Эллиптические функции Диксона
Эллиптические функции Диксона cm, sm, примененные к действительному аргументу x . Обе функции являются периодическими с действительным периодом π 3 ≈ 5,29991625

В математике эллиптические функции Диксона sm и cm — это две эллиптические функции ( дважды периодические мероморфные функции на комплексной плоскости ), которые отображаются из каждого правильного шестиугольника в гексагональной мозаике во всю комплексную плоскость. Поскольку эти функции удовлетворяют тождеству , как действительные функции они параметризуют кубическую кривую Ферма , так же как тригонометрические функции синус и косинус параметризуют единичную окружность . см 3 ⁡ з + см 3 ⁡ з = 1 {\displaystyle \operatorname {см} ^{3}z+\operatorname {sm} ^{3}z=1} х 3 + у 3 = 1 {\displaystyle x^{3}+y^{3}=1} х 2 + у 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

Они были названы sm и cm Альфредом Диксоном в 1890 году по аналогии с тригонометрическими функциями синусом и косинусом и эллиптическими функциями Якоби sn и cn; Йоран Диллнер описал их ранее в 1873 году. [1]

Определение

Функции sm и cm можно определить как решения задачи начального значения : [2]

г г з см ⁡ з = − см 2 ⁡ з ,   г г з см ⁡ з = см 2 ⁡ з ,   см ⁡ ( 0 ) = 1 ,   см ⁡ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cm} z=-\operatorname {sm} ^{2}z,\ {\frac {d}{dz}}\operatorname {sm} z= \operatorname {см} ^{2}z,\ \operatorname {см} (0)=1,\ \operatorname {см} (0)=0}

Или как обратное отображение Шварца–Кристоффеля из комплексного единичного круга в равносторонний треугольник, абелев интеграл : [3]

з = ∫ 0 см ⁡ з г ж ( 1 − ж 3 ) 2 / 3 = ∫ см ⁡ з 1 г ж ( 1 − ж 3 ) 2 / 3 {\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sm} z}{\frac {dw}{(1-w^{3})^{2/3}}}=\int _{\ имя оператора {см} z}^{1}{\frac {dw}{(1-w^{3})^{2/3}}}}

что также можно выразить с помощью гипергеометрической функции : [4]

см − 1 ⁡ ( з ) = з 2 Ф 1 ( 1 3 , 2 3 ; 4 3 ; з 3 ) {\displaystyle \operatorname {sm} ^{-1}(z)=z\;{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac { 2}{3}};{\tfrac {4}{3}};z^{3}{\bigr )}}

Параметризация кубической кривой Ферма

Функция t ↦ (cm t , sm t ) параметризует кубическую кривую Ферма, площадь сектора которой равна половине аргумента t .

Оба параметра sm и cm имеют период вдоль действительной оси с бета -функцией и гамма -функцией : [5] π 3 = Б ( 1 3 , 1 3 ) = 3 2 π Г 3 ( 1 3 ) ≈ 5.29991625 {\displaystyle \pi _{3}=\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2\pi }}\Gamma ^{3}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}\approx 5.29991625} Б {\displaystyle \mathrm {B} } Г {\displaystyle \Гамма}

1 3 π 3 = ∫ − ∞ 0 г х ( 1 − х 3 ) 2 / 3 = ∫ 0 1 г х ( 1 − х 3 ) 2 / 3 = ∫ 1 ∞ г х ( 1 − х 3 ) 2 / 3 ≈ 1.76663875 {\displaystyle {\begin{align}{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}\\[8mu]&\approx 1.76663875\end{align}}}

Они удовлетворяют тождеству . Параметрическая функция параметризует кубическую кривую Ферма , представляя знаковую площадь, лежащую между отрезком от начала координат до , отрезком от начала координат до и кривой Ферма, аналогично соотношению между аргументом тригонометрических функций и площадью сектора единичного круга. [6] Чтобы увидеть, почему, применим теорему Грина : см 3 ⁡ з + см 3 ⁡ з = 1 {\displaystyle \operatorname {см} ^{3}z+\operatorname {sm} ^{3}z=1} т ↦ ( см ⁡ т , см ⁡ т ) , {\displaystyle t\mapsto (\operatorname {см} t,\,\operatorname {см} t),} т ∈ [ − 1 3 π 3 , 2 3 π 3 ] {\displaystyle t\in {\bigl [}{-{\tfrac {1}{3}}}\pi _{3},{\tfrac {2}{3}}\pi _{3}{\bigr ]}} х 3 + у 3 = 1 , {\displaystyle x^{3}+y^{3}=1,} 1 2 т {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}t} ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,\,0)} ( см ⁡ т , см ⁡ т ) {\displaystyle (\operatorname {см} т,\,\operatorname {см} т)}

А = 1 2 ∫ 0 т ( х г у − у г х ) = 1 2 ∫ 0 т ( см 3 ⁡ т + см 3 ⁡ т ) г т = 1 2 ∫ 0 т г т = 1 2 т . {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}(x\mathop {dy} -y\mathop {dx} )={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}(\operatorname {cm} ^{3}t+\operatorname {sm} ^{3}t)\mathop {dt} ={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt={\tfrac {1}{2}}t.}

Обратите внимание, что область между и можно разбить на три части, каждая площадью : х + у = 0 {\displaystyle х+у=0} х 3 + у 3 = 1 {\displaystyle x^{3}+y^{3}=1} 1 6 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi _{3}}

1 2 π 3 = ∫ − ∞ ∞ ( ( 1 − х 3 ) 1 / 3 + х ) г х 1 6 π 3 = ∫ − ∞ 0 ( ( 1 − х 3 ) 1 / 3 + х ) г х = ∫ 0 1 ( 1 − х 3 ) 1 / 3 г х . {\displaystyle {\begin{align}{\tfrac {1}{2}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} \\[8mu]{\tfrac {1}{6}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} =\int _{0}^{1}(1-x^{3})^{1/3}\mathop {dx} .\end{align}}}

Симметрии

Эллиптическая функция Диксона sm z в комплексной плоскости, иллюстрирующая ее двойную периодичность ( ω = e 2 πi /3 ). [7]

Функция имеет нули в комплекснозначных точках для любых целых чисел и , где — кубический корень из единицы ( то есть — целое число Эйзенштейна ). Функция имеет нули в комплекснозначных точках . Обе функции имеют полюса в комплекснозначных точках . см ⁡ з {\displaystyle \operatorname {см} z} з = 1 3 π 3 я ( а + б ω ) {\displaystyle z={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega)} а {\displaystyle а} б {\displaystyle б} ω {\displaystyle \omega } ω = exp ⁡ 2 3 i π = − 1 2 + 3 2 i {\displaystyle \omega =\exp {\tfrac {2}{3}}i\pi =-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i} a + b ω {\displaystyle a+b\omega } cm ⁡ z {\displaystyle \operatorname {cm} z} z = 1 3 π 3 + 1 3 π 3 i ( a + b ω ) {\displaystyle z={\tfrac {1}{3}}\pi _{3}+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )} z = − 1 3 π 3 + 1 3 π 3 i ( a + b ω ) {\displaystyle z=-{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )}

На действительной прямой , что аналогично . sm ⁡ x = 0 ↔ x ∈ π 3 Z {\displaystyle \operatorname {sm} x=0\leftrightarrow x\in \pi _{3}\mathbb {Z} } sin ⁡ x = 0 ↔ x ∈ π Z {\displaystyle \sin x=0\leftrightarrow x\in \pi \mathbb {Z} }

Фундаментальные отражения, вращения и переносы

Оба cm и sm коммутируют с комплексным сопряжением,

cm ⁡ z ¯ = cm ⁡ z ¯ , sm ⁡ z ¯ = sm ⁡ z ¯ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cm} z}},\\\operatorname {sm} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sm} z}}.\end{aligned}}}

Аналогично четности тригонометрических функций (косинус — четная функция , а синус — нечетная функция ), функция Диксона cm инвариантна относительно поворотов комплексной плоскости, а повороты области определения sm вызывают повороты области определения: 1 3 {\textstyle {\tfrac {1}{3}}} 1 3 {\textstyle {\tfrac {1}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}

cm ⁡ ω z = cm ⁡ z = cm ⁡ ω 2 z , sm ⁡ ω z = ω sm ⁡ z = ω 2 sm ⁡ ω 2 z . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} \omega z&=\operatorname {cm} z=\operatorname {cm} \omega ^{2}z,\\\operatorname {sm} \omega z&=\omega \operatorname {sm} z=\omega ^{2}\operatorname {sm} \omega ^{2}z.\end{aligned}}}

Каждая эллиптическая функция Диксона инвариантна относительно сдвигов на целые числа Эйзенштейна, масштабированные по a + b ω {\displaystyle a+b\omega } π 3 , {\displaystyle \pi _{3},}

cm ⁡ ( z + π 3 ( a + b ω ) ) = cm ⁡ z , sm ⁡ ( z + π 3 ( a + b ω ) ) = sm ⁡ z . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bigl (}z+\pi _{3}(a+b\omega ){\bigr )}=\operatorname {cm} z,\\\operatorname {sm} {\bigl (}z+\pi _{3}(a+b\omega ){\bigr )}=\operatorname {sm} z.\end{aligned}}}

Отрицание каждого из cm и sm эквивалентно переводу другого, 1 3 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi _{3}}

cm ⁡ ( − z ) = 1 cm ⁡ z = sm ⁡ ( z + 1 3 π 3 ) , sm ⁡ ( − z ) = − sm ⁡ z cm ⁡ z = 1 sm ⁡ ( z − 1 3 π 3 ) = cm ⁡ ( z + 1 3 π 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (-z)&={\frac {1}{\operatorname {cm} z}}=\operatorname {sm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )},\\\operatorname {sm} (-z)&=-{\frac {\operatorname {sm} z}{\operatorname {cm} z}}={\frac {1}{\operatorname {sm} {\bigl (}z-{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}}}=\operatorname {cm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}.\end{aligned}}}

Для переводов по дайте n ∈ { 0 , 1 , 2 } , {\displaystyle n\in \mathbb {\{} 0,1,2\},} 1 3 π 3 ω {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi _{3}\omega }

cm ⁡ ( z + 1 3 ω n π 3 ) = ω 2 n − sm ⁡ z cm ⁡ z , sm ⁡ ( z + 1 3 ω n π 3 ) = ω n 1 cm ⁡ z . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\omega ^{n}\pi _{3}{\bigr )}&=\omega ^{2n}{\frac {-\operatorname {sm} z}{\operatorname {cm} z}},\\\operatorname {sm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\omega ^{n}\pi _{3}{\bigr )}&=\omega ^{n}{\frac {1}{\operatorname {cm} z}}.\end{aligned}}}

Конкретные ценности

z {\displaystyle z} cm ⁡ z {\displaystyle \operatorname {cm} z} sm ⁡ z {\displaystyle \operatorname {sm} z}
− 1 3 π 3 {\displaystyle {-{\tfrac {1}{3}}}\pi _{3}} ∞ {\displaystyle \infty } ∞ {\displaystyle \infty }
− 1 6 π 3 {\displaystyle {-{\tfrac {1}{6}}}\pi _{3}} 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} − 1 {\displaystyle -1}
0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0}
1 6 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi _{3}} 1 / 2 3 {\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{3}]{2}}} 1 / 2 3 {\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{3}]{2}}}
1 3 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi _{3}} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1}
1 2 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi _{3}} − 1 {\displaystyle -1} 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}
2 3 π 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi _{3}} ∞ {\displaystyle \infty } ∞ {\displaystyle \infty }

Более конкретные значения

z {\displaystyle z} cm ⁡ z {\displaystyle \operatorname {cm} z} sm ⁡ z {\displaystyle \operatorname {sm} z}
− 1 4 π 3 {\displaystyle {-{\tfrac {1}{4}}}\pi _{3}} 1 + 3 + 2 3 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2}}} − 1 − 3 + 2 3 4 3 {\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}}{\sqrt[{3}]{4}}}}
− 2 9 π 3 {\displaystyle -{\tfrac {2}{9}}\pi _{3}} 3 6 2 sin ⁡ ( 1 9 π ) {\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\sin \left({\frac {1}{9}}\pi \right)}}} − 2 cos ⁡ ( 1 18 π ) 3 6 {\displaystyle -{\frac {2\cos \left({\frac {1}{18}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}}
− 1 9 π 3 {\displaystyle -{\tfrac {1}{9}}\pi _{3}} 2 sin ⁡ ( 2 9 π ) 3 6 {\displaystyle {\frac {2\sin \left({\frac {2}{9}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}} − 3 6 2 cos ⁡ ( 1 18 π ) {\displaystyle -{\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\cos \left({\frac {1}{18}}\pi \right)}}}
− 1 12 π 3 {\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}\pi _{3}} − 1 + 3 + 2 3 2 2 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}} − 1 + 3 − 2 3 2 2 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}}
1 12 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{12}}\pi _{3}} − 1 + 3 + 2 3 4 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}}{\sqrt[{3}]{4}}}} 1 + 3 − 2 3 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2}}}
1 9 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{9}}\pi _{3}} 3 6 2 sin ⁡ ( 2 9 π ) {\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\sin \left({\frac {2}{9}}\pi \right)}}} 2 sin ⁡ ( 1 9 π ) 3 6 {\displaystyle {\frac {2\sin \left({\frac {1}{9}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}}
2 9 π 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{9}}\pi _{3}} 2 sin ⁡ ( 1 9 π ) 3 6 {\displaystyle {\frac {2\sin \left({\frac {1}{9}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}} 3 6 2 sin ⁡ ( 2 9 π ) {\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\sin \left({\frac {2}{9}}\pi \right)}}}
1 4 π 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi _{3}} 1 + 3 − 2 3 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2}}} − 1 + 3 + 2 3 4 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}}{\sqrt[{3}]{4}}}}
5 12 π 3 {\displaystyle {\tfrac {5}{12}}\pi _{3}} − 1 + 3 − 2 3 2 2 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}} − 1 + 3 + 2 3 2 2 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}}
4 9 π 3 {\displaystyle {\tfrac {4}{9}}\pi _{3}} − 3 6 2 cos ⁡ ( 1 18 π ) {\displaystyle -{\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\cos \left({\frac {1}{18}}\pi \right)}}} 2 sin ⁡ ( 2 9 π ) 3 6 {\displaystyle {\frac {2\sin \left({\frac {2}{9}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}}
5 9 π 3 {\displaystyle {\tfrac {5}{9}}\pi _{3}} − 2 cos ⁡ ( 1 18 π ) 3 6 {\displaystyle -{\frac {2\cos \left({\frac {1}{18}}\pi \right)}{\sqrt[{6}]{3}}}} 3 6 2 sin ⁡ ( 1 9 π ) {\displaystyle {\frac {\sqrt[{6}]{3}}{2\sin \left({\frac {1}{9}}\pi \right)}}}
7 12 π 3 {\displaystyle {\tfrac {7}{12}}\pi _{3}} − 1 − 3 + 2 3 4 3 {\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}}{\sqrt[{3}]{4}}}} 1 + 3 + 2 3 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}}{2}}}

Сумма и разность тождеств

Эллиптические функции Диксона удовлетворяют тождествам суммы и разности аргументов: [8]

cm ⁡ ( u + v ) = sm ⁡ u cm ⁡ u − sm ⁡ v cm ⁡ v sm ⁡ u cm 2 ⁡ v − cm 2 ⁡ u sm ⁡ v cm ⁡ ( u − v ) = cm 2 ⁡ u cm ⁡ v − sm ⁡ u sm 2 ⁡ v cm ⁡ u cm 2 ⁡ v − sm 2 ⁡ u sm ⁡ v sm ⁡ ( u + v ) = sm 2 ⁡ u cm ⁡ v − cm ⁡ u sm 2 ⁡ v sm ⁡ u cm 2 ⁡ v − cm 2 ⁡ u sm ⁡ v sm ⁡ ( u − v ) = sm ⁡ u cm ⁡ u − sm ⁡ v cm ⁡ v cm ⁡ u cm 2 ⁡ v − sm 2 ⁡ u sm ⁡ v {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (u+v)&={\frac {\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {cm} (u-v)&={\frac {\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {cm} v-\operatorname {sm} u\,\operatorname {sm} ^{2}v}{\operatorname {cm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {sm} (u+v)&={\frac {\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {cm} v-\operatorname {cm} u\,\operatorname {sm} ^{2}v}{\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {cm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\\[8mu]\operatorname {sm} (u-v)&={\frac {\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {cm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\end{aligned}}}

Эти формулы можно использовать для вычисления комплекснозначных функций в действительных компонентах: [ необходима ссылка ]

cm ⁡ ( x + ω y ) = sm ⁡ x cm ⁡ x − ω sm ⁡ y cm ⁡ y sm ⁡ x cm 2 ⁡ y − ω cm 2 ⁡ x sm ⁡ y = cm ⁡ x ( sm 2 ⁡ x cm 2 ⁡ y + cm ⁡ x sm 2 ⁡ y cm ⁡ y + sm ⁡ x cm 2 ⁡ x sm ⁡ y ) sm 2 ⁡ x cm 4 ⁡ y + sm ⁡ x cm 2 ⁡ x sm ⁡ y cm 2 ⁡ y + cm 4 ⁡ x sm 2 ⁡ y + ω sm ⁡ x sm ⁡ y ( cm 3 ⁡ x − cm 3 ⁡ y ) sm 2 ⁡ x cm 4 ⁡ y + sm ⁡ x cm 2 ⁡ x sm ⁡ y cm 2 ⁡ y + cm 4 ⁡ x sm 2 ⁡ y sm ⁡ ( x + ω y ) = sm 2 ⁡ x cm ⁡ y − ω 2 cm ⁡ x sm 2 ⁡ y sm ⁡ x cm 2 ⁡ y − ω cm 2 ⁡ x sm ⁡ y = sm ⁡ x ( sm ⁡ x cm ⁡ x cm 2 ⁡ y + sm ⁡ y cm 3 ⁡ x + sm ⁡ y cm 3 ⁡ y ) sm 2 ⁡ x cm 4 ⁡ y + sm ⁡ x cm 2 ⁡ x sm ⁡ y cm 2 ⁡ y + cm 4 ⁡ x sm 2 ⁡ y + ω sm ⁡ y ( sm ⁡ x cm 3 ⁡ x + sm ⁡ x cm 3 ⁡ y + cm 2 ⁡ x sm ⁡ y cm ⁡ y ) sm 2 ⁡ x cm 4 ⁡ y + sm ⁡ x cm 2 ⁡ x sm ⁡ y cm 2 ⁡ y + cm 4 ⁡ x sm 2 ⁡ y {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} (x+\omega y)&={\frac {\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} x-\omega \,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} y}{\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y-\omega \,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cm} x(\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} x\,\operatorname {sm} ^{2}y\,\operatorname {cm} y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[4mu]&\qquad +\omega {\frac {\operatorname {sm} x\,\operatorname {sm} y(\operatorname {cm} ^{3}x-\operatorname {cm} ^{3}y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[8mu]\operatorname {sm} (x+\omega y)&={\frac {\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} y-\omega ^{2}\,\operatorname {cm} x\,\operatorname {sm} ^{2}y}{\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y-\omega \,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sm} x(\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} x\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{3}x+\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{3}y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\\[4mu]&\qquad +\omega {\frac {\operatorname {sm} y(\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{3}x+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{3}y+\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} y)}{\operatorname {sm} ^{2}x\,\operatorname {cm} ^{4}y+\operatorname {sm} x\,\operatorname {cm} ^{2}x\,\operatorname {sm} y\,\operatorname {cm} ^{2}y+\operatorname {cm} ^{4}x\,\operatorname {sm} ^{2}y}}\end{aligned}}}

Многоаргументные идентичности

Тождества дублирования и утроения аргументов могут быть получены из тождества суммы: [9]

cm ⁡ 2 u = cm 3 ⁡ u − sm 3 ⁡ u cm ⁡ u ( 1 + sm 3 ⁡ u ) = 2 cm 3 ⁡ u − 1 2 cm ⁡ u − cm 4 ⁡ u , sm ⁡ 2 u = sm ⁡ u ( 1 + cm 3 ⁡ u ) cm ⁡ u ( 1 + sm 3 ⁡ u ) = 2 sm ⁡ u − sm 4 ⁡ u 2 cm ⁡ u − cm 4 ⁡ u , cm ⁡ 3 u = cm 9 ⁡ u − 6 cm 6 ⁡ u + 3 cm 3 ⁡ u + 1 cm 9 ⁡ u + 3 cm 6 ⁡ u − 6 cm 3 ⁡ u + 1 , sm ⁡ 3 u = 3 sm ⁡ u cm ⁡ u ( sm 3 ⁡ u cm 3 ⁡ u − 1 ) cm 9 ⁡ u + 3 cm 6 ⁡ u − 6 cm 3 ⁡ u + 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} 2u&={\frac {\operatorname {cm} ^{3}u-\operatorname {sm} ^{3}u}{\operatorname {cm} u(1+\operatorname {sm} ^{3}u)}}={\frac {2\operatorname {cm} ^{3}u-1}{2\operatorname {cm} u-\operatorname {cm} ^{4}u}},\\[5mu]\operatorname {sm} 2u&={\frac {\operatorname {sm} u(1+\operatorname {cm} ^{3}u)}{\operatorname {cm} u(1+\operatorname {sm} ^{3}u)}}={\frac {2\operatorname {sm} u-\operatorname {sm} ^{4}u}{2\operatorname {cm} u-\operatorname {cm} ^{4}u}},\\[5mu]\operatorname {cm} 3u&={\frac {\operatorname {cm} ^{9}u-6\operatorname {cm} ^{6}u+3\operatorname {cm} ^{3}u+1}{\operatorname {cm} ^{9}u+3\operatorname {cm} ^{6}u-6\operatorname {cm} ^{3}u+1}},\\[5mu]\operatorname {sm} 3u&={\frac {3\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u(\operatorname {sm} ^{3}u\,\operatorname {cm} ^{3}u-1)}{\operatorname {cm} ^{9}u+3\operatorname {cm} ^{6}u-6\operatorname {cm} ^{3}u+1}}.\end{aligned}}}

Конкретные ценностные идентичности

Функция удовлетворяет тождествам cm {\displaystyle \operatorname {cm} } cm ⁡ 2 9 π 3 = − cm ⁡ 1 9 π 3 cm ⁡ 4 9 π 3 , cm ⁡ 1 4 π 3 = cl ⁡ 1 3 ϖ , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} {\tfrac {2}{9}}\pi _{3}&=-\operatorname {cm} {\tfrac {1}{9}}\pi _{3}\,\operatorname {cm} {\tfrac {4}{9}}\pi _{3},\\[5mu]\operatorname {cm} {\tfrac {1}{4}}\pi _{3}&=\operatorname {cl} {\tfrac {1}{3}}\varpi ,\end{aligned}}}

где – косинус лемнискаты , а – константа лемнискаты . [ нужна ссылка ] cl {\displaystyle \operatorname {cl} } ϖ {\displaystyle \varpi }

Ряд мощности

Функции cm и sm можно аппроксимировать с помощью ряда Тейлора | z | < 1 3 π 3 {\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}}

cm ⁡ z = c 0 + c 1 z 3 + c 2 z 6 + c 3 z 9 + ⋯ + c n z 3 n + ⋯ sm ⁡ z = s 0 z + s 1 z 4 + s 2 z 7 + s 3 z 10 + ⋯ + s n z 3 n + 1 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} z&=c_{0}+c_{1}z^{3}+c_{2}z^{6}+c_{3}z^{9}+\cdots +c_{n}z^{3n}+\cdots \\[4mu]\operatorname {sm} z&=s_{0}z+s_{1}z^{4}+s_{2}z^{7}+s_{3}z^{10}+\cdots +s_{n}z^{3n+1}+\cdots \end{aligned}}}

чьи коэффициенты удовлетворяют рекуррентному соотношению [10] c 0 = s 0 = 1 , {\displaystyle c_{0}=s_{0}=1,}

c n = − 1 3 n ∑ k = 0 n − 1 s k s n − 1 − k s n = 1 3 n + 1 ∑ k = 0 n c k c n − k {\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=-{\frac {1}{3n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}s_{n-1-k}\\[4mu]s_{n}&={\frac {1}{3n+1}}\sum _{k=0}^{n}c_{k}c_{n-k}\end{aligned}}}

Эти рецидивы приводят к: [11]

cm ⁡ z = 1 − 1 3 z 3 + 1 18 z 6 − 23 2268 z 9 + 25 13608 z 12 − 619 1857492 z 15 + ⋯ sm ⁡ z = z − 1 6 z 4 + 2 63 z 7 − 13 2268 z 10 + 23 22113 z 13 − 2803 14859936 z 16 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} z&=1-{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {1}{18}}z^{6}-{\frac {23}{2268}}z^{9}+{\frac {25}{13608}}z^{12}-{\frac {619}{1857492}}z^{15}+\cdots \\[8mu]\operatorname {sm} z&=z-{\frac {1}{6}}z^{4}+{\frac {2}{63}}z^{7}-{\frac {13}{2268}}z^{10}+{\frac {23}{22113}}z^{13}-{\frac {2803}{14859936}}z^{16}+\cdots \end{aligned}}}

Связь с другими эллиптическими функциями

Эллиптическая функция Вейерштрасса

Эллиптическая кривая для ℘-функции Вейерштрасса, связанная с эллиптическими функциями Диксона. y 2 = 4 x 3 − 1 27 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}-{\tfrac {1}{27}}} z ↦ ℘ ( z ; 0 , 1 27 ) {\displaystyle z\mapsto \wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )}}

Эквиангармоническая эллиптическая функция Вейерштрасса с решеткой масштабирования целых чисел Эйзенштейна может быть определена как: [ 12] ℘ ( z ) = ℘ ( z ; 0 , 1 27 ) , {\displaystyle \wp (z)=\wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )},} Λ = π 3 Z ⊕ π 3 ω Z {\displaystyle \Lambda =\pi _{3}\mathbb {Z} \oplus \pi _{3}\omega \mathbb {Z} }

℘ ( z ) = 1 z 2 + ∑ λ ∈ Λ ∖ { 0 } ( 1 ( z − λ ) 2 − 1 λ 2 ) {\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \smallsetminus \{0\}}\!\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}

Функция решает дифференциальное уравнение: ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z)}

℘ ′ ( z ) 2 = 4 ℘ ( z ) 3 − 1 27 {\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-{\tfrac {1}{27}}}

Мы также можем записать это как обратный интеграл:

z = ∫ ∞ ℘ ( z ) d w 4 w 3 − 1 27 {\displaystyle z=\int _{\infty }^{\wp (z)}{\frac {dw}{\sqrt {4w^{3}-{\tfrac {1}{27}}}}}}

В терминах эллиптические функции Диксона можно записать: [13] ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z)}

cm ⁡ z = 3 ℘ ′ ( z ) + 1 3 ℘ ′ ( z ) − 1 ,   sm ⁡ z = − 6 ℘ ( z ) 3 ℘ ′ ( z ) − 1 {\displaystyle \operatorname {cm} z={\frac {3\wp '(z)+1}{3\wp '(z)-1}},\ \operatorname {sm} z={\frac {-6\wp (z)}{3\wp '(z)-1}}}

Аналогично, эллиптическую функцию Вейерштрасса можно записать через эллиптические функции Диксона: ℘ ( z ) = ℘ ( z ; 0 , 1 27 ) {\displaystyle \wp (z)=\wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )}}

℘ ′ ( z ) = cm ⁡ z + 1 3 ( cm ⁡ z − 1 ) ,   ℘ ( z ) = − sm ⁡ z 3 ( cm ⁡ z − 1 ) {\displaystyle \wp '(z)={\frac {\operatorname {cm} z+1}{3(\operatorname {cm} z-1)}},\ \wp (z)={\frac {-\operatorname {sm} z}{3(\operatorname {cm} z-1)}}}

Эллиптические функции Якоби

Эллиптические функции Диксона также можно выразить с помощью эллиптических функций Якоби , что впервые было обнаружено Кэли . [14] Пусть , , , , и . Тогда пусть k = e 5 i π / 6 {\displaystyle k=e^{5i\pi /6}} θ = 3 1 4 e 5 i π / 12 {\displaystyle \theta =3^{\frac {1}{4}}e^{5i\pi /12}} s = sn ⁡ ( u , k ) {\displaystyle s=\operatorname {sn} (u,k)} c = cn ⁡ ( u , k ) {\displaystyle c=\operatorname {cn} (u,k)} d = dn ⁡ ( u , k ) {\displaystyle d=\operatorname {dn} (u,k)}

ξ ( u ) = − 1 + θ s c d 1 + θ s c d {\displaystyle \xi (u)={\frac {-1+\theta scd}{1+\theta scd}}} , η ( u ) = 2 1 / 3 ( 1 + θ 2 s 2 ) 1 + θ s c d . {\displaystyle \eta (u)={\frac {2^{1/3}\left(1+\theta ^{2}s^{2}\right)}{1+\theta scd}}.}

Наконец, эллиптические функции Диксона имеют вид:

sm ⁡ ( z ) = ξ ( z + π 3 / 6 2 1 / 3 θ ) , {\displaystyle \operatorname {sm} (z)=\xi \left({\frac {z+\pi _{3}/6}{2^{1/3}\theta }}\right),} cm ⁡ ( z ) = η ( z + π 3 / 6 2 1 / 3 θ ) . {\displaystyle \operatorname {cm} (z)=\eta \left({\frac {z+\pi _{3}/6}{2^{1/3}\theta }}\right).}

Обобщенная тригонометрия

Несколько определений обобщенных тригонометрических функций включают обычные тригонометрические синус и косинус как частный случай, а также функции sm и cm как частный случай. [15] n = 2 {\displaystyle n=2} n = 3 {\displaystyle n=3}

Например, определение интеграла и его обратных значений: π n = B ( 1 n , 1 n ) {\displaystyle \pi _{n}=\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}} sin n ⁡ z , cos n ⁡ z {\displaystyle \sin _{n}z,\,\cos _{n}z}

z = ∫ 0 sin n ⁡ z d w ( 1 − w n ) ( n − 1 ) / n = ∫ cos n ⁡ z 1 d w ( 1 − w n ) ( n − 1 ) / n {\displaystyle z=\int _{0}^{\sin _{n}z}{\frac {dw}{(1-w^{n})^{(n-1)/n}}}=\int _{\cos _{n}z}^{1}{\frac {dw}{(1-w^{n})^{(n-1)/n}}}}

Площадь в положительном квадранте под кривой равна x n + y n = 1 {\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}

∫ 0 1 ( 1 − x n ) 1 / n d x = π n 2 n . {\displaystyle \int _{0}^{1}(1-x^{n})^{1/n}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi _{n}}{2n}}.}

Случай четвертой степени приводит к квадратной решетке в комплексной плоскости, связанной с лемнискатными эллиптическими функциями . n = 4 {\displaystyle n=4}

Приложения

Конформная проекция карты земного шара на октаэдр. Поскольку октаэдр имеет равносторонние треугольные грани, эта проекция может быть описана в терминах функций sm и cm.

Эллиптические функции Диксона представляют собой конформные отображения равностороннего треугольника на диск и поэтому полезны для построения многогранных конформных проекций , включающих равносторонние треугольники, например, проецирования сферы на треугольник, шестиугольник, тетраэдр , октаэдр или икосаэдр. [16]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Диксон (1890), Диллнер (1873). Диллнер использует символы W = sm ,   W 1 = cm . {\displaystyle W=\operatorname {sm} ,\ W_{1}=\operatorname {cm} .}
  2. ^ Диксон (1890), Ван Фоссен Конрад и Флажоле (2005), Робинсон (2019).
  3. ^ Отображение для общего правильного многоугольника описано в работе Шварца (1869).
  4. ^ ван Фоссен Конрад и Флажолет (2005), с. 6.
  5. ^ Диллнер (1873) называет период . Диксон (1890) называет его ; Адамс (1925) и Робинсон (2019) каждый называют его . Ван Фоссен Конрад и Флажоле (2005) называют его . См. также OEIS A197374. 3 w {\displaystyle 3w} 3 λ {\displaystyle 3\lambda } 3 K {\displaystyle 3K} π 3 {\displaystyle \pi _{3}}
  6. ^ Диксон (1890), Ван Фоссен Конрад и Флажоле (2005)
  7. ^ Темные области представляют нули, а яркие области представляют полюса. По мере того, как аргумент переходит от к , цвета проходят через голубой, синий ( ), магнета, красный ( ), оранжевый, желтый ( ), зеленый и обратно к голубой ( ). sm ⁡ z {\displaystyle \operatorname {sm} z} − π {\displaystyle -\pi } π {\displaystyle \pi } Arg ≈ − π / 2 {\displaystyle \operatorname {Arg} \approx -\pi /2} Arg ≈ 0 {\displaystyle \operatorname {Arg} \approx 0} Arg ≈ π / 2 {\displaystyle \operatorname {Arg} \approx \pi /2} Arg ≈ π {\displaystyle \operatorname {Arg} \approx \pi }
  8. ^ Диксон (1890), Адамс (1925)
  9. ^ Диксон (1890), стр. 185–186. Робинсон (2019).
  10. ^ Адамс (1925)
  11. ^ ван Фоссен Конрад и Флажолет (2005). См. также OEIS A104133, A104134.
  12. ^ Рейнхардт и Уокер (2010)
  13. ^ Чаплинг (2018), Робинсон (2019). Адамс (1925) вместо этого выражает эллиптические функции Диксона через эллиптическую функцию Вейерштрасса ℘ ( z ; 0 , − 1 ) . {\displaystyle \wp (z;0,-1).}
  14. ^ ван Фоссен Конрад и Флажолет (2005), стр.38
  15. ^ Лундберг (1879 г.), Граммель (1948 г.), Шелупский (1959 г.), Бургойн (1964 г.), Гамбини, Николетти и Рителли (2021 г.).
  16. ^ Адамс (1925), Кокс (1935), Магис (1938), Ли (1973), Ли (1976), Макилрой (2011), Чаплинг (2016).

Ссылки

  • OS Adams (1925). Эллиптические функции, применяемые к конформным картам мира (№ 297). Типография правительства США. ftp://ftp.library.noaa.gov/docs.lib/htdocs/rescue/cgs_specpubs/QB275U35no1121925.pdf
  • R. Bacher & P. ​​Flajolet (2010) «Псевдофакториалы, эллиптические функции и непрерывные дроби» Журнал Ramanujan 21(1), 71–97. https://arxiv.org/pdf/0901.1379.pdf
  • А. Кэли (1882) «Сведение к эллиптическим интегралам». Вестник математики 11, 142–143. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN599484047_0011?tify={%22pages%22:%5b146%5d} ∫ d x / ( 1 − x 3 ) 2 / 3 {\textstyle \int dx/(1-x^{3}){}^{2/3}}
  • Ф. Д. Бергойн (1964) «Обобщенные тригонометрические функции». Математика вычислений 18(86), 314–316. https://www.jstor.org/stable/2003310
  • А. Кэли (1883) «О решении уравнения x 3 + y 3 − 1 = 0 с помощью эллиптической функции », Труды Кембриджского философского общества 4, 106–109. https://archive.org/details/proceedingsofcam4188083camb/page/106/
  • Р. Чаплинг (2016) «Инвариантные мероморфные функции на группах обоев». https://arxiv.org/pdf/1608.05677
  • Дж. Ф. Кокс (1935) «Представление всей поверхности земли в равностороннем треугольнике», Bulletin de la Classe des Sciences, Académie Royale de Belgique 5e , 21, 66–71.
  • Г. Диллнер (1873) «Traité de Calcul Géométrique Superieur», глава 16, Nova acta Regiae Societatis Scientiarum Upsaliensis, Ser. III 8, 94–102. https://archive.org/details/novaactaregiaeso38kung/page/94/
  • Диксон, AC (1890). «О двоякопериодических функциях, возникающих из кривой x3 + y3 − 3αxy = 1». Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . XXIV : 167– 233.
  • А. Диксон (1894) Элементарные свойства эллиптических функций . Макмиллиан. https://archive.org/details/elempropellipt00dixorich/
  • Ван Фоссен Конрад, Эрик; Флажоле, Филипп (2005). "Кубическая функция Ферма, эллиптические функции, непрерывные дроби и комбинаторная экскурсия". Séminaire Lotharingien de Combinatoire . 54 : Статья. B54g, 44. arXiv : math/0507268 . Bibcode :2005math......7268V. MR  2223029.
  • А. Гамбини, Дж. Николетти и Д. Рителли (2021) «Кеплерова тригонометрия». Monatshefte für Mathematik 195 (1), 55–72. https://doi.org/10.1007/s00605-021-01512-0
  • Р. Граммель (1948) «Eine Verallgemeinerung der Kreis-und Hyperbelfunktionen». Архив математики 1 (1), 47–51. https://doi.org/10.1007/BF02038206
  • JC Langer & DA Singer (2014) «Трифоль». Миланский журнал математики 82(1), 161–182. https://case.edu/artsci/math/langer/jlpreprints/Trefoil.pdf
  • М. Лоран (1949) «Таблицы эллиптических функций Диксона для интервала 0–0, 1030». Бюллетень Королевской академии наук Бельгии, Classe des Sciences , 35, 439–450.
  • LP Lee (1973) «Конформная тетраэдрическая проекция с некоторыми практическими приложениями». The Cartographic Journal , 10(1), 22–28. https://doi.org/10.1179/caj.1973.10.1.22
  • LP Lee (1976) Конформные проекции на основе эллиптических функций. Торонто: BV Gutsell, Йоркский университет. Cartographica Monographs No. 16. ISBN 0-919870-16-3 . Приложение No. 1 к The Canadian Cartographer 13. 
  • Э. Лундберг (1879) «Гипергониометрическая функция вариабельного комплекса». Рукопись, 1879 г. Перевод Яака Пеэтре «О гипергониометрических функциях комплексных переменных». https://web.archive.org/web/20161024183030/http://www.maths.lth.se/matematiklu/personal/jaak/hypergf.ps
  • Ж. Магис (1938) «Расчет канев де ла репрезентация, соответствующая всей сфере в равностороннем треугольнике». Бюллетень Géodésique 59 (1), 247–256. http://doi.org/10.1007/BF03029866
  • MD McIlroy (2011) «Карты обоев». Надежные и исторические вычисления . Springer. 358–375. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-24541-1_27
  • WP Reinhardt & PL Walker (2010) «Эллиптические и модулярные функции Вейерштрасса», Цифровая библиотека математических функций NIST , §23.5(v). https://dlmf.nist.gov/23.5#v
  • PL Robinson (2019) «Эллиптические функции Диксона». https://arxiv.org/abs/1901.04296
  • Х.А. Шварц (1869) «Ueber einige Abbildungsaufgaben». Crelles Journal 1869 (70), 105–120. http://doi.org/10.1515/crll.1869.70.105
  • BR Seth & FP White (1934) «Крутение балок, поперечное сечение которых представляет собой правильный многоугольник с n сторонами». Математические труды Кембриджского философского общества , 30(2), 139. http://doi.org/10.1017/s0305004100016558 
  • Д. Шелупский (1959) «Обобщение тригонометрических функций». The American Mathematical Monthly 66(10), 879–884. https://www.jstor.org/stable/2309789
  • Графики Десмоса :
    • Действительные эллиптические функции Диксона https://www.desmos.com/calculator/5s4gdcnxh2.
    • Параметризация кубической кривой Ферма, https://www.desmos.com/calculator/elqqf4nwas
  • Страницы онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей :
    • «Коэффициент x^(3n+1)/(3n+1)! в разложении Маклорена эллиптической функции Диксона sm(x,0)». https://oeis.org/A104133
    • «Коэффициент x^(3n)/(3n)! в разложении Маклорена эллиптической функции Диксона cm(x,0)». https://oeis.org/A104134
    • «Pi(3): фундаментальный действительный период эллиптических функций Диксона sm(z) и cm(z)». https://oeis.org/A197374
  • Обсуждения на сайте Mathematics Stack Exchange :
    • «О , эллиптических функциях Диксона и кубических тета-функциях Борвейна», https://math.stackexchange.com/q/2090523/ x 3 + y 3 = z 3 {\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}
    • «Дважды периодические функции как мозаики (кроме параллелограммов)», https://math.stackexchange.com/q/35671/
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dixon_elliptic_functions&oldid=1265685678"