Интегральное уравнение электрического поля

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Фактическая точность этой статьи оспаривается .Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите убедиться, что спорные заявления имеют надежные источники . ( Апрель 2008 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Эта статья может показаться читателям запутанной или непонятной .Пожалуйста, помогите прояснить статью . Возможно, на странице обсуждения будет обсуждение по этому поводу . ( март 2009 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Интегральное уравнение электрического поля — это соотношение, позволяющее рассчитать электрическое поле ( E ), создаваемое распределением электрического тока ( J ).

При рассмотрении всех величин в частотной области предполагается наличие временной зависимости , которая повсеместно подавляется.${\displaystyle e^{jwt}}$

Начиная с уравнений Максвелла, связывающих электрическое и магнитное поле , и предполагая линейную, однородную среду с проницаемостью и диэлектрической проницаемостью :${\displaystyle \мю}$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-j\omega \mu \mathbf {H} \\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} &=j\omega \varepsilon \mathbf {E} +\mathbf {J} \end{aligned}}}$$

Следуя третьему уравнению, включающему дивергенцию H с помощью векторного исчисления, мы можем записать любой вектор без дивергенции как ротор другого вектора, следовательно , где A называется магнитным векторным потенциалом . Подставляя это в вышеприведенное, мы получаем и любой вектор без ротора может быть записан как градиент скаляра, следовательно, где — электрический скалярный потенциал . Эти соотношения теперь позволяют нам записать , где , что можно переписать с помощью векторного тождества как$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0\,}$$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {H} }$$$${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {E} +j\omega \mu \mathbf {A}) = 0}$$$${\displaystyle \mathbf {E} +j\omega \mu \mathbf {A} =-\nabla \Phi}$$${\displaystyle \Фи}$$${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {A} -k^{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} -j\omega \varepsilon \nabla \Phi }$$${\displaystyle k=\omega {\sqrt {\mu \varepsilon }}}$$${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} -k^{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} -j\omega \varepsilon \nabla \Phi }$$

Поскольку мы указали только ротор A , мы свободны определить дивергенцию и выбрать следующее: которое называется условием калибровки Лоренца . Предыдущее выражение для A теперь сводится к которое является векторным уравнением Гельмгольца . Решение этого уравнения для A имеет вид где — трехмерная однородная функция Грина, заданная как$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =-j\omega \varepsilon \Phi \,}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} =-\mathbf {J} \,}$$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int \mathbf {J} (\mathbf {r} ^{\prime })\ G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\,d\mathbf {r} ^{\prime }}$$${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })}$$${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })={\frac {e^{-jk\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}}$$

Теперь мы можем записать то, что называется интегральным уравнением электрического поля (ИУЭП), связывающим электрическое поле E с векторным потенциалом A.$${\displaystyle \mathbf {E} =-j\omega \mu \mathbf {A} +{\frac {1}{j\omega \varepsilon }}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )\,}$$

Мы можем далее представить EFIE в диадической форме как где здесь — диадическая однородная функция Грина, заданная выражением$${\displaystyle \mathbf {E} =-j\omega \mu \int _{V}d\mathbf {r} ^{\prime }\mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ^{\prime })\,}$$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\,}$$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {I} +{\frac {\nabla \nabla }{k^{2}}}\right]G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })}$$

EFIE описывает излучаемое поле E при заданном наборе источников J , и как таковое оно является фундаментальным уравнением, используемым при анализе и проектировании антенн . Это очень общее соотношение, которое можно использовать для вычисления излучаемого поля любого типа антенны, если известно распределение тока на ней. Самым важным аспектом EFIE является то, что оно позволяет нам решать задачу излучения/рассеяния в неограниченной области или области, граница которой расположена на бесконечности . Для замкнутых поверхностей можно использовать интегральное уравнение магнитного поля или интегральное уравнение комбинированного поля, оба из которых приводят к набору уравнений с улучшенным числом обусловленности по сравнению с EFIE. Однако MFIE и CFIE все еще могут содержать резонансы.

В задачах рассеяния желательно определить неизвестное рассеянное поле , которое обусловлено известным падающим полем . К сожалению, EFIE связывает рассеянное поле с J , а не падающее поле, поэтому мы не знаем, чему равно J. Такого рода задачу можно решить, наложив граничные условия на падающее и рассеянное поля, что позволяет записать EFIE только в терминах и J. После того как это будет сделано, интегральное уравнение можно решить с помощью численного метода, подходящего для интегральных уравнений, такого как метод моментов .${\displaystyle E_{s}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$

По теореме Гельмгольца векторное поле полностью описывается его дивергенцией и ротором. Поскольку дивергенция не была определена, мы оправданы выбором условия калибровки Лоренца выше при условии, что мы последовательно используем это определение дивергенции A во всем последующем анализе. Однако другие выборы для столь же допустимы и приводят к другим уравнениям, которые все описывают те же явления, а решения уравнений для любого выбора приводят к тем же электромагнитным полям, и те же физические предсказания относительно полей и зарядов ускоряются ими.${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$

Естественно думать, что если величина проявляет эту степень свободы в своем выборе, то ее не следует интерпретировать как реальную физическую величину. В конце концов, если мы можем свободно выбирать быть чем угодно, то не является уникальным. Можно спросить: каково «истинное» значение измеренное в эксперименте? Если не является уникальным, то единственным логичным ответом должно быть то, что мы никогда не сможем измерить значение . На этом основании часто утверждается, что это не реальная физическая величина, и считается, что поля и являются истинными физическими величинами.${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

Однако существует по крайней мере один эксперимент, в котором значения и являются нулевыми в месте расположения заряженной частицы, но тем не менее на него влияет наличие локального магнитного векторного потенциала; см. эффект Ааронова–Бома для получения подробной информации. Тем не менее, даже в эксперименте Ааронова–Бома расхождение никогда не входит в расчеты; только вдоль пути частицы определяется измеряемый эффект.${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$