Прямой метод в вариационном исчислении

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , тангенс половинного угла , Эйлера ) Формула Эйлера Простейшие дроби ( метод Хевисайда ) Изменение порядка Формулы редукции Дифференцируем под знаком интеграла алгоритм Риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Переменный Власть Биномиальный Тейлор Тесты на сходимость Предел слагаемого (тест термина) Соотношение Корень Интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Переменный ряд Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Дивергенция Завиток Лапласиан Направленная производная Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Дивергенция обобщенный Стокса Разложение Гельмгольца
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Экстерьер Геометрический Определения Частичная производная Множественный интеграл Интеграл линии Поверхностный интеграл Интеграл объема якобианский Гессен
Передовой Исчисление в евклидовом пространстве Обобщенные функции Лимит распределений
Специализированный Дробный Маллиавен Стохастический Вариации
Разное Предварительное исчисление История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

В математике прямой метод в вариационном исчислении — это общий метод построения доказательства существования минимизатора для заданного функционала , ^[1] введенный Станиславом Зарембой и Давидом Гильбертом около 1900 года. Метод основан на методах функционального анализа и топологии . Помимо использования для доказательства существования решения, прямые методы могут использоваться для вычисления решения с требуемой точностью. ^[2]

Вариационное исчисление имеет дело с функционалами , где — некоторое функциональное пространство и . Основной интерес предмета — нахождение минимизаторов для таких функционалов, то есть функций, таких, что для всех .${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle J(v)\leq J(u)}$${\displaystyle u\in V}$

Стандартным инструментом для получения необходимых условий для функции, чтобы быть минимизатором, является уравнение Эйлера–Лагранжа . Однако поиск минимизатора среди функций, удовлетворяющих этим условиям, может привести к ложным выводам, если существование минимизатора не установлено заранее.

Функционал должен быть ограничен снизу, чтобы иметь минимизатор. Это означает, что${\displaystyle J}$

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}>-\infty .\,}$

Этого условия недостаточно, чтобы знать, что минимизатор существует, но оно показывает существование минимизирующей последовательности , то есть последовательности такой , что${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J(u_{n})\to \inf\{J(u)|u\in V\}.}$

Прямой метод можно разбить на следующие этапы:

1. Возьмем минимизирующую последовательность для .${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle J}$
2. Покажите, что допускает некоторую подпоследовательность , которая сходится к относительно топологии на .${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle (u_{n_{k}})}$${\displaystyle u_{0}\in V}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle V}$
3. Покажите, что является последовательно полунепрерывным снизу относительно топологии .${\displaystyle J}$${\displaystyle \tau }$

Чтобы увидеть, что это доказывает существование минимизатора, рассмотрим следующую характеристику последовательно полунепрерывных снизу функций.

Функция последовательно полунепрерывна снизу, если${\displaystyle J}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$для любой сходящейся последовательности в .${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$${\displaystyle V}$

Выводы следуют из

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)|u\in V\}}$,

другими словами

${\displaystyle J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}}$.

Прямой метод часто может быть успешно применен, когда пространство является подмножеством сепарабельного рефлексивного банахова пространства . В этом случае последовательная теорема Банаха–Алаоглу подразумевает, что любая ограниченная последовательность в имеет подпоследовательность, которая сходится к некоторой в относительно слабой топологии . Если является последовательно замкнутым в , так что находится в , прямой метод может быть применен к функционалу , показывая${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$

1. ${\displaystyle J}$ограничен снизу,
2. любая минимизирующая последовательность для ограничена, и${\displaystyle J}$
3. ${\displaystyle J}$слабо секвенциально полунепрерывна снизу, т.е. для любой слабо сходящейся последовательности справедливо, что .${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$

Вторая часть обычно выполняется путем демонстрации того, что допускает некоторое условие роста. Примером может служить${\displaystyle J}$

${\displaystyle J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta }$для некоторых , и .${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle q\geq 1}$${\displaystyle \beta \geq 0}$

Функционал с таким свойством иногда называют коэрцитивным. Демонстрация последовательной полунепрерывности снизу обычно является самой сложной частью при применении прямого метода. Ниже приведены некоторые теоремы для общего класса функционалов.

Типичным функционалом в вариационном исчислении является интеграл вида

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$

где — подмножество и — вещественная функция на . Аргумент — дифференцируемая функция , а ее якобиан отождествляется с -вектором.${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \nabla u(x)}$${\displaystyle mn}$

При выводе уравнения Эйлера–Лагранжа общепринятый подход заключается в предположении, что имеет границу, и пусть область определения для будет . Это пространство является банаховым пространством, если наделено супремум-нормой , но оно не рефлексивно. При применении прямого метода функционал обычно определяется на пространстве Соболева с , которое является рефлексивным банаховым пространством. Производные в формуле для тогда должны быть взяты как слабые производные .${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle J}$

Другое общее функциональное пространство — это которое является аффинным подпространством функций, след которых является некоторой фиксированной функцией в образе оператора следа. Это ограничение позволяет находить минимизаторы функционала , которые удовлетворяют некоторым желаемым граничным условиям. Это похоже на решение уравнения Эйлера–Лагранжа с граничными условиями Дирихле. Кроме того, существуют настройки, в которых есть минимизаторы в , но нет в . Идею решения задач минимизации при ограничении значений на границе можно дополнительно обобщить, рассмотрев функциональные пространства, где след фиксирован только на части границы и может быть произвольным на остальной части.${\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle J}$${\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

В следующем разделе приводятся теоремы о слабой секвенциальной полунепрерывности снизу функционалов указанного типа.

Так как многие функционалы в вариационном исчислении имеют вид

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$,

где открыто, теоремы, характеризующие функции , для которых слабо секвенциально полунепрерывно снизу по имеет большое значение.${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle J}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle p\geq 1}$

В общем, есть следующее: ^[3]

Предположим, что это функция, обладающая следующими свойствами:${\displaystyle F}$

1. Функция является функцией Каратеодори .${\displaystyle F}$
2. Существуют сопряженные по Гёльдеру и такие , что следующее неравенство справедливо для почти любого и любого : . Здесь обозначает скалярное произведение Фробениуса и в ).${\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$${\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle (y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$${\displaystyle F(x,y,A)\geq \langle a(x),A\rangle +b(x)}$${\displaystyle \langle a(x),A\rangle }$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{mn}}$

Если функция выпукла для почти каждого и каждого ,${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$

тогда последовательно слабо полунепрерывен снизу.${\displaystyle J}$

Когда или имеет место следующая обратная теорема ^[4]${\displaystyle n=1}$${\displaystyle m=1}$

Предположим, что является непрерывным и удовлетворяет условию${\displaystyle F}$

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

для любого , и фиксированной функции, возрастающей по и , и локально интегрируемой по . Если является последовательно слабо полунепрерывной снизу, то для любого заданного функция является выпуклой.${\displaystyle (x,y,A)}$${\displaystyle a(x,|y|,|A|)}$${\displaystyle |y|}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle J}$${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$

В заключение следует отметить, что при или функционал , предполагающий разумный рост и ограниченность на , является слабо секвенциально полунепрерывным снизу тогда и только тогда, когда функция выпукла.${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle J}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$

Однако есть много интересных случаев, когда нельзя предположить, что является выпуклым. Следующая теорема ^[5] доказывает последовательную полунепрерывность снизу, используя более слабое понятие выпуклости:${\displaystyle F}$

Предположим, что это функция, обладающая следующими свойствами:${\displaystyle F:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}\to [0,\infty )}$

1. Функция является функцией Каратеодори .${\displaystyle F}$
2. Функция имеет -рост для некоторых : Существует константа такая, что для каждого и для почти каждого .${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle C}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq C(1+|y|^{p}+|A|^{p})}$
3. Для каждого и для почти каждого функция является квазивыпуклой: существует куб такой, что для каждого выполняется:${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{mn},\varphi \in W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

$${\displaystyle F(x,y,A)\leq |D|^{-1}\int _{D}F(x,y,A+\nabla \varphi (z))dz}$$

где объем .​​${\displaystyle |D|}$${\displaystyle D}$

Тогда последовательно слабо полунепрерывна снизу по .${\displaystyle J}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

Обратной теоремой в этом случае является следующая: ^[6]

Предположим, что является непрерывным и удовлетворяет условию${\displaystyle F}$

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

для любого , и фиксированной функции, возрастающей по и , и локально интегрируемой по . Если является последовательно слабо полунепрерывной снизу, то для любого заданного функция является квазивыпуклой. Утверждение верно даже тогда, когда оба больше и совпадает с предыдущим утверждением, когда или , поскольку тогда квазивыпуклость эквивалентна выпуклости.${\displaystyle (x,y,A)}$${\displaystyle a(x,|y|,|A|)}$${\displaystyle |y|}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle J}$${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n=1}$

• Дакоронья, Бернард (1989). Прямые методы в вариационном исчислении . Springer-Verlag. ISBN 0-387-50491-5.
• Фонсека, Ирене ; Джованни Леони (2007). Современные методы в вариационном исчислении: пространства${\displaystyle L^{p}}$ . Springer. ISBN 978-0-387-35784-3.
• Морри, К. Б., младший: Кратные интегралы в вариационном исчислении . Springer, 1966 (переиздано в 2008 г.), Берлин ISBN 978-3-540-69915-6 . 
• Йиндржих Нечас: Прямые методы в теории эллиптических уравнений . (Перевод с французского оригинала 1967 г. А.Куфнера и Г.Тронеля), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-10455-8 . 
• T. Roubíček (2000). «Прямой метод для параболических задач». Adv. Math. Sci. Appl . Vol. 10. pp. 57–65. MR  1769181.
• Ачерби Эмилио, Фуско Никола. "Проблемы полунепрерывности в вариационном исчислении". Архив для Rational Mechanics and Analysis 86.2 (1984): 125-145