Дифференциальное вариационное неравенство

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике дифференциальное вариационное неравенство (ДВИ) — это динамическая система , которая включает в себя обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационные неравенства или задачи дополнительности .

DVI полезны для представления моделей, включающих как динамические, так и неравенствные ограничения. Примерами таких задач являются, например, задачи механического удара, электрические цепи с идеальными диодами , задачи трения Кулона для контактирующих тел, а также динамические экономические и связанные с ними задачи, такие как динамические транспортные сети и сети очередей (где ограничения могут быть либо верхними пределами длины очереди, либо тем, что длина очереди не может стать отрицательной). DVI связаны с рядом других концепций, включая дифференциальные включения , проектируемые динамические системы , эволюционные неравенства и параболические вариационные неравенства.

Дифференциальные вариационные неравенства были впервые формально введены Пангом и Стюартом, определение которых не следует путать с дифференциальным вариационным неравенством, использованным в работе Обена и Челлины (1984).

Дифференциальные вариационные неравенства имеют вид, чтобы найти такое, что${\displaystyle u(t)\in K}$

${\displaystyle \langle vu(t),F(t,x(t),u(t))\rangle \geq 0}$

для любого и почти всех t ; K замкнутое выпуклое множество, где${\displaystyle v\in К}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,x(t),u(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}.}$

С DVI тесно связаны динамические/дифференциальные задачи дополнительности: если K — замкнутый выпуклый конус, то вариационное неравенство эквивалентно задаче дополнительности :

${\displaystyle K\ni u(t)\quad \perp \quad F(t,x(t),u(t))\in K^{*}.}$

Рассмотрим твердый шар радиуса, падающий с высоты на стол. Предположим, что на шар действуют силы гравитации и контактные силы стола, препятствующие проникновению. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее движение, будет иметь вид${\displaystyle r}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-mg+N(t)}$

где — масса шара, — контактная сила стола, — ускорение свободного падения. Обратите внимание, что и априори неизвестны. Пока шар и стол разделены, контактная сила отсутствует. Проникновение невозможно (для жесткого шара и жесткого стола), поэтому для всех . Если то . С другой стороны, если то может принимать любое неотрицательное значение. (Мы не допускаем, поскольку это соответствует некоторому виду клея.) Это можно обобщить соотношением дополнительности${\displaystyle м}$${\displaystyle N(т)}$${\displaystyle г}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle N(т)}$${\displaystyle y(t)-r\geq 0}$${\displaystyle т}$${\displaystyle y(t)-r>0}$${\displaystyle N(т)=0}$${\displaystyle y(t)-r=0}$${\displaystyle N(т)}$${\displaystyle N(т)<0}$

${\displaystyle 0\leq y(t)-r\quad \perp \quad N(t)\geq 0.}$

В приведенной выше формулировке мы можем установить , так что его двойственный конус также будет множеством неотрицательных действительных чисел; это задача дифференциальной дополнительности.${\displaystyle K=\{\,z\mid z\geq 0\,\}}$${\displaystyle К^{*}=К}$

Идеальный диод — это диод, который проводит электричество в прямом направлении без сопротивления, если приложено прямое напряжение, но не допускает протекания тока в обратном направлении. Тогда, если обратное напряжение равно , а прямой ток равен , то между ними существует взаимодополняющее отношение:${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle я(т)}$

${\displaystyle 0\leq v(t)\quad \perp \quad i(t)\geq 0}$

для всех . Если диод находится в цепи, содержащей элемент памяти, такой как конденсатор или катушка индуктивности, то цепь можно представить в виде дифференциального вариационного неравенства.${\displaystyle т}$

Понятие индекса DVI важно и определяет многие вопросы существования и единственности решений DVI. Это понятие тесно связано с понятием индекса для дифференциальных алгебраических уравнений (DAE), которое представляет собой число раз, которое алгебраические уравнения DAE должны быть дифференцированы для получения полной системы дифференциальных уравнений для всех переменных. Это также понятие, близкое к относительной степени в теории управления, которая, грубо говоря, представляет собой число раз, которое «выходная» переменная должна быть дифференцирована, чтобы «входная» переменная явно появилась в теории управления; это используется для вывода канонической формы пространства состояний, которая включает в себя так называемую «нулевую динамику», фундаментальную концепцию для управления). Для DVI индекс представляет собой число дифференцирований F ( t , x  , u  ) = 0, необходимых для того, чтобы локально однозначно идентифицировать u как функцию t и  x .

Этот индекс можно вычислить для приведенных выше примеров. Для примера с механическим воздействием, если мы дифференцируем один раз, то получим , что еще явно не включает . Однако, если мы дифференцируем еще раз, мы можем использовать дифференциальное уравнение, чтобы получить , что явно включает . Кроме того, если , мы можем явно определить в терминах .${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle dy/dt(t)}$${\displaystyle N(т)}$${\displaystyle d^{2}y/dt^{2}=(1/м)[-мг+Н(т)]}$${\displaystyle N(т)}$${\displaystyle d^{2}y/dt^{2}=b(t)}$${\displaystyle N(т)}$${\displaystyle b(t)}$

Для идеальных диодных систем вычисления значительно сложнее, но при соблюдении некоторых общеприемлемых условий можно показать, что дифференциальное вариационное неравенство имеет индекс один.

Дифференциальные вариационные неравенства с индексом больше двух, как правило, не имеют смысла, но определенные условия и интерпретации могут сделать их осмысленными (см. ссылки Acary, Brogliato и Goeleven, а также Heemels, Schumacher и Weiland ниже). Одним из важнейших шагов является определение подходящего пространства решений (распределений Шварца).

• Панг и Стюарт (2008) «Дифференциальные вариационные неравенства», Математическое программирование, т. 113, № 2, Серия A, 345–424.
• Обен и Челлина (1984) Дифференциальные включения Springer-Verlag.
• Акари, Брольято и Гоэлевен (2006) «Процесс выметания Моро высшего порядка. Математическая формулировка и численная формулировка», Математическое программирование A, 113, 133–217, 2008.
• Ави Мандельбаум (1989) «Проблемы динамической дополнительности», неопубликованная рукопись.
• Хемельс, Шумахер и Вейланд (2000) «Линейные системы комплементарности», Журнал SIAM по прикладной математике, т. 60, № 4, 1234–1269.