Оператор трассировки

В математике оператор следа расширяет понятие ограничения функции на границу ее области определения до «обобщенных» функций в пространстве Соболева . Это особенно важно для изучения уравнений с частными производными с заданными граничными условиями ( краевыми задачами ), где слабые решения могут быть недостаточно регулярными, чтобы удовлетворять граничным условиям в классическом смысле функций.

На ограниченной гладкой области рассмотрим задачу решения уравнения Пуассона с неоднородными граничными условиями Дирихле:${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in}}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on}}\partial \Omega \end{alignedat}}}$

с заданными функциями и с регулярностью, обсуждаемой в разделе приложений ниже. Слабое решение этого уравнения должно удовлетворять${\textstyle ф}$${\textstyle г}$${\textstyle u\in H^{1}(\Омега)}$

${\displaystyle \int _{\Omega}\nabla u\cdot \nabla \varphi \, \mathrm {d} x = \int _ {\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x}$для всех .${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega)}$

-Регулярность достаточна для корректной определенности этого интегрального уравнения. Однако не очевидно, в каком смысле может удовлетворять граничному условию на : по определению, является классом эквивалентности функций, которые могут иметь произвольные значения на , поскольку это нулевое множество относительно n-мерной меры Лебега.${\textstyle H^{1}(\Омега)}$${\textstyle у}$${\textstyle у}$${\textstyle у=г}$${\textstyle \partial \Омега}$${\textstyle u\in H^{1}(\Омега)\subset L^{2}(\Омега)}$${\textstyle \partial \Омега}$

Если по теореме Соболева о вложении выполняется , такой, что может удовлетворять граничному условию в классическом смысле, т.е. ограничение на согласуется с функцией (точнее: существует представитель в с этим свойством). Для с такого вложения не существует, и представленный здесь оператор следа должен быть использован для придания смысла . Тогда с называется слабым решением краевой задачи, если выполняется интегральное уравнение выше. Для того, чтобы определение оператора следа было разумным, должно выполняться для достаточно регулярного .${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$${\textstyle H^{1}(\Omega)\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$${\textstyle у}$${\textstyle у}$${\textstyle \partial \Омега}$${\textstyle г}$${\textstyle у}$${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle n>1}$${\textstyle Т}$${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle u\in H^{1}(\Омега)}$${\textstyle Ту=г}$${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle у}$

Оператор следа может быть определен для функций в пространствах Соболева с , см. раздел ниже для возможных расширений следа на другие пространства. Пусть для будет ограниченной областью с липшицевой границей. Тогда ^[1] существует ограниченный линейный оператор следа${\textstyle W^{1,p}(\Омега)}$${\textstyle 1\leq p<\infty }$${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\ textstyle n \ in \ mathbb {N} }$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}$

такой, который расширяет классический след, т.е.${\textstyle Т}$

${\displaystyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$для всех .${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C({\bar {\Omega }})}$

Непрерывность подразумевает, что ${\textstyle Т}$

${\displaystyle \|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}}$для всех${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$

с константой, зависящей только от и . Функция называется следом и часто обозначается просто . Другие общие символы для включают и .${\textstyle р}$${\textstyle \Омега}$${\textstyle Ту}$${\textstyle у}$${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle Т}$${\textstyle тр}$${\textstyle \гамма}$

Этот параграф следует Эвансу, ^[2] , где можно найти больше подробностей, и предполагает, что имеет -границу ^[a] . Доказательство (более сильной версии) теоремы о следе для липшицевых областей можно найти в Gagliardo. ^[1] На -области оператор следа может быть определен как непрерывное линейное расширение оператора${\textstyle \Омега}$${\textstyle С^{1}}$${\textstyle С^{1}}$

${\displaystyle T:C^{\infty }({\bar {\Omega }})\to L^{p}(\partial \Omega )}$

к пространству . По плотности в такое расширение возможно, если непрерывно относительно -нормы. Доказательство этого, т.е. того, что существует (в зависимости от и ) такое, что${\textstyle W^{1,p}(\Омега)}$${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle W^{1,p}(\Омега)}$${\textstyle Т}$${\textstyle W^{1,p}(\Омега)}$${\textstyle С>0}$${\textstyle \Омега}$${\textstyle р}$

${\displaystyle \|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}}$для всех${\displaystyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }}).}$

является центральным ингредиентом в построении оператора следа. Локальный вариант этой оценки для -функций впервые доказан для локально плоской границы с использованием теоремы о расходимости . С помощью преобразования общая -граница может быть локально выпрямлена, чтобы свестись к этому случаю, где -регулярность преобразования требует, чтобы локальная оценка была выполнена для -функций.${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$${\textstyle С^{1}}$${\textstyle С^{1}}$${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$

При этом непрерывность оператора следа в расширении до существует по абстрактным аргументам и для может быть охарактеризована следующим образом. Пусть — последовательность, аппроксимирующая плотностью. По доказанной непрерывности в последовательность является последовательностью Коши в и с пределом, взятым в .${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle W^{1,p}(\Омега)}$${\textstyle Ту}$${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle Т}$${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle u_{k}|_{\partial \Omega }}$${\textstyle L^{p}(\partial \Omega)}$${\textstyle Tu=\lim _{k\to \infty }u_{k}|_{\partial \Omega }}$${\textstyle L^{p}(\partial \Omega)}$

Свойство расширения справедливо для по построению, но для любого существует последовательность , которая равномерно сходится к , проверяя свойство расширения на большем множестве .${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C({\bar {\Omega }})}$${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle {\bar {\Омега }}}$${\textstyle у}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega)\cap C({\bar {\Omega }})}$

Если ограничено и имеет -границу, то по неравенству Морри существует непрерывное вложение , где обозначает пространство липшицевых функций. В частности, любая функция имеет классический след и имеет место${\textstyle \Omega }$${\textstyle C^{1}}$${\textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )}$${\textstyle C^{0,1}(\Omega )}$${\textstyle u\in W^{1,\infty }(\Omega )}$${\textstyle u|_{\partial \Omega }\in C(\partial \Omega )}$

${\displaystyle \|u|_{\partial \Omega }\|_{C(\partial \Omega )}\leq \|u\|_{C^{0,1}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,\infty }(\Omega )}.}$

Пространства Соболева для определяются как замыкание множества компактных тестовых функций относительно -нормы. Имеет место следующая альтернативная характеристика:${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle 1\leq p<\infty }$ ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\{u\in W^{1,p}(\Omega )\mid Tu=0\}=\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )),}$

где — ядро ​​, т.е. — подпространство функций в со следом ноль.${\textstyle \ker(T)}$${\textstyle T}$${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$

Оператор следа не сюръективен на , если , то есть не каждая функция из является следом функции из . Как поясняется ниже, изображение состоит из функций, которые удовлетворяют -версии непрерывности Гельдера .${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$${\textstyle p>1}$${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle L^{p}}$

Абстрактную характеристику образа можно получить следующим образом. По теоремам об изоморфизме имеет место${\textstyle T}$

${\displaystyle T(W^{1,p}(\Omega ))\cong W^{1,p}(\Omega )/\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega ))=W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}$

где обозначает факторпространство банахова пространства по подпространству и последнее тождество следует из характеристики сверху. Оснащение факторпространства факторнормой, определяемой как${\textstyle X/N}$${\textstyle X}$${\textstyle N\subset X}$${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}=\inf _{u_{0}\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}\|u-u_{0}\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$

оператор трассировки тогда является сюръективным, ограниченным линейным оператором${\textstyle T}$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}$.

Более конкретное представление образа можно дать с помощью пространств Соболева-Слободецкого , которые обобщают концепцию непрерывных функций Гёльдера на -набор. Поскольку является (n-1) -мерным липшицевым многообразием , вложенным в , явная характеристика этих пространств технически запутана. Для простоты рассмотрим сначала плоскую область . Для определения (возможно бесконечной) нормы${\textstyle T}$${\textstyle L^{p}}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$${\textstyle v\in L^{p}(\Omega ')}$

${\displaystyle \|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega ')}^{p}+\int _{\Omega '\times \Omega '}{\frac {|v(x)-v(y)|^{p}}{|x-y|^{(1-1/p)p+(n-1)}}}\,\mathrm {d} (x,y)\right)^{1/p}}$

что обобщает условие Гельдера . Тогда${\textstyle |v(x)-v(y)|\leq C|x-y|^{1-1/p}}$

${\displaystyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')=\left\{v\in L^{p}(\Omega ')\;\mid \;\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}<\infty \right\}}$

, снабженное предыдущей нормой, является банаховым пространством (общее определение для нецелых можно найти в статье для пространств Соболева-Слободецкого ). Для (n-1) -мерного липшицева многообразия определим локальным выпрямлением и действуем так же, как в определении .${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$${\textstyle s>0}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')}$

Пространство тогда можно определить как образ оператора следа, и тогда справедливо ^[1] , что${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

— сюръективный, ограниченный линейный оператор.

Для образа оператора следа есть и имеет место ^[1], что${\textstyle p=1}$${\textstyle L^{1}(\partial \Omega )}$

${\displaystyle T\colon W^{1,1}(\Omega )\to L^{1}(\partial \Omega )}$

— сюръективный, ограниченный линейный оператор.

Оператор трассировки не является инъективным, поскольку несколько функций в могут иметь один и тот же след (или, что эквивалентно, ). Однако оператор трассировки имеет хорошо себя ведущую правую обратную, которая расширяет функцию, определенную на границе, на всю область. В частности, для существует ограниченный линейный оператор расширения следа ^[3]${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )\neq 0}$${\textstyle 1<p<\infty }$

${\displaystyle E\colon W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{1,p}(\Omega )}$,

используя характеристику Соболева-Слободецкого изображения оператора следа из предыдущего раздела, такую, что

${\displaystyle T(Ev)=v}$для всех${\textstyle v\in W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

и, по непрерывности, существует с${\textstyle C>0}$

${\displaystyle \|Ev\|_{W^{1,p}(\Omega )}\leq C\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}}$.

Примечательно не само существование, а линейность и непрерывность правого обратного. Этот оператор расширения следа не следует путать с операторами расширения всего пространства , которые играют фундаментальную роль в теории пространств Соболева.${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

Многие из предыдущих результатов могут быть расширены до с более высокой дифференцируемостью , если область достаточно регулярна. Пусть обозначает внешнее единичное нормальное поле на . Поскольку может кодировать свойства дифференцируемости в тангенциальном направлении, только нормальная производная представляет дополнительный интерес для теории следов для . Аналогичные аргументы применимы к производным более высокого порядка для .${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$${\textstyle m=2,3,\ldots }$${\textstyle N}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle \partial _{N}u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle m=2}$${\textstyle m>2}$

Пусть и — ограниченная область с границей. Тогда ^[3] существует сюръективный, ограниченный линейный оператор следа высшего порядка${\textstyle 1<p<\infty }$${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle C^{m,1}}$

${\displaystyle T_{m}\colon W^{m,p}(\Omega )\to \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )}$

с пространствами Соболева-Слободецкого для нецелых, определенными на посредством преобразования в плоский случай для , определение которого подробно изложено в статье о пространствах Соболева-Слободецкого . Оператор расширяет классические нормальные следы в том смысле, что${\textstyle W^{s,p}(\partial \Omega )}$${\textstyle s>0}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle T_{m}u=\left(u|_{\partial \Omega },\partial _{N}u|_{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u|_{\partial \Omega }\right)}$для всех${\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^{m-1}({\bar {\Omega }}).}$

Более того, существует ограниченный, линейный правый обратный оператор , оператор расширения следа более высокого порядка ^[3]${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle E_{m}\colon \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )}$.

Наконец, пространства , пополнение в -норме, можно охарактеризовать как ядро ​​, ^[3] т.е.${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Omega )=\{u\in W^{m,p}(\Omega )\mid T_{m}u=0\}}$.

Не существует разумного расширения концепции следов на , поскольку любой ограниченный линейный оператор, который расширяет классический след, должен быть равен нулю в пространстве тестовых функций , которое является плотным подмножеством , что подразумевает, что такой оператор будет равен нулю всюду.${\textstyle L^{p}(\Omega )}$${\textstyle 1\leq p<\infty }$${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$${\textstyle L^{p}(\Omega )}$

Пусть обозначает дистрибутивную дивергенцию векторного поля . Для и ограниченной липшицевой области определим${\textstyle \operatorname {div} v}$ ${\textstyle v}$${\textstyle 1<p<\infty }$${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle E_{p}(\Omega )=\{v\in (L^{p}(\Omega ))^{n}\mid \operatorname {div} v\in L^{p}(\Omega )\}}$

которое является банаховым пространством с нормой

${\displaystyle \|v\|_{E_{p}(\Omega )}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|\operatorname {div} v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}}$.

Пусть обозначает внешнее единичное нормальное поле на . Тогда ^[4] существует ограниченный линейный оператор${\textstyle N}$${\textstyle \partial \Omega }$

${\displaystyle T_{N}\colon E_{p}(\Omega )\to (W^{1-1/q,q}(\partial \Omega ))'}$,

где — сопряженная экспонента к , а обозначает непрерывное сопряженное пространство к банахову пространству , такое, что расширяет нормальный след для в том смысле, что${\textstyle q=p/(p-1)}$${\textstyle p}$${\textstyle X'}$${\textstyle X}$${\textstyle T_{N}}$${\textstyle (v\cdot N)|_{\partial \Omega }}$${\textstyle v\in (C^{\infty }({\bar {\Omega }}))^{n}}$

${\displaystyle T_{N}v={\bigl \{}\varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )\mapsto \int _{\partial \Omega }\varphi v\cdot N\,\mathrm {d} S{\bigr \}}}$.

Значение нормального оператора следа для определяется применением теоремы о дивергенции к векторному полю , где — оператор расширения следа сверху.${\textstyle (T_{N}v)(\varphi )}$${\textstyle \varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )}$${\textstyle w=E\varphi \,v}$${\textstyle E}$

Применение. Любое слабое решение в ограниченной липшицевой области имеет нормальную производную в смысле . Это следует из того, что и . Этот результат примечателен, поскольку в липшицевых областях в общем случае , таких, что может не лежать в области оператора следа .${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$${\textstyle -\Delta u=f\in L^{2}(\Omega )}$${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle T_{N}\nabla u\in (W^{1/2,2}(\partial \Omega ))^{*}}$${\textstyle \nabla u\in E_{2}(\Omega )}$${\textstyle \nabla u\in L^{2}(\Omega )}$${\textstyle \operatorname {div} (\nabla u)=\Delta u=-f\in L^{2}(\Omega )}$${\textstyle u\not \in H^{2}(\Omega )}$${\textstyle \nabla u}$${\textstyle T}$

Представленные выше теоремы позволяют более подробно исследовать краевую задачу.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}}$

на липшицевом домене из мотивировки. Поскольку здесь исследуется только случай гильбертова пространства, то для обозначения и т. д. используется обозначение Как указано в мотивировке, слабое решение этого уравнения должно удовлетворять и${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle p=2}$${\textstyle H^{1}(\Omega )}$${\textstyle W^{1,2}(\Omega )}$${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$${\textstyle Tu=g}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x}$для всех ,${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

где правая часть должна интерпретироваться как произведение двойственности со значением .${\textstyle f\in H^{-1}(\Omega )=(H_{0}^{1}(\Omega ))'}$${\textstyle f(\varphi )}$

Характеристика области значений подразумевает, что для сохранения регулярности необходимо. Эта регулярность также достаточна для существования слабого решения, что можно увидеть следующим образом. По теореме о продолжении следа существует такое, что . Определяя через , получаем, что и, таким образом, по характеристике как пространства нулевого следа. Тогда функция удовлетворяет интегральному уравнению${\textstyle T}$${\textstyle Tu=g}$${\textstyle g\in H^{1/2}(\partial \Omega )}$${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$${\textstyle T(Eg)=g}$${\textstyle u_{0}}$${\textstyle u_{0}=u-Eg}$${\textstyle Tu_{0}=Tu-T(Eg)=0}$${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$${\textstyle H_{0}^{1}(\Omega )}$${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u_{0}\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\nabla (u-Eg)\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }\nabla Eg\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x}$для всех .${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

Таким образом, задача с неоднородными граничными значениями для может быть сведена к задаче с однородными граничными значениями для , метод, который может быть применен к любому линейному дифференциальному уравнению. По теореме о представлении Рисса существует единственное решение этой задачи. По единственности разложения это эквивалентно существованию единственного слабого решения неоднородной краевой задачи.${\textstyle u}$${\textstyle u_{0}}$${\textstyle u_{0}}$${\textstyle u=u_{0}+Eg}$${\textstyle u}$

Осталось исследовать зависимость от и . Обозначим константы, не зависящие от и . В силу непрерывной зависимости от правой части ее интегрального уравнения имеет место${\textstyle u}$${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots >0}$${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle u_{0}}$

${\displaystyle \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{1}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\right)}$

и таким образом, используя это и непрерывность оператора расширения следа, следует, что${\textstyle \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{2}\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}}$${\textstyle \|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\|g\|_{H^{1/2}(\Omega )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{H^{1}(\Omega )}&\leq \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{1}c_{2}\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+(c_{3}+c_{1}c_{2})\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\\&\leq c_{4}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega )}\right)\end{aligned}}}$

и карта решения

${\displaystyle H^{-1}(\Omega )\times H^{1/2}(\partial \Omega )\ni (f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Omega )}$

следовательно, является непрерывным.

• Класс трассировки
• Ядерные операторы между банаховыми пространствами

• Леони, Джованни (2017). Первый курс по пространствам Соболева: Второе издание . Аспирантура по математике . 181. Американское математическое общество. стр. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8