Гомотетия

В математике гомотетия (или гомотеция , или однородное расширение ) — это преобразование аффинного пространства, определяемое точкой S, называемой ее центром , и ненулевым числом k, называемым ее отношением , которое переводит точку X в точку X ′ по правилу ^[1]

${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$для фиксированного числа .${\displaystyle к\neq 0}$

Использование векторов положения:

${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$.

В случае (Происхождение):${\displaystyle S=O}$

${\displaystyle \mathbf {x} '=k\mathbf {x} }$,

что является равномерным масштабированием и показывает значение специальных выборов для :${\displaystyle к}$

для одного получается отображение идентичности ,${\displaystyle к=1}$

поскольку один получает отражение в центре,${\displaystyle к=-1}$

Для одного получаем обратное отображение, определяемое формулой .${\displaystyle 1/к}$${\displaystyle к}$

В евклидовой геометрии гомотетии — это подобия , которые фиксируют точку и либо сохраняют (если ), либо меняют на противоположное (если ) направление всех векторов. Вместе с переносами все гомотетии аффинного (или евклидова) пространства образуют группу , группу растяжений или гомотетий-переносов . Это в точности аффинные преобразования со свойством, что образ каждой прямой g является прямой , параллельной g .${\displaystyle к>0}$${\displaystyle к<0}$

В проективной геометрии гомотетическое преобразование — это преобразование подобия (т. е. фиксирующее заданную эллиптическую инволюцию), которое оставляет линию на бесконечности поточечно инвариантной . ^[2]

В евклидовой геометрии гомотетия отношения умножает расстояния между точками на , площади на и объемы на . Здесь — отношение увеличения или фактора расширения или масштабного фактора или отношения подобия . Такое преобразование можно назвать увеличением, если масштабный фактор превышает 1. Вышеупомянутая неподвижная точка S называется гомотетическим центром или центром подобия или центром подобия .${\displaystyle к}$${\displaystyle |к|}$${\displaystyle к^{2}}$${\displaystyle |k|^{3}}$${\displaystyle k}$

Термин, придуманный французским математиком Мишелем Шалем , происходит от двух греческих элементов: префикса homo- ( όμο ' подобный ' }; и трансл.  grc  – трансл.  thesis ( Θέσις ) ' положение ' ). Он описывает связь между двумя фигурами одинаковой формы и ориентации. Например, две русские матрешки, смотрящие в одном направлении, можно считать гомотетичными.

Гомотетии используются для масштабирования содержимого экранов компьютеров, например, смартфонов, ноутбуков и лэптопов.

Следующие свойства справедливы в любом измерении.

Гомотетия обладает следующими свойствами:

• Прямая отображается на параллельную прямую. Следовательно: углы остаются неизменными.
• Соотношение двух отрезков сохраняется.

Оба объекта недвижимости показывают:

• Гомотетия — это сходство .

Вывод свойств: Для упрощения вычислений предполагается, что центр является началом координат: . Прямая с параметрическим представлением отображается на множество точек с уравнением , которое является прямой, параллельной .${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v} }$${\displaystyle g'}$${\displaystyle \mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v} }$${\displaystyle g}$

Расстояние между двумя точками равно и расстояние между их изображениями. Следовательно, отношение (частное) двух отрезков остается неизменным.${\displaystyle P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q} }$${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$${\displaystyle |k\mathbf {p} -k\mathbf {q} |=|k||\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$

В случае расчета все аналогично, но немного сложнее.${\displaystyle S\neq O}$

Следствия: Треугольник отображается на подобный . Гомотетическим образом круга является круг. Изображением эллипса является подобный. т.е. отношение двух осей не меняется.

Если для гомотетии с центром задано изображение точки (см. рисунок), то изображение второй точки , не лежащей на одной прямой, можно построить графически с помощью теоремы о перехвате: является общей точкой двух прямых и . Изображение точки, коллинеарной с , можно определить с помощью .${\displaystyle S}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle SP_{1}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle {\overline {SP_{2}}}}$${\displaystyle P_{1},Q_{1}}$${\displaystyle P_{2},Q_{2}}$

До того, как компьютеры стали повсеместными, масштабирование чертежей выполнялось с помощью пантографа — инструмента, похожего на циркуль .

Конструкция и геометрический фон:

1. Возьмите 4 стержня и соберите подвижный параллелограмм с вершинами так, чтобы два стержня, встречающиеся в , были продолжены на другом конце, как показано на рисунке. Выберите отношение .${\displaystyle P_{0},Q_{0},H,P}$${\displaystyle Q_{0}}$ ${\displaystyle k}$
2. На удлиненных стержнях отметьте две точки так, что и . Это имеет место, если (Вместо расположения центра можно задать. В этом случае отношение равно .)${\displaystyle S,Q}$${\displaystyle |SQ_{0}|=k|SP_{0}|}$${\displaystyle |QQ_{0}|=k|HQ_{0}|}$${\displaystyle |SQ_{0}|={\tfrac {k}{k-1}}|P_{0}Q_{0}|.}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k=|SQ_{0}|/|SP_{0}|}$
3. Прикрепите подвижные стержни с возможностью вращения в точке .${\displaystyle S}$
4. Меняйте местоположение точки и отметки в каждый момент времени .${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Из (см. диаграмму) следует из теоремы о перехвате , что точки коллинеарны (лежат на одной прямой) и уравнение выполняется. Это показывает: отображение является гомотетией с центром и отношением .${\displaystyle |SQ_{0}|/|SP_{0}|=|Q_{0}Q|/|PP_{0}|}$${\displaystyle S,P,Q}$${\displaystyle |SQ|=k|SP|}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

• Композиция двух гомотетий с одним и тем же центром снова является гомотетией с центром . Гомотетии с центром образуют группу .${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• Композиция двух гомотетий с разными центрами и ее соотношения :${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle k_{1},k_{2}}$

в случае гомотетии с центром на линии и отношением или${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$${\displaystyle k_{1}k_{2}}$

в случае перевода в направлении . Особенно, если ( точечные отражения ).${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$

Вывод:

Для композиции двух гомотетий с центрами с${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),}$

${\displaystyle \sigma _{2}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\ }$

для изображения точки получаем расчетом :${\displaystyle X:\mathbf {x} }$

${\displaystyle (\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \ =(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x} }$.

Таким образом, композиция имеет вид

в случае перемещения в направлении вектора .${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$${\displaystyle \ (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

в случае точки${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$

${\displaystyle S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

является фиксированной точкой (не перемещается) и композиция

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})\quad }$.

является гомотетией с центром и отношением . лежит на прямой .${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle k_{1}k_{2}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$

• Композиция гомотетии и перевода есть гомотетия.

Вывод:

Состав гомотетии

${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;}$и перевод

${\displaystyle \tau :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} }$является

${\displaystyle \tau \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$

${\displaystyle =\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)}$

которая является гомотетией с центром и отношением .${\displaystyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$${\displaystyle k}$

Гомотетию с центром можно записать как композицию гомотетии с центром и трансляции:${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$${\displaystyle S=(u,v)}$${\displaystyle O}$

${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s} }$.

Следовательно, можно представить в однородных координатах матрицей:${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Чистое гомотетическое линейное преобразование также является конформным , поскольку оно состоит из переноса и равномерного масштабирования.

• Масштабирование (геометрия) аналогичное понятие в векторных пространствах
• Центр гомотетичности , центр гомотетического преобразования, переводящего одну из пары фигур в другую.
• Гипотеза Хадвигера о числе строго меньших гомотетических копий выпуклого тела, которые могут потребоваться для его покрытия
• Гомотетическая функция (экономика) , функция вида f ( U ( y )), в которой U — однородная функция , а f — монотонно возрастающая функция .

• Коксетер, Х.С.М. (1961), «Введение в геометрию», Wiley, стр. 94
• Адамар, Ж. (1906), «V: Homothétie et Similtude» [V: Гомотетия и подобие], Leçons de Géométrie élémentaire. I: Géométrie plane [ Уроки элементарной геометрии. I: Plane Geometry ] (на французском языке) (2-е изд.), Париж: Арман Колен
• Месерв, Брюс Э. (1955), «Гомотетические преобразования», Фундаментальные концепции геометрии , Эддисон-Уэсли , стр.  166–169
• Туллер, Аннита (1967), Современное введение в геометрию , Университетская серия по математике для студентов бакалавриата, Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Co.

• Гомотетия, интерактивный апплет от Cut-the-Knot .