Теорема о представлении

В математике теорема о представлении — это теорема , утверждающая, что каждая абстрактная структура с определенными свойствами изоморфна другой (абстрактной или конкретной) структуре.

• Теорема Кэли утверждает, что каждая группа изоморфна группе перестановок . [ 1 ^]
• Теория представлений изучает свойства абстрактных групп посредством их представлений в виде линейных преобразований векторных пространств .
• Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна полю множеств . ^[2]

  Вариант теоремы Стоуна о представлении для дистрибутивных решеток утверждает, что каждая дистрибутивная решетка изоморфна подрешетке решетки степенных множеств некоторого множества.

  Другой вариант, двойственность Стоуна , утверждает, что существует двойственность (в смысле эквивалентности, переворачивающей стрелку) между категориями булевых алгебр и категориями пространств Стоуна .

• Теорема Пуанкаре –Биркгофа–Витта утверждает, что каждая алгебра Ли вкладывается в коммутаторную алгебру Ли своей универсальной обертывающей алгебры .
• Теорема Адо утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики вкладывается в алгебру Ли эндоморфизмов некоторого конечномерного векторного пространства.
• Теорема Биркгофа HSP утверждает, что каждая модель алгебры A является гомоморфным образом подалгебры прямого произведения копий A. ^[3 ]
• При изучении полугрупп теорема Вагнера –Престона дает представление обратной полугруппы S как гомоморфного образа множества частичных биекций на S , а полугрупповая операция задается композицией .

• Лемма Йонеды обеспечивает полное и точное, сохраняющее предел , вложение любой категории в категорию предпучков .
• Теорема вложения Митчелла для абелевых категорий реализует каждую малую абелеву категорию как полную (и точно вложенную) подкатегорию категории модулей над некоторым кольцом . ^[4]
• Теорема Мостовского о коллапсе утверждает, что каждая хорошо обоснованная экстенсиональная структура изоморфна транзитивному множеству с ∈-отношением.
• Одна из основных теорем теории пучков утверждает, что каждый пучок над топологическим пространством можно рассматривать как пучок сечений некоторого (этального) расслоения над этим пространством: категории пучков на топологическом пространстве и категории этальных пространств над ним эквивалентны, причем эквивалентность задается функтором , который переводит расслоение в его пучок (локальных) сечений.

• Конструкция Гельфанда –Наймарка–Сигала вкладывает любую C*-алгебру в алгебру ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве .
• Представление Гельфанда (также известное как коммутативная теорема Гельфанда–Наймарка) утверждает, что любая коммутативная C*-алгебра изоморфна алгебре непрерывных функций на ее спектре Гельфанда . Его также можно рассматривать как конструкцию двойственности между категорией коммутативных C*-алгебр и категорией компактных хаусдорфовых пространств .
• Теорема Рисса о представлении утверждает, что в гильбертовом пространстве , таком как квадратично-интегрируемое функциональное пространство L ² ( X ) на многообразии X , любой линейный функционал F равен скалярному произведению с фиксированным элементом , т.е. для всех . Более общая теорема Рисса–Маркова–Какутани о представлении имеет несколько версий, одна из которых отождествляет сопряженное пространство C ₀ ( X ) с множеством регулярных мер на X .${\displaystyle a\in H}$${\displaystyle F(v)=\langle a,v\rangle}$${\displaystyle v\in H}$

• Теоремы вложения Уитни вкладывают любое абстрактное многообразие в некоторое евклидово пространство .
• Теорема вложения Нэша изометрически вкладывает абстрактное риманово многообразие в евклидово пространство . ^[5]

• Теорема о представлении предпочтений устанавливает условия существования функции полезности , представляющей отношение предпочтения . Примерами являются теорема о полезности фон Неймана–Моргенштерна и теоремы о представлении Дебре .

• Теорема классификации