Наследственная C*-подалгебра

В математике наследственная C*-подалгебра C *-алгебры — это особый тип C*-подалгебры, структура которой тесно связана со структурой большей C*-алгебры. AC*-подалгебра B алгебры A является наследственной C*-подалгеброй, если для всех a A и b B , таких что 0 ≤ ab , имеем aB. [1]

Характеристики

  • Наследственная C*-подалгебра приблизительно конечномерной C*-алгебры также является AF. Это неверно для подалгебр, которые не являются наследственными. Например, каждая абелева C*-алгебра может быть вложена в AF C*-алгебру.
  • AC*-подалгебра называется полной , если она не содержится ни в каком собственном (двустороннем) замкнутом идеале. Две C*-алгебры A и B называются стабильно изоморфными , если A  ⊗  K  ≅  B  ⊗  K , где K — C*-алгебра компактных операторов на сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве . C*-алгебры стабильно изоморфны своим полным наследственным C*-подалгебрам. [2] Следовательно, две C*-алгебры стабильно изоморфны, если они содержат стабильно изоморфные полные наследственные C*-подалгебры.
  • Также наследственными C*-подалгебрами являются те C*-подалгебры, в которых ограничение любого неприводимого представления также неприводимо.

Соответствие закрытым левым идеалам

Существует биективное соответствие между замкнутыми левыми идеалами и наследственными C*-подалгебрами алгебры A . Если LA — замкнутый левый идеал, то пусть L * обозначает образ L при *-операции. Множество L * является правым идеалом, а L * ∩ L — C*-подалгеброй. Фактически, L * ∩ L наследственно, а отображение LL * ∩ L является биекцией. Из этого соответствия следует, что каждый замкнутый идеал является наследственной C*-подалгеброй. Другое следствие состоит в том, что наследственная C*-подалгебра простой C*-алгебры также проста.

Связи с положительными элементами

Если p — проекция A (или проекция алгебры множителей A ), то pAp ​​— наследственная C*-подалгебра, известная как угол A . В более общем случае, при положительном a ∈ A , замыкание множества aAa  является  наименьшей наследственной C *-подалгеброй, содержащей a , обозначаемой Her( a ). Если A отделима , то каждая наследственная C*-подалгебра имеет этот вид.

Эти наследственные C*-подалгебры могут пролить свет на понятие подэквивалентности Кунца. В частности, если a и b являются положительными элементами C*-алгебры A , то если b  ∈ Her( a ). Следовательно, a  ~  b, если Her( a ) = Her( b ). а б {\displaystyle a\precsim b}

Если A унитальна и положительный элемент a обратим, то Her( a ) = A . Это предполагает следующее понятие для неунитальнаго случая: aA называется строго положительным, если Her( a ) = A . Например, в C*-алгебре K ( H ) компактных операторов, действующих в гильбертовом пространстве H , компактный оператор строго положителен тогда и только тогда, когда его область значений плотна в H . Коммутативная C*-алгебра содержит строго положительный элемент тогда и только тогда, когда спектр алгебры σ-компактен . В более общем случае, C*-алгебра содержит строго положительный элемент тогда и только тогда, когда алгебра имеет секвенциальную аппроксимативную единицу .

Ссылки

  1. ^ Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры: теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана . Springer. стр. 75–79. ISBN 978-3-540-28517-5.
  2. ^ Браун, Лоуренс Г. (1977). «Стабильный изоморфизм наследственных подалгебр C*-алгебр». Pacific Journal of Mathematics . 71 (2): 335–348. doi : 10.2140/pjm.1977.71.335 . Zbl  0362.46042.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Наследственная_C*-подалгебра&oldid=1083266196"