Властный

Властный

Пример игры «Доминирование», разыгрываемой на доске 5x5, где горизонтальный игрок («H» или «Right») делает первый ход и проигрывает в 13-м раунде игры.
Жанры	игра на основе плиток
Игроки	2
Шанс	никто
Навыки	стратегия

Domineering (также называемый Stop-Gate или Crosscram ) — это математическая игра , в которую можно играть на любом наборе квадратов на листе миллиметровой бумаги . Например, в нее можно играть на квадрате 6×6, прямоугольнике, полностью неправильном полимино или комбинации любого количества таких компонентов. У двух игроков есть набор домино , которые они по очереди размещают на сетке, закрывая квадраты. Один игрок размещает плитки вертикально, а другой — горизонтально. (Традиционно этих игроков называют «Левым» и «Правым» соответственно, или «V» и «H». В этой статье используются оба соглашения.) Как и в большинстве игр в комбинаторной теории игр , первый игрок, который не может двигаться, проигрывает.

Доминирование — это партийная игра , в которой игроки используют разные фигуры: беспристрастная версия игры — Крам .

За исключением пустой игры, где нет сетки, самая простая игра — это игра с одним ящиком.

В этой игре, очевидно, ни один из игроков не может сделать ход. Поскольку это победа второго игрока, то это нулевая игра .

Эта игра представляет собой сетку 2 на 1. Существует соглашение о назначении игре положительного числа , когда выигрывает Левый, и отрицательного , когда выигрывает Правый. В этом случае у Левого нет ходов, в то время как Правый может сыграть домино, чтобы закрыть всю доску, не оставив ничего, что, очевидно, является нулевой игрой. Таким образом, в сюрреалистической числовой нотации эта игра выглядит как {|0} = −1. Это имеет смысл, так как эта сетка дает Правым преимущество в 1 ход.

Эта игра также {|0} = −1, потому что один ящик не может быть использован.

Эта сетка — первый случай выбора. Правый может играть в два левых поля, оставляя −1. Самые правые поля также оставляют −1. Он также может играть в два средних поля, оставляя два отдельных поля. Этот вариант оставляет 0+0 = 0. Таким образом, эту игру можно выразить как {|0,−1}. Это −2. Если эта игра играется в сочетании с другими играми, это два бесплатных хода для Правого.

Вертикальные столбцы оцениваются таким же образом. Если есть строка из 2 n или 2 n +1 ячеек, она считается как − n . Столбец такого размера считается как + n .

Это более сложная игра. Если Левый ходит первым, любой ход оставляет сетку 1×2, которая равна +1. Правый, с другой стороны, может переместиться на −1. Таким образом , сюрреалистическая нотация числа — {1|−1}. Однако это не сюрреалистическое число, потому что 1 > −1. Это Игра, но не число. Нотация для этого — ±1, и это горячая игра , потому что каждый игрок хочет переместиться сюда.

Это сетка 2×3, которая еще сложнее, но, как и любую игру Domineering, ее можно разбить, посмотрев на различные ходы для Left и Right. Left может взять левый столбец (или, что эквивалентно, правый столбец) и переместиться на ±1, но, очевидно, лучше разделить середину, оставив две отдельные игры, каждая из которых стоит +1. Таким образом, лучший ход Left — +2. Right имеет четыре «разных» хода, но все они оставляют следующую форму в некотором повороте :

Эта игра не является горячей игрой (её также называют холодной игрой ), потому что каждый ход вредит игроку, который его делает, как мы можем видеть, изучая ходы. Левый может двигаться к −1, правый может двигаться к 0 или +1. Таким образом, эта игра {−1|0,1} = {−1|0} = − 1 ⁄ 2 .

Наша сетка 2×3, таким образом, равна {2|− 1 ⁄ 2 }, что также может быть представлено средним значением, 3 ⁄ 4 , вместе с бонусом за перемещение («температурой»), 1+1 ⁄ 4 , таким образом:${\displaystyle \textstyle \left\{2\left|-{\frac {1}{2}}\right.\right\}={\frac {3}{4}}\pm {\frac {5}{4}}}$

Научно-исследовательский институт математических наук провел турнир Domineering с призом в 500 долларов для победителя. Эта игра проводилась на доске 8×8. Победителем стал математик Дэн Калистрат, который победил Дэвида Вулфа в финале. Турнир подробно описан в книге Ричарда Дж. Новаковски «Игры без шансов» (стр. 85).

Проблема Domineering заключается в вычислении выигрышной стратегии для больших досок, особенно квадратных. В 2000 году Деннис Брейкер, Йос Уитервейк и Яап ван ден Херик вычислили и опубликовали решение для доски 8x8. ^[1] Доска 9x9 появилась вскоре после некоторых улучшений их программы. Затем, в 2002 году, Натан Буллок решил доску 10x10 в рамках своей диссертации по Domineering. ^[2] Доска 11x11 была решена Йосом Уитервейком в 2016 году. ^[3]

Domineering — это победа первого игрока на квадратных досках 2x2, 3x3, 4x4, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9, 10x10 и 11x11, и победа второго игрока на досках 1x1 и 5x5. Некоторые другие известные значения для прямоугольных досок можно найти на сайте Натана Буллока. ^[4]

Cram — беспристрастная версия Domineering. Единственное отличие в правилах — каждый игрок может размещать свои домино в любой ориентации. Кажется, это лишь небольшое изменение правил, но оно приводит к совершенно другой игре, которую можно проанализировать с помощью теоремы Спрэга–Гранди .

• Блокбастер (игра) Комбинаторная игра, анализ которой был применен к Доминированию.

• Альберт, Майкл Х .; Новаковски, Ричард Дж.; Вулф, Дэвид (2007). Уроки в игре: Введение в комбинаторную теорию игр . AK Peters, Ltd. ISBN 978-1-56881-277-9.
• Берлекэмп, Элвин Р.; Конвей , Джон Х.; Гай , Ричард К. (2003). Выигрышные пути для ваших математических игр . AK Peters, Ltd. ISBN 978-0-12-091150-9.
• Гарднер, Мартин (1974). «Математические игры: Cram, crosscram и quadrafage: новые игры с неуловимыми выигрышными стратегиями». Scientific American . 230 (2): 106–108. doi :10.1038/scientificamerican0374-102.

• Стоп-ворота на BoardGameGeek
• Игровая версия на Pencil and Paper Games