алгебра Кунца

В математике алгебра Кунца , названная в честь Иоахима Кунца , является универсальной C*-алгеброй, порожденной изометриями бесконечномерного гильбертова пространства, удовлетворяющими определенным соотношениям. ^[1] Эти алгебры были введены как первые конкретные примеры отделимой бесконечной простой C*-алгебры, то есть как гильбертово пространство, изометрично пространству последовательностей${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N})}$

и у него нет нетривиальных замкнутых идеалов. Эти алгебры являются фундаментальными для изучения простых бесконечных C*-алгебр, поскольку любая такая алгебра содержит для любого заданного n подалгебру, которая имеет в качестве фактора.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

Пусть n ≥ 2 и — сепарабельное гильбертово пространство . Рассмотрим C*-алгебру, порожденную множеством${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \{S_{i}\}_{i=1}^{n}}$

изометрий (т.е. ) действующих на удовлетворяющих${\displaystyle S_{i}^{*}S_{i}=1}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}S_{i}S_{i}^{*}=1.}$

Эта универсальная C*-алгебра называется алгеброй Кунца и обозначается .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

Простая C*-алгебра называется чисто бесконечной , если каждая ее наследственная C*-подалгебра бесконечна. — отделимая, простая , чисто бесконечная C*-алгебра. Любая простая бесконечная C*-алгебра содержит подалгебру, имеющую в качестве частного.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

Алгебры Кунца попарно неизоморфны , т. е. и неизоморфны при n ≠ m . Группа K ₀ группы — это , циклическая группа порядка n  − 1. Поскольку K ₀ — функтор , и неизоморфны.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /(n-1)\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$

Теорема. Конкретная C*-алгебра изоморфна универсальной C*-алгебре, порождённой n образующими s ₁ ... s _n, при соблюдении соотношений s _i *s _i = 1 для всех i и ∑ s _i s _i * = 1.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Доказательство теоремы основано на следующем факте: любая C*-алгебра, порожденная n изометриями s ₁ ... s _n с ортогональными диапазонами, содержит копию алгебры UHF типа n ^∞ . А именно, охватывается словами вида${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}s_{j_{1}}^{*}\cdots s_{j_{k}}^{*},k\geq 0.}$

*-Подалгебра , будучи приблизительно конечномерной , имеет единственную C*-норму. Подалгебра играет роль пространства коэффициентов Фурье для элементов алгебры. Ключевая техническая лемма, принадлежащая Кунцу, заключается в том, что элемент в алгебре равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты Фурье равны нулю. Используя это, можно показать, что фактор-отображение из в является инъективным , что доказывает теорему.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Алгебра UHF имеет неунитальную подалгебру , которая канонически изоморфна себе: На этапе M _n прямой системы, определяющей , рассмотрим проекцию ранга 1 e ₁₁ , матрицу , которая равна 1 в верхнем левом углу и нулю в остальных местах. Распространим эту проекцию через прямую систему. На этапе M _{n ^k} прямой системы имеем проекцию ранга n ^{k − 1.} В прямом пределе это дает проекцию P в . Угол${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle P{\mathcal {F}}P={\mathcal {F'}}}$

изоморфен . *-эндоморфизм Φ, который отображается на , реализуется изометрией s ₁ , т.е. Φ(·) = s ₁ (·) s ₁ *. на самом деле является скрещенным произведением с эндоморфизмом Φ .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle \;{\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Отношения, определяющие алгебры Кунца, совпадают с определением бипроизведения для предаддитивных категорий . Это сходство уточняется в C*-категории унитальных *-эндоморфизмов над C*-алгебрами. Объектами этой категории являются унитальные *-эндоморфизмы, а морфизмы — элементы , где если для каждого . Унитальный *-эндоморфизм — это прямая сумма эндоморфизмов, если существуют изометрии, удовлетворяющие соотношениям и${\displaystyle а\в А}$${\displaystyle a:\rho \to \sigma }$${\displaystyle a\rho (b)=\sigma (b)a}$${\displaystyle b\in A}$${\displaystyle \rho :A\to A}$${\displaystyle \сигма _{1},\сигма _{2},...,\сигма _{n}}$${\displaystyle \{S_{k}\}_{k=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

${\displaystyle \rho (x)=\sum _{k=1}^{n}S_{k}\sigma _{k}(x)S_{k}^{*},\forall x\in A.}$

В этой прямой сумме морфизмы включения равны , а морфизмы проекции равны .${\displaystyle S_{k}:\sigma _{k}\to \rho }$${\displaystyle S_{k}^{*}:\rho \to \sigma _{k}}$

Алгебры Кунца были обобщены многими способами. Среди них следует отметить алгебры Кунца–Кригера, графовые C*-алгебры и k-графовые C*-алгебры .

В обработке сигналов подполосный фильтр с точной реконструкцией приводит к представлениям алгебры Кунца. Тот же фильтр также происходит из конструкции анализа множественного разрешения в теории вейвлетов . ^[2]

• Приблизительно конечномерная C*-алгебра
• Гильберт C*-модуль