Теория двойственности для дистрибутивных решеток
В математике теория двойственности для дистрибутивных решеток дает три различных (но тесно связанных) представления ограниченных дистрибутивных решеток через пространства Пристли , спектральные пространства и парные пространства Стоуна . Эта двойственность, которая изначально также принадлежит Маршаллу Х. Стоуну , [1] обобщает известную двойственность Стоуна между пространствами Стоуна и булевыми алгебрами .
Пусть L — ограниченная дистрибутивная решетка, и пусть X обозначает множество простых фильтров L. Для каждого a ∈ L пусть φ + ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x } . Тогда ( X , τ + ) — спектральное пространство , [ 2 ] где топология τ + на X порождается { φ + ( a ) : a ∈ L } . Спектральное пространство ( X , τ + ) называется простым спектром L .
Отображение φ + является решеточным изоморфизмом из L на решетку всех компактных открытых подмножеств ( X , τ + ) . Фактически, каждое спектральное пространство гомеоморфно простому спектру некоторой ограниченной дистрибутивной решетки. [ 3]
Аналогично, если φ − ( a ) = { x ∈ X : a ∉ x } и τ − обозначает топологию, порожденную { φ − ( a ) : a ∈ L } , то ( X , τ − ) также является спектральным пространством. Более того, ( X , τ + , τ − ) является парным пространством Стоуна . Парное пространство Стоуна ( X , τ + , τ − ) называется битопологически сопряженным к L . Каждое парное пространство Стоуна бигомеоморфно битопологически сопряженному к некоторой ограниченной дистрибутивной решетке. [4]
Наконец, пусть ≤ — теоретико-множественное включение на множестве простых фильтров L и пусть τ = τ + ∨ τ − . Тогда ( X , τ , ≤) — пространство Пристли . Более того, φ + — решеточный изоморфизм из L на решетку всех открыто - замкнутых множеств ( X , τ , ≤) . Пространство Пристли ( X , τ , ≤) называется двойственным по Пристли к L . Каждое пространство Пристли изоморфно двойственному по Пристли некоторой ограниченной дистрибутивной решетке. [5]
Пусть Dist обозначает категорию ограниченных дистрибутивных решеток и ограниченных решеточных гомоморфизмов . Тогда приведенные выше три представления ограниченных дистрибутивных решеток могут быть расширены до дуальной эквивалентности [6] между Dist и категориями Spec , PStone и Pries спектральных пространств со спектральными отображениями, попарных пространств Стоуна с бинепрерывными отображениями и пространств Пристли с морфизмами Пристли соответственно:
Таким образом, существует три эквивалентных способа представления ограниченных дистрибутивных решеток. Каждый из них имеет свою собственную мотивацию и преимущества, но в конечном итоге все они служат одной и той же цели — обеспечить лучшее понимание ограниченных дистрибутивных решеток.
Смотрите также
- Теорема о представлении
- Теорема Биркгофа о представлении
- Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр
- Двойственность камня
- Эсакия двойственность
Примечания
- ^ Стоун (1938)
- ^ Стоун (1938), Джонстон (1982)
- ^ Стоун (1938), Джонстон (1982)
- ^ Бежанишвили и др. (2010)
- ^ Пристли (1970)
- ^ Бежанишвили и др. (2010)
Ссылки
- Пристли, HA (1970). Представление дистрибутивных решеток с помощью упорядоченных пространств Стоуна. Bull. London Math. Soc. , (2) 186–190.
- Пристли, HA (1972). Упорядоченные топологические пространства и представление дистрибутивных решеток. Proc. London Math. Soc. , 24(3) 507–530.
- Стоун, М. (1938). Топологическое представление дистрибутивных решеток и брауэровских логик. Casopis Pest. Mat. Fys., 67 1–25.
- Cornish, WH (1975). О двойственности Г. Пристли категории ограниченных дистрибутивных решеток. Матем. Весник , 12(27) (4) 329–332.
- М. Хохстер (1969). Структура простого идеала в коммутативных кольцах. Trans. Amer. Math. Soc. , 142 43–60
- Джонстон, ПТ (1982). Каменные пространства . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 0-521-23893-5 .
- Юнг, А. и Мошье, М.А. (2006). О битопологической природе двойственности Стоуна. Технический отчет CSR-06-13 , Школа компьютерных наук, Университет Бирмингема.
- Бежанишвили, Г., Бежанишвили, Н., Габелайя, Д., Курц, А. (2010). Битопологическая двойственность для дистрибутивных решеток и алгебр Гейтинга. Математические структуры в информатике , 20.
- Дикманн, Макс; Шварц, Нильс; Трессл, Маркус (2019). Спектральные пространства . Новые математические монографии. Том 35. Кембридж: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781316543870. ISBN 9781107146723.
