Диофант и диофантовы уравнения
Диофант и диофантовые уравнения — книга Диофанта Александрийского по истории математики , посвященная истории диофантовых уравнений и их решенияПервоначально оно было написано на русском языке Изабеллой Башмаковой и опубликовано в журнале «Наука» в 1972 году под названием «Дифант и диофантовые уравнения» . [1] Он был переведен на немецкий язык Людвигом Боллом как Diophant und diophantische Gleichungen ( Birkhäuser , 1974) [2] и на английский язык Эйбом Шенитцером как Diophantus and Diophantine Equations (Dolciani Mathematical Expositions 20, Mathematical Association of America , 1997). [3] [4] [5]
Темы
В том смысле, который рассматривается в книге, диофантово уравнение — это уравнение, записанное с использованием многочленов , коэффициенты которых являются рациональными числами . Эти уравнения должны быть решены путем нахождения рациональных значений для переменных, которые при подстановке в уравнение делают его истинным. Хотя также существует хорошо развитая теория целочисленных (а не рациональных) решений многочленных уравнений, она не включена в эту книгу. [2]
Диофант Александрийский изучал уравнения этого типа во втором веке нашей эры. Ученые в целом придерживались мнения, что Диофант нашел решения только для конкретных уравнений и не имел методов для решения общих семейств уравнений. Например, Герман Ганкель писал о работах Диофанта, что «ни малейшего следа общего, всеобъемлющего метода не различимо; каждая проблема требует какого-то специального метода, который отказывается работать даже для наиболее тесно связанных проблем». [6] Напротив, тезис книги Башмаковой заключается в том, что у Диофанта действительно были общие методы, которые можно вывести из сохранившихся записей его решений этих проблем. [3]
В первой главе книги рассказывается, что известно о Диофанте и его современниках, и рассматриваются проблемы, опубликованные Диофантом. Во второй главе рассматривается математика, известная Диофанту, включая его разработку отрицательных чисел, рациональных чисел и степеней чисел, а также его философия математики, рассматривающая числа как безразмерные величины , что является необходимым предварительным условием для использования неоднородных многочленов . Третья глава вводит более современные концепции алгебраической геометрии, включая степень и род алгебраической кривой , а также рациональные отображения и бирациональные эквивалентности между кривыми. [3]
Главы четвертая и пятая посвящены коническим сечениям и теореме о том, что когда коника имеет хотя бы одну рациональную точку, то их бесконечно много. Глава шестая посвящена использованию секущих линий для генерации бесконечного числа точек на кубической плоской кривой , рассматриваемой в современной математике как пример группового закона эллиптических кривых . Глава седьмая посвящена теореме Ферма о суммах двух квадратов и возможности того, что Диофант мог знать о какой-то форме этой теоремы. Оставшиеся четыре главы прослеживают влияние Диофанта и его работ через Гипатию и в Европу 19-го века, особенно концентрируясь на развитии теории эллиптических кривых и их группового закона. [3]
Немецкое издание содержит дополнительный материал, включая отчет Джозефа Х. Сильвермана о ходе доказательства Великой теоремы Ферма . [4] Обновленная версия того же материала была включена в английский перевод. [3]
Аудитория и прием
Для прочтения этой книги требуется совсем немного математической подготовки. [1] Несмотря на «сомнения относительно исторических утверждений Башмаковой», рецензент Дэвид Грейвс пишет, что «в эту замечательную маленькую книгу втиснуто огромное количество материала, как математического, так и исторического», и рекомендует ее любому специалисту по теории чисел или исследователю истории математики . [3] Рецензент Алан Осборн также положительно отзывается о ней, написав, что она «хорошо написана,... предлагает значительную историческую информацию, одновременно приглашая читателя исследовать большую часть математики». [5]
Ссылки
- ^ Аб Боллинг, Р., «Обзор уравнений Диофанта и диофантовы », Mathematical Reviews и zbMATH (на немецком языке), MR 0414483, Zbl 0241.01003
- ^ Аб Штайнер, Р., «Обзор Diophant und diophantische Gleichungen », Mathematical Reviews , MR 0485648
- ^ abcdef Грейвс, Дэвид (февраль 1999 г.), «Обзор Диофанта и диофантовых уравнений», MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
- ^ ab Gundlach, K.-B., "Обзор Диофанта и диофантовых уравнений ", zbMATH (на немецком языке), Zbl 0883.11001
- ^ ab Osborne, Alan (январь 1999), "Обзор Диофанта и диофантовых уравнений ", The Mathematics Teacher , 92 (1): 70, JSTOR 27970826
- ^ Ханкель, Герман (1874), Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter (на немецком языке), Лейпциг: Teubner, стр. 164–165. Как переведено в Libbrecht, Ulrich (2005), Chinese Mathematics in the Thirteenth Century, Dover, стр. 218, ISBN 9780486446196
