Теорема вложения Митчелла

Теорема вложения Митчелла , также известная как теорема Фрейда–Митчелла или полная теорема вложения , является результатом об абелевых категориях ; по сути, она утверждает, что эти категории, хотя и определены довольно абстрактно, на самом деле являются конкретными категориями модулей . Это позволяет использовать поэлементные доказательства отслеживания диаграмм в этих категориях. Теорема названа в честь Барри Митчелла и Питера Фрейда .

Точное утверждение таково: если A — малая абелева категория, то существует кольцо R (с 1, не обязательно коммутативное) и полный , точный и точный функтор F : A → R -Mod (где последний обозначает категорию всех левых R -модулей ).

Функтор F задаёт эквивалентность между A и полной подкатегорией R -Mod таким образом, что ядра и коядра, вычисляемые в A, соответствуют обычным ядрам и коядрам, вычисляемым в R -Mod. Такая эквивалентность обязательно аддитивна . Таким образом, теорема по сути утверждает, что объекты A можно рассматривать как R -модули, а морфизмы - как R -линейные отображения, при этом ядра, коядра, точные последовательности и суммы морфизмов определяются так же, как в случае модулей. Однако проективные и инъективные объекты в A не обязательно соответствуют проективным и инъективным R -модулям.

Пусть — категория левых точных функторов из абелевой категории в категорию абелевых групп . Сначала мы строим контравариантное вложение по для всех , где — ковариантный hom-функтор, . Лемма Йонеды утверждает, что является полностью точным, и мы также получаем левую точность очень легко, поскольку уже является левой точностью. Доказательство правой точности сложнее и может быть прочитано в Swan, Lecture Notes in Mathematics 76 .${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset \operatorname {Fun} ({\mathcal {A}},Ab)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle Аб}$${\displaystyle H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {L}}}$${\displaystyle H(A)=h^{A}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle h^{A}}$${\displaystyle h^{A}(X)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h^{A}}$${\displaystyle H}$

После этого мы докажем, что является абелевой категорией, используя теорию локализации (также Свана). Это сложная часть доказательства.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Легко проверить, что абелева категория является категорией AB5 с генератором . Другими словами, это категория Гротендика и, следовательно, имеет инъективный когенератор .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{A\in {\mathcal {A}}}h^{A}}$${\displaystyle Я}$

Кольцо эндоморфизмов — это то кольцо, которое нам нужно для категории R -модулей.${\displaystyle R:=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(I,I)}$

Получаем еще одно контравариантное, точное и полностью верное вложение. Композиция — это искомое ковариантное, точное и полностью верное вложение.${\displaystyle G(B)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(B,I)}$${\displaystyle G:{\mathcal {L}}\to R\operatorname {-Mod} .}$${\displaystyle GH:{\mathcal {A}}\to R\operatorname {-Mod} }$

Обратите внимание, что доказательство теоремы вложения Габриэля–Квиллена для точных категорий почти идентично.