=ч}$

Предположим, что и в C. Тогда g и h являются A -значными точками B , и поэтому мономорфизм эквивалентен более знакомому утверждению${\displaystyle f\двоеточие B\to C}$${\displaystyle g,h\двоеточие от A\до B}$

f является мономорфизмом, если он является инъективной функцией в точках B.

Необходима некоторая осторожность. f является эпиморфизмом, если выполняется двойственное условие:

Для всех отображений g , h (некоторого подходящего типа) влечет .${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$${\displaystyle г=ч}$

В теории множеств термин «эпиморфизм» является синонимом термина « сюръекция », т.е.

Каждая точка C является образом ( при f ) некоторой точки B.

Это явно не перевод первого утверждения на язык точек, и на самом деле эти утверждения в общем случае не эквивалентны. Однако в некоторых контекстах, таких как абелевы категории , «мономорфизм» и «эпиморфизм» подкреплены достаточно сильными условиями, которые фактически допускают такую ​​переинтерпретацию на точках.

Аналогично категориальные конструкции, такие как произведение, имеют точечные аналоги. Напомним, что если A , B являются двумя объектами C , их произведение A  ×  B является объектом таким, что

Существуют отображения , и для любых T и отображений существует единственное отображение такое, что и .${\displaystyle p\двоеточие A\times B\to A,}$ ${\displaystyle q\двоеточие A\times B\to B}$${\displaystyle f\двоеточие T\to A,g\двоеточие T\to B}$${\displaystyle h\двоеточие T\to A\times B}$${\displaystyle f=p\circ h}$${\displaystyle g=q\circ h}$

В этом определении f и g являются T -значными точками A и B соответственно, тогда как h является T -значной точкой A  ×  B. Альтернативное определение произведения, таким образом, следующее:

A  ×  B является объектом C вместе с проекционными картами и , такими что p и q обеспечивают биекцию между точками A  ×  B и парами точек A и B .${\displaystyle p\двоеточие A\times B\to A}$${\displaystyle q\двоеточие A\times B\to B}$

Это более привычное определение произведения двух множеств.

Терминология геометрического происхождения; в алгебраической геометрии Гротендик ввел понятие схемы , чтобы объединить предмет с арифметической геометрией , которая имела дело с той же идеей изучения решений полиномиальных уравнений (т. е. алгебраических многообразий ), но где решениями являются не комплексные числа , а рациональные числа , целые числа или даже элементы некоторого конечного поля . Схема тогда является именно этим: схемой для сбора вместе всех проявлений многообразия, определяемого теми же уравнениями, но с решениями, взятыми в разных числовых множествах. Одна схема дает комплексное многообразие, точки которого являются его -значными точками, а также множеством -значных точек (рациональных решений уравнений) и даже -значных точек (решений по модулю p ).${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {C} )}$${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {Q} )}$${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p})}$

Одна особенность языка точек очевидна из этого примера: в общем случае недостаточно рассматривать только точки со значениями в одном объекте. Например, уравнение (определяющее схему) не имеет действительных решений, но имеет комплексные решения, а именно . Оно также имеет одно решение по модулю 2 и два по модулю 5, 13, 29 и т. д. (все простые числа , которые равны 1 по модулю 4). Простое рассмотрение действительных решений не дало бы никакой информации.${\displaystyle x^{2}+1=0}$${\displaystyle \pm i}$

Ситуация аналогична случаю, когда C является категорией Set , множеств фактических элементов. В этом случае у нас есть «одноточечное» множество {1}, и элементы любого множества S совпадают с {1}-значными точками S . Кроме того, существуют {1,2}-значные точки, которые являются парами элементов S , или элементами S  ×  S . В контексте множеств эти более высокие точки являются сторонними: S полностью определяется своими {1}-точками . Однако, как показано выше, это является особым (в данном случае это потому, что все множества являются итерированными копроизведениями {1}).