В математике наследственная C*-подалгебра C *-алгебры — это особый тип C*-подалгебры, структура которой тесно связана со структурой большей C*-алгебры. AC*-подалгебра B алгебры A является наследственной C*-подалгеброй, если для всех a ∈ A и b ∈ B , таких что 0 ≤ a ≤ b , имеем a ∈ B. [1]
Существует биективное соответствие между замкнутыми левыми идеалами и наследственными C*-подалгебрами алгебры A . Если L ⊂ A — замкнутый левый идеал, то пусть L * обозначает образ L при *-операции. Множество L * является правым идеалом, а L * ∩ L — C*-подалгеброй. Фактически, L * ∩ L наследственно, а отображение L ↦ L * ∩ L является биекцией. Из этого соответствия следует, что каждый замкнутый идеал является наследственной C*-подалгеброй. Другое следствие состоит в том, что наследственная C*-подалгебра простой C*-алгебры также проста.
Если p — проекция A (или проекция алгебры множителей A ), то pAp — наследственная C*-подалгебра, известная как угол A . В более общем случае, при положительном a ∈ A , замыкание множества aAa является наименьшей наследственной C *-подалгеброй, содержащей a , обозначаемой Her( a ). Если A отделима , то каждая наследственная C*-подалгебра имеет этот вид.
Эти наследственные C*-подалгебры могут пролить свет на понятие подэквивалентности Кунца. В частности, если a и b являются положительными элементами C*-алгебры A , то если b ∈ Her( a ). Следовательно, a ~ b, если Her( a ) = Her( b ).
Если A унитальна и положительный элемент a обратим, то Her( a ) = A . Это предполагает следующее понятие для неунитальнаго случая: a ∈ A называется строго положительным, если Her( a ) = A . Например, в C*-алгебре K ( H ) компактных операторов, действующих в гильбертовом пространстве H , компактный оператор строго положителен тогда и только тогда, когда его область значений плотна в H . Коммутативная C*-алгебра содержит строго положительный элемент тогда и только тогда, когда спектр алгебры σ-компактен . В более общем случае, C*-алгебра содержит строго положительный элемент тогда и только тогда, когда алгебра имеет секвенциальную аппроксимативную единицу .