Диофант II.VIII
Диофант II.VIII: Пересечение прямой CB и окружности дает рациональную точку ( x 0 , y 0 ).

Восьмая задача второй книги «Арифметики» Диофанта ( ок.  200/214 г. н. э.  — ок.  284/298 г. н. э .) — разделить квадрат на сумму двух квадратов.

Решение, данное Диофантом

Диофант берет квадрат равным 16 и решает задачу следующим образом: [1]

Разделить данный квадрат на сумму двух квадратов.

Разделить 16 на сумму двух квадратов.

Пусть первое слагаемое будет , и, таким образом, второе . Последнее должно быть квадратом. Я образую квадрат разности произвольного кратного x, уменьшенного на корень [из] 16, то есть уменьшенного на 4. Я образую, например, квадрат 2 x  − 4. Это . Я приравниваю это выражение к . Я прибавляю к обеим сторонам и вычитаю 16. Таким образом, я получаю , следовательно . х 2 {\displaystyle x^{2}} 16 − х 2 {\displaystyle 16-x^{2}} 4 х 2 + 16 − 16 х {\displaystyle 4x^{2}+16-16x} 16 − х 2 {\displaystyle 16-x^{2}} х 2 + 16 х {\displaystyle x^{2}+16x} 5 х 2 = 16 х {\displaystyle 5x^{2}=16x} х = 16 / 5 {\displaystyle x=16/5}

Таким образом, одно число равно 256/25, а другое — 144/25. Сумма этих чисел равна 16, и каждое слагаемое является квадратом.

Геометрическая интерпретация

Геометрически мы можем проиллюстрировать этот метод, нарисовав окружность x 2  +  y 2  = 4 2 и прямую y  = 2 x  - 4. Тогда искомая пара квадратов — это x 0 2 и y 0 2 , где ( x 0 , y 0 ) — точка, не лежащая на оси y , в которой пересекаются прямая и окружность. Это показано на соседней диаграмме.

Обобщение решения Диофанта

Диофант II.VIII: Обобщенное решение, в котором стороны треугольника OAB образуют рациональную тройку, если прямая CB имеет рациональный градиент t .

Мы можем обобщить решение Диофанта, чтобы решить задачу для любого заданного квадрата, который мы представим алгебраически как a 2 . Кроме того, поскольку Диофант ссылается на произвольное кратное x , мы возьмем произвольное кратное как tx . Тогда:

( т х − а ) 2 = а 2 − х 2 ⇒     т 2 х 2 − 2 а т х + а 2 = а 2 − х 2 ⇒     х 2 ( т 2 + 1 ) = 2 а т х ⇒     х = 2 а т т 2 + 1  или  х = 0. {\displaystyle {\begin{align}&(tx-a)^{2}=a^{2}-x^{2}\\\Стрелка вправо \ \ &t^{2}x^{2}-2atx+a^{2}=a^{2}-x^{2}\\\Стрелка вправо \ \ &x^{2}(t^{2}+1)=2atx\\\Стрелка вправо \ \ &x={\frac {2at}{t^{2}+1}}{\text{ или }}x=0.\\\end{align}}}

Следовательно, мы находим, что одно из слагаемых равно , а другое равно . Сумма этих чисел равна , и каждое слагаемое является квадратом. Геометрически мы пересекли окружность x 2  +  y 2  =  a 2 с прямой y  =  tx  -  a , как показано на соседней диаграмме. [2] Записывая длины OB, OA и AB сторон треугольника OAB в виде упорядоченного кортежа, мы получаем тройку х 2 = ( 2 а т т 2 + 1 ) 2 {\displaystyle x^{2}=\left({\tfrac {2at}{t^{2}+1}}\right)^{2}} ( т х − а ) 2 = ( а ( т 2 − 1 ) т 2 + 1 ) 2 {\displaystyle (tx-a)^{2}=\left({\tfrac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right)^{2}} а 2 {\displaystyle а^{2}}

[ а ; 2 а т т 2 + 1 ; а ( т 2 − 1 ) т 2 + 1 ] {\displaystyle \left[a;{\frac {2at}{t^{2}+1}};{\frac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right]} .

Конкретный результат, полученный Диофантом, можно получить, приняв a  = 4 и t  = 2:

[ а ; 2 а т т 2 + 1 ; а ( т 2 − 1 ) т 2 + 1 ] = [ 20 5 ; 16 5 ; 12 5 ] = 4 5 [ 5 ; 4 ; 3 ] . {\displaystyle \left[a;{\frac {2at}{t^{2}+1}};{\frac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right]=\left[{\frac {20}{5}};{\frac {16}{5}};{\frac {12}{5}}\right]={\frac {4}{5}}\left[5;4;3\right].}

Мы видим, что частное решение Диофанта на самом деле является тонко замаскированной тройкой (3, 4, 5). Однако, поскольку тройка всегда будет рациональной, пока a и t рациональны, мы можем получить бесконечность рациональных троек, изменяя значение t и, следовательно, изменяя значение произвольного кратного x .

Это алгебраическое решение требует только одного дополнительного шага, чтобы прийти к последовательности Платона , а именно умножить все стороны вышеуказанной тройки на коэффициент . Обратите внимание также, что если a = 1, стороны [OB, OA, AB] уменьшаются до [ т 2 + 1 2 ; т ; т 2 − 1 2 ] {\displaystyle [{\tfrac {t^{2}+1}{2}};t;{\tfrac {t^{2}-1}{2}}]} т 2 + 1 2 а {\displaystyle \quad {\tfrac {t^{2}+1}{2a}}}

[ 1 ; 2 т т 2 + 1 ; т 2 − 1 т 2 + 1 ] . {\displaystyle \left[1;{\frac {2t}{t^{2}+1}};{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}}\right].}

В современных обозначениях это только для θ, показанного на графике выше, записанного в терминах котангенса t от θ/2. В конкретном примере, приведенном Диофантом, t имеет значение 2, произвольный множитель x . После очистки знаменателей это выражение будет генерировать пифагоровые тройки . Интересно, что произвольный множитель x стал краеугольным камнем выражений генератора. ( 1 , грех ⁡ θ , потому что ⁡ θ ) , {\displaystyle (1,\sin \theta ,\cos \theta ),}

Диофант II.IX достигает того же решения еще более быстрым путем, который очень похож на «обобщенное решение» выше. И снова задача состоит в том, чтобы разделить 16 на два квадрата. [3]

Пусть первое число будет N, а второе — произвольное число, кратное N, уменьшенное на корень (из) 16. Например, 2 N  − 4. Тогда:

Н 2 + ( 2 Н − 4 ) 2 = 16 ⇒     5 Н 2 + 16 − 16 Н = 16 ⇒     5 Н 2 = 16 Н ⇒     Н = 16 5 {\displaystyle {\begin{align}&N^{2}+(2N-4)^{2}=16\\\Стрелка вправо \ \ &5N^{2}+16-16N=16\\\Стрелка вправо \ \ &5N^{2}=16N\\\Стрелка вправо \ \ &N={\frac {16}{5}}\\\end{align}}}

Знаменитый комментарий Ферма , который впоследствии стал Великой теоремой Ферма , помещён между «Quaestio VIII» и «Quaestio IX» на странице 61 издания «Арифметики» 1670 года.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Арифметика , Диофант . Книга II, задача 8. В перефразировании на с. 24, Диофант и диофантовы уравнения , Изабелла Григорьевна Башмакова , в редакции Джозефа Сильвермана, тр. с русского Эйб Шенитцер и Харди Грант. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1997. ISBN  0-88385-526-7 . Ориг. паб. Москва: Науке, 1972. В цитате исправлена ​​опечатка.
  2. ↑ Башмакова, стр. 24–25.
  3. ^ Это решение II.IX в нумерации Диофанта Александрийского: Исследование истории греческой алгебры , сэр Томас Литтл Хит, Кембридж: University of Cambridge Press, 1885. В нумерации Диофанти Александрини Opera Omnia cum Graecis Commentariis , ред. и переведен Полом Таннери , Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, 1893 г., это часть II.VIII.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Диофант_II.VIII&oldid=1040055676"