Дифференциально-алгебраическая система уравнений

Вводный раздел этой статьи может быть слишком длинным . Пожалуйста, ознакомьтесь с рекомендациями по длине и помогите перенести детали в текст статьи. ( Март 2023 г. )

В математике дифференциально -алгебраическая система уравнений ( ДАУ ) — это система уравнений , которая либо содержит дифференциальные уравнения и алгебраические уравнения , либо эквивалентна такой системе.

Множество решений такой системы является дифференциально-алгебраическим многообразием и соответствует идеалу в дифференциальной алгебре дифференциальных многочленов .

В одномерном случае ДАУ относительно переменной t можно записать в виде одного уравнения вида

${\displaystyle F({\dot {x}},x,t)=0,}$

где — вектор неизвестных функций, а точка над точкой обозначает производную по времени, т. е . .${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}}$

Они отличаются от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) тем, что ДАУ не полностью разрешимы относительно производных всех компонентов функции x, поскольку они могут не все появляться (т. е. некоторые уравнения являются алгебраическими); технически различие между неявной системой ОДУ [которая может быть сделана явной] и системой ДАУ заключается в том, что матрица Якоби является сингулярной матрицей для системы ДАУ. ^[1] Это различие между ОДУ и ДАУ проводится потому, что ДАУ имеют разные характеристики и, как правило, их сложнее решить. ^[2]${\displaystyle {\frac {\partial F({\dot {x}},x,t)}{\partial {\dot {x}}}}}$

На практике различие между ДАУ и ОДУ часто заключается в том, что решение системы ДАУ зависит от производных входного сигнала, а не только от самого сигнала, как в случае ОДУ; ^[3] эта проблема часто встречается в нелинейных системах с гистерезисом , ^[4] таких как триггер Шмитта . ^[5]

Это различие становится более очевидным, если систему можно переписать так, чтобы вместо x рассматривать пару векторов зависимых переменных, а DAE имеет вид${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t),t).\end{aligned}}}$

где , , и${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}.}$

Система DAE такого вида называется полуявной . ^[1] Каждое решение второй половины g уравнения определяет уникальное направление для x через первую половину f уравнений, в то время как направление для y произвольно. Но не каждая точка (x,y,t) является решением g . Переменные в x и первой половине f уравнений получают атрибут дифференциал . Компоненты y и второй половины g уравнений называются алгебраическими переменными или уравнениями системы. [Термин алгебраический в контексте DAE означает только свободный от производных и не связан с (абстрактной) алгеброй.]

Решение DAE состоит из двух частей: во-первых, поиска согласованных начальных значений и, во-вторых, вычисления траектории. Чтобы найти согласованные начальные значения, часто необходимо рассмотреть производные некоторых компонентных функций DAE. Наивысший порядок производной, необходимый для этого процесса, называется индексом дифференциации . Уравнения, полученные при вычислении индекса и согласованных начальных значений, также могут быть полезны при вычислении траектории. Полуявная система DAE может быть преобразована в неявную, уменьшив индекс дифференциации на единицу, и наоборот. ^[6]

Различие ДАУ от ОДУ становится очевидным, если некоторые из зависимых переменных встречаются без своих производных. Вектор зависимых переменных тогда может быть записан как пара , а система дифференциальных уравнений ДАУ появляется в виде${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle F\left({\dot {x}},x,y,t\right)=0}$

где

• ${\displaystyle x}$, вектор в , являются зависимыми переменными, для которых присутствуют производные ( дифференциальные переменные ),${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ${\displaystyle y}$, вектор в , являются зависимыми переменными, для которых нет производных ( алгебраические переменные ),${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• ${\displaystyle t}$скаляр (обычно время) является независимой переменной.
• ${\displaystyle F}$представляет собой вектор функций, включающих подмножества этих переменных и производных.${\displaystyle n+m}$${\displaystyle n+m+1}$${\displaystyle n}$

В целом набор DAE представляет собой функцию

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}.}$

Начальные условия должны быть решением системы уравнений вида

${\displaystyle F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.}$

Поведение маятника длиной L с центром в точке (0,0) в декартовых координатах ( x , y ) описывается уравнениями Эйлера–Лагранжа

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\dot {v}}&=\lambda y-g,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{aligned}}}$

где — множитель Лагранжа . Переменные импульса u и v должны быть ограничены законом сохранения энергии, а их направление должно быть направлено вдоль окружности. Ни одно из условий не является явным в этих уравнениях. Дифференцирование последнего уравнения приводит к${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end{aligned}}}$

ограничивая направление движения касательной к окружности. Следующая производная этого уравнения подразумевает

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y}}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}}$

и производная этого последнего тождества упрощается до , что подразумевает сохранение энергии, поскольку после интегрирования константа представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии.${\displaystyle L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0}$${\displaystyle E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2})+gy}$

Для получения уникальных значений производных для всех зависимых переменных последнее уравнение было дифференцировано трижды. Это дает индекс дифференциации 3, что типично для ограниченных механических систем.

Если заданы начальные значения и знак для y , то остальные переменные определяются через , а если то и . Для перехода к следующему пункту достаточно получить производные x и u , то есть решаемая система теперь имеет вид${\displaystyle (x_{0},u_{0})}$${\displaystyle y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}}$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle v=-ux/y}$${\displaystyle \lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{aligned}}}$

Это полуявное ДАУ индекса 1. Другой набор подобных уравнений можно получить, исходя из и знака для x .${\displaystyle (y_{0},v_{0})}$

DAE также естественным образом возникают при моделировании схем с нелинейными устройствами. Модифицированный узловой анализ, использующий DAE, используется, например, в вездесущем семействе SPICE числовых симуляторов схем. ^[7] Аналогично, пакет Analog Insydes Mathematica компании Fraunhofer может использоваться для вывода DAE из списка соединений , а затем упрощения или даже символического решения уравнений в некоторых случаях. ^{[8] [9]} Стоит отметить, что индекс DAE (схемы) может быть сделан произвольно высоким путем каскадирования/связывания через конденсаторы операционных усилителей с положительной обратной связью . ^[4]

DAE формы

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{aligned}}}$

называются полуявными. Свойство индекса-1 требует, чтобы g было разрешимо относительно y . Другими словами, индекс дифференциации равен 1, если путем дифференцирования алгебраических уравнений для t получается неявная система ОДУ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x}}+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{aligned}}}$

которая разрешима для если${\displaystyle ({\dot {x}},\,{\dot {y}})}$${\displaystyle \det \left(\partial _{y}g(x,y,t)\right)\neq 0.}$

Каждое достаточно гладкое DAE почти всюду сводится к этой полуявной форме индекса 1.

Две основные проблемы в решении DAE — это уменьшение индекса и согласованные начальные условия . Большинство численных решателей требуют обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебраических уравнений вида

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

Нетривиальной задачей является преобразование произвольных систем DAE в ODE для решения чистыми решателями ODE. Методы, которые могут быть использованы, включают алгоритм Пантелидеса и метод фиктивной производной индексной редукции . В качестве альтернативы, также возможно прямое решение высокоиндексных DAE с несогласованными начальными условиями. Этот подход к решению включает преобразование производных элементов посредством ортогональной коллокации на конечных элементах или прямой транскрипции в алгебраические выражения. Это позволяет решать DAE любого индекса без перестановки в форме открытого уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

После преобразования модели в форму алгебраического уравнения ее можно решить с помощью крупномасштабных решателей нелинейного программирования (см. APMonitor ).

This section needs expansion. You can help by adding to it. (December 2014)

Было разработано несколько мер разрешимости DAE с точки зрения численных методов, таких как индекс дифференциации , индекс возмущения , индекс разрешимости , геометрический индекс и индекс Кронекера . ^{[10] [11]}

Мы используем -метод для анализа DAE. Мы строим для DAE матрицу сигнатур , где каждая строка соответствует каждому уравнению , а каждый столбец соответствует каждой переменной . Запись в позиции - это , которая обозначает наивысший порядок производной, которая встречается в , или если не встречается в .${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{i,j})}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \sigma _{i,j}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle f_{i}}$

Для маятникового DAE выше переменные равны . Соответствующая матрица сигнатуры равна${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}}$

• Алгебраическое дифференциальное уравнение , другая концепция, несмотря на похожее название
• Дифференциальное уравнение с задержкой
• Алгебраическое уравнение с частными производными
• Язык моделики

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations