Спектральная теория нормальных C*-алгебр

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике .Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  "Спектральная теория нормальных C*-алгебр" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( Июль 2020 г. ) Эта статья может оказаться слишком сложной для понимания большинством читателей .Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы сделать его понятным для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Июнь 2020 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В функциональном анализе каждая C ^* -алгебра изоморфна подалгебре C ^* -алгебры ограниченных линейных операторов на некотором гильбертовом пространстве В этой статье описывается спектральная теория замкнутых нормальных подалгебр . Подалгебра называется нормальной, если она коммутативна и замкнута относительно операции : для всех имеем и что . ^[1]${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle Х.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle А}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle \аст}$${\displaystyle x,y\in A}$${\displaystyle x^{\ast }\in A}$${\displaystyle xy=yx}$

Везде присутствует фиксированное гильбертово пространство .${\displaystyle H}$

Проекционнозначная мера на измеримом пространстве , где является σ-алгеброй подмножеств , представляет собой отображение, такое что для всех является самосопряженной проекцией на (то есть является ограниченным линейным оператором, удовлетворяющим и ), таким что (где является тождественным оператором ) и для каждого функция, определяемая с помощью , является комплексной мерой на (то есть комплекснозначной счетно- аддитивной функцией).${\displaystyle (X,\Омега),}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle \omega \in \Омега ,}$ ${\displaystyle \пи (\омега)}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle \пи (\омега)}$${\displaystyle \pi (\omega ):H\to H}$${\displaystyle \pi (\omega) = \pi (\omega)^{*}}$${\ Displaystyle \ пи (\ омега) \ цирк \ пи (\ омега) = \ пи (\ омега)}$$${\displaystyle \pi (X)=\operatorname {Id} _{H}\quad }$$${\displaystyle \operatorname {Идентификатор} _{H}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x,y\in H,}$${\displaystyle \Omega \to \mathbb {C} }$${\displaystyle \omega \mapsto \langle \pi (\omega )x,y\rangle }$${\displaystyle M}$

Разложение тождества ^[2] на измеримом пространстве — это функция такая, что для каждого :${\displaystyle (X,\Omega )}$${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega }$

1. ${\displaystyle \pi (\varnothing )=0}$;
2. ${\displaystyle \pi (X)=\operatorname {Id} _{H}}$;
3. для каждого есть самосопряженная проекция на ;${\displaystyle \omega \in \Omega ,}$ ${\displaystyle \pi (\omega )}$ ${\displaystyle H}$
4. для каждого отображение, определяемое как , является комплексной мерой на ;${\displaystyle x,y\in H,}$${\displaystyle \pi _{x,y}:\Omega \to \mathbb {C} }$${\displaystyle \pi _{x,y}(\omega )=\langle \pi (\omega )x,y\rangle }$${\displaystyle \Omega }$
5. ${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cap \omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{1}\right)\circ \pi \left(\omega _{2}\right)}$;
6. если то ;${\displaystyle \omega _{1}\cap \omega _{2}=\varnothing }$${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cup \omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{1}\right)+\pi \left(\omega _{2}\right)}$

Если — -алгебра всех борелевских множеств на хаусдорфовом локально компактном (или компактном) пространстве, то добавляется следующее дополнительное требование:${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \sigma }$

7. для каждого отображение является регулярной борелевской мерой (это автоматически выполняется на компактных метрических пространствах).${\displaystyle x,y\in H,}$${\displaystyle \pi _{x,y}:\Omega \to \mathbb {C} }$

Условия 2, 3 и 4 подразумевают, что является проекционно-значимой мерой.${\displaystyle \pi }$

Везде пусть будет разрешение тождества. Для всего есть положительная мера с полной вариацией и это удовлетворяет для всех ^[2]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x\in H,}$ ${\displaystyle \pi _{x,x}:\Omega \to \mathbb {C} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \left\|\pi _{x,x}\right\|=\pi _{x,x}(X)=\|x\|^{2}}$${\displaystyle \pi _{x,x}(\omega )=\langle \pi (\omega )x,x\rangle =\|\pi (\omega )x\|^{2}}$${\displaystyle \omega \in \Omega .}$

За каждые :${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega }$

• ${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)\pi \left(\omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{2}\right)\pi \left(\omega _{1}\right)}$(так как оба равны ). ^[2]${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cap \omega _{2}\right)}$
• Если тогда диапазоны отображений и ортогональны друг другу и ^[2]${\displaystyle \omega _{1}\cap \omega _{2}=\varnothing }$${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)}$${\displaystyle \pi \left(\omega _{2}\right)}$${\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)\pi \left(\omega _{2}\right)=0=\pi \left(\omega _{2}\right)\pi \left(\omega _{1}\right).}$
• ${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$конечно аддитивна. ^[2]
• Если — попарно непересекающиеся элементы, объединение которых равно и если для всех , то ^[2]${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \pi \left(\omega _{i}\right)=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \pi (\omega )=0.}$
• Однако счетно- аддитивно только в тривиальных ситуациях, как сейчас описано: предположим, что являются попарно непересекающимися элементами, объединение которых равно , и что частичные суммы сходятся к в (с его топологией нормы) при ; тогда, поскольку норма любой проекции равна либо , либо частичные суммы не могут образовывать последовательность Коши, если только все, кроме конечного числа, не являются ^[2]${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)}$${\displaystyle \pi (\omega )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \geq 1,}$${\displaystyle \pi \left(\omega _{i}\right)}$${\displaystyle 0.}$
• Для любого фиксированного отображения , определяемого как счетно-аддитивная -значная мера на${\displaystyle x\in H,}$${\displaystyle \pi _{x}:\Omega \to H}$${\displaystyle \pi _{x}(\omega ):=\pi (\omega )x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \Omega .}$
  • Здесь счетно-аддитивность означает, что всякий раз, когда есть попарно непересекающиеся элементы, объединение которых равно , то частичные суммы сходятся к в Сказано более кратко, ^[2]${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega ,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)x}$${\displaystyle \pi (\omega )x}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\pi \left(\omega _{i}\right)x=\pi (\omega )x.}$
  • Другими словами, для любого попарно непересекающегося семейства элементов , объединение которых равно , то (в силу конечной аддитивности ) сходится к в сильной операторной топологии на : для любого последовательность элементов сходится к в (относительно топологии нормы).${\displaystyle \left(\omega _{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \Omega }$${\displaystyle \omega _{\infty }\in \Omega }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)=\pi \left(\bigcup _{i=1}^{n}\omega _{i}\right)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi \left(\omega _{\infty }\right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)x}$${\displaystyle \pi \left(\omega _{\infty }\right)x}$${\displaystyle H}$

Будет ли резолюция идентичности на${\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle (X,\Omega ).}$

Предположим, что является комплекснозначной -измеримой функцией. Существует единственное наибольшее открытое подмножество ( упорядоченное по включению подмножества) такое, что ^[3] Чтобы понять, почему, пусть будет базисом для топологии , состоящей из открытых дисков, и предположим, что является подпоследовательностью (возможно, конечной), состоящей из тех множеств, что ; тогда Обратите внимание, что, в частности, если является открытым подмножеством , таким что тогда так что (хотя есть и другие способы, при которых может быть равно 0 ). Действительно,${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle V_{f}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \pi \left(f^{-1}\left(V_{f}\right)\right)=0.}$${\displaystyle D_{1},D_{2},\ldots }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle D_{i_{1}},D_{i_{2}},\ldots }$${\displaystyle \pi \left(f^{-1}\left(D_{i_{k}}\right)\right)=0}$${\displaystyle D_{i_{1}}\cup D_{i_{2}}\cup \cdots =V_{f}.}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle D\cap \operatorname {Im} f=\varnothing }$${\displaystyle \pi \left(f^{-1}(D)\right)=\pi (\varnothing )=0}$${\displaystyle D\subseteq V_{f}}$${\displaystyle \pi \left(f^{-1}(D)\right)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \operatorname {cl} (\operatorname {Im} f)\subseteq V_{f}.}$

Существенный диапазон определяется как дополнение к Это наименьшее замкнутое подмножество , которое содержит для почти всех (то есть для всех, за исключением тех, которые находятся в некотором множестве, таком что ). ^[3] Существенный диапазон является замкнутым подмножеством , так что если он также является ограниченным подмножеством , то он компактен.${\displaystyle f}$${\displaystyle V_{f}.}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \pi (\omega )=0}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Функция существенно ограничена , если ее существенная область значений ограничена, в этом случае определим ее существенную верхнюю грань , обозначаемую как , которая является верхней гранью всех областей значений, лежащих в существенной области значений ^[3]${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f\|^{\infty },}$${\displaystyle |\lambda |}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle f.}$

Пусть будет векторным пространством всех ограниченных комплекснозначных -измеримых функций , которое становится банаховой алгеброй при нормировании по Функция является полунормой на , но не обязательно нормой. Ядро этой полунормы, является векторным подпространством , которое является замкнутым двусторонним идеалом банаховой алгебры ^[3] Следовательно, фактор по также является банаховой алгеброй, обозначаемой как где норма любого элемента равна (так как если то ), и эта норма превращает в банахову алгебру. Спектр в является существенным диапазоном ^[3] Эта статья будет следовать обычной практике написания, а не представлять элементы${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in X}|f(x)|.}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega ),}$${\displaystyle N^{\infty }:=\left\{f\in {\mathcal {B}}(X,\Omega ):\|f\|^{\infty }=0\right\},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}$${\displaystyle \left({\mathcal {B}}(X,\Omega ),\|\cdot \|_{\infty }\right).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}$${\displaystyle N^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }(\pi ):={\mathcal {B}}(X,\Omega )/N^{\infty }}$${\displaystyle f+N^{\infty }\in L^{\infty }(\pi )}$${\displaystyle \|f\|^{\infty }}$${\displaystyle f+N^{\infty }=g+N^{\infty }}$${\displaystyle \|f\|^{\infty }=\|g\|^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }(\pi )}$${\displaystyle f+N^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }(\pi )}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f+N^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }(\pi ).}$

Максимальное идеальное пространство банаховой алгебры — это множество всех комплексных гомоморфизмов , которое мы обозначим через Для каждого в преобразовании Гельфанда есть отображение, определенное как задана слабейшая топология, делающая каждое непрерывным. С этой топологией — компактное хаусдорфово пространство и каждое в принадлежит , которое является пространством непрерывных комплекснозначных функций на Область значений — это спектр и что спектральный радиус равен , что равно ^[4]${\displaystyle A}$${\displaystyle A\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \sigma _{A}.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle T}$${\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle G(T)(h):=h(T).}$ ${\displaystyle \sigma _{A}}$${\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \sigma _{A}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle G(T)}$${\displaystyle C\left(\sigma _{A}\right),}$${\displaystyle \sigma _{A}.}$${\displaystyle G(T)}$${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle \max \left\{|G(T)(h)|:h\in \sigma _{A}\right\},}$${\displaystyle \leq \|T\|.}$

Приведенный выше результат можно свести к одному нормальному ограниченному оператору.

• Проекционно-значная мера  – Математическая операторно-значная мера, представляющая интерес в квантовой механике и функциональном анализе.
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теорема  – Результат о том, когда матрица может быть диагонализирована

• Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства . Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.