Гильберт C*-модуль

Гильбертовы C*-модули — это математические объекты , обобщающие понятие гильбертовых пространств (которые сами по себе являются обобщениями евклидова пространства ), поскольку они наделяют линейное пространство « внутренним произведением », которое принимает значения в C*-алгебре .

Они были впервые введены в работе Ирвинга Капланского в 1953 году , в которой была разработана теория коммутативных , унитальных алгебр (хотя Капланский заметил, что предположение об единичном элементе не было «жизненно важным»). ^[1]

В 1970-х годах теория была независимо распространена на некоммутативные C*-алгебры Уильямом Линдаллом Пашке ^[2] и Марком Риффелем , последний в статье, в которой использовал C*-модули Гильберта для построения теории индуцированных представлений C*-алгебр. ^[3]

Гильбертовы C*-модули имеют решающее значение для формулировки Каспаровым теории KK [ ^4] и обеспечивают правильную основу для расширения понятия эквивалентности Мориты на C*-алгебры. ^[5] Их можно рассматривать как обобщение векторных расслоений на некоммутативные C*-алгебры, и как таковые они играют важную роль в некоммутативной геометрии , в частности, в C*-алгебраической квантовой теории групп ^{[6] [7]} и группоидных C*-алгебрах.

Пусть будет C*-алгеброй (не предполагается, что она коммутативна или унитальна), ее инволюция обозначается как . Внутренний -модуль (или предгильбертов -модуль ) - это комплексное линейное пространство , снабженное совместимой правой -модульной структурой вместе с отображением${\displaystyle А}$${\displaystyle {}^{*}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle E}$${\displaystyle А}$

${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{A}:E\times E\rightarrow A}$

который удовлетворяет следующим свойствам:

• Для всех , , в , и , в :${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle z}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \бета}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \langle x,y\alpha +z\beta \rangle _{A} =\langle x,y\rangle _{A}\alpha +\langle x,z\rangle _{A}\beta}$

( т.е. скалярное произведение является -линейным по второму аргументу).${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Для всех , в и в :${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle E}$${\displaystyle а}$${\displaystyle А}$

${\displaystyle \langle x,ya\rangle _{A} =\langle x,y\rangle _{A}a}$

• Для всех , в :${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A} =\langle y,x\rangle _{A}^{*},}$

откуда следует, что скалярное произведение является сопряженно-линейным по своему первому аргументу ( т.е. является полуторалинейной формой ).

• Для всех в :${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}\geq 0}$

в том смысле, что он является положительным элементом A , и

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}=0\iff x=0.}$

(Элемент C*-алгебры называется положительным, если он самосопряжен с неотрицательным спектром .) ^{[8] [9]}${\displaystyle А}$

Аналог неравенства Коши–Шварца справедлив для -модуля скалярного произведения : ^[10]${\displaystyle А}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}\langle y,x\rangle _{A}\leq \Vert \langle y,y\rangle _{A}\Vert \langle x,x\rangle _{A}}$

для , в .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle E}$

В предгильбертовом модуле определите норму следующим образом:${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert \langle x,x\rangle _{A}\Vert ^{\frac {1}{2}}.}$

Норма-пополнение , по-прежнему обозначаемое как , называется гильбертовым -модулем или гильбертовым C*-модулем над C*-алгеброй . Неравенство Коши–Шварца подразумевает, что скалярное произведение является совместно непрерывным по норме и, следовательно, может быть расширено до пополнения.${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Действие на непрерывно: для всех в${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle a_{\lambda }\rightarrow a\Rightarrow xa_{\lambda }\rightarrow xa.}$

Аналогично, если является приближенной единицей для ( сетка самосопряженных элементов для , для которой и стремятся к для каждого в ), то для в${\displaystyle (e_{\lambda })}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle ae_{\lambda }}$${\displaystyle e_{\lambda }a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x.}$

Откуда следует, что является плотным в , а когда является единичным.${\displaystyle EA}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x1_{A}=x}$${\displaystyle A}$

Позволять

${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}=\operatorname {span} \{\langle x,y\rangle _{A}\mid x,y\in E\},}$

тогда замыкание является двусторонним идеалом в . Двусторонние идеалы являются C*-подалгебрами и, следовательно, обладают приближенными единицами. Можно проверить, что является плотным в . В случае, когда является плотным в , говорят, что является полным . Это, как правило, не выполняется.${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E\langle E,E\rangle _{A}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$

Поскольку комплексные числа представляют собой C*-алгебру с инволюцией, заданной комплексным сопряжением , комплексное гильбертово пространство является гильбертовым -модулем относительно скалярного умножения на комплексные числа и его скалярного произведения.${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Если — локально компактное хаусдорфово пространство и векторное расслоение над с проекцией эрмитовой метрики , то пространство непрерывных сечений является гильбертовым -модулем. При заданных сечениях и правое действие определяется как${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi \colon E\to X}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle \sigma ,\rho }$${\displaystyle E}$${\displaystyle f\in C(X)}$

${\displaystyle \sigma f(x)=\sigma (x)f(\pi (x)),}$

и внутренний продукт определяется как

${\displaystyle \langle \sigma ,\rho \rangle _{C(X)}(x):=g(\sigma (x),\rho (x)).}$

Обратное утверждение также верно: каждый счетно порождённый гильбертов C*-модуль над коммутативной унитальной C*-алгеброй изоморфен пространству сечений, исчезающих на бесконечности, непрерывного поля гильбертовых пространств над . ^{[ требуется ссылка ]}${\displaystyle A=C(X)}$${\displaystyle X}$

Любая C*-алгебра является Гильбертовым -модулем с действием, заданным правым умножением в и скалярным произведением . По C*-тождеству норма Гильбертова модуля совпадает с C*-нормой на .${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle a,b\rangle =a^{*}b}$${\displaystyle A}$

(Алгебраическая) прямая сумма копий${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{n}=\bigoplus _{i=1}^{n}A}$

можно превратить в Гильберт -модуль, определив${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle (a_{i}),(b_{i})\rangle _{A}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}.}$

Если — проекция в C*-алгебре , то — также Гильбертов -модуль с тем же скалярным произведением, что и прямая сумма.${\displaystyle p}$${\displaystyle M_{n}(A)}$${\displaystyle pA^{n}}$${\displaystyle A}$

Можно также рассмотреть следующее подпространство элементов в счетном прямом произведении${\displaystyle A}$

${\displaystyle \ell _{2}(A)={\mathcal {H}}_{A}={\Big \{}(a_{i})|\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{*}a_{i}{\text{ converges in }}A{\Big \}}.}$

Получившийся Гильбертов -модуль, снабженный очевидным скалярным произведением (аналогичным произведению ), называется стандартным Гильбертовым модулем над .${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Стандартный модуль Гильберта играет важную роль в доказательстве теоремы Каспарова о стабилизации, которая утверждает, что для любого счетно порождённого модуля Гильберта существует изометрический изоморфизм ^[11]${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\oplus \ell ^{2}(A)\cong \ell ^{2}(A).}$

Пусть и — два гильбертовых модуля над одной и той же C*-алгеброй . Тогда это банаховы пространства, поэтому можно говорить о банаховом пространстве ограниченных линейных отображений , нормированных операторной нормой.${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$

Сопряженные и компактные сопряженные операторы являются подпространствами этого банахова пространства, определяемыми с помощью структур скалярного произведения на и .${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

В частном случае, когда — они сводятся к ограниченным и компактным операторам в гильбертовых пространствах соответственно.${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Отображение (не обязательно линейное) определяется как сопряженное, если существует другое отображение , известное как сопряженное к , такое, что для любого и ,${\displaystyle T\colon E\to F}$${\displaystyle T^{*}\colon F\to E}$${\displaystyle T}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle f\in F}$

${\displaystyle \langle f,Te\rangle =\langle T^{*}f,e\rangle .}$

Оба и тогда автоматически являются линейными и также -модульными отображениями. Теорема о замкнутом графике может быть использована для того, чтобы показать, что они также ограничены.${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle A}$

Аналогично сопряженному оператору в гильбертовых пространствах, является единственным (если он существует) и сам сопряжен с сопряженным . Если — второе сопряженное отображение, то сопряжен с сопряженным . ${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S\colon F\to G}$${\displaystyle ST}$${\displaystyle S^{*}T^{*}}$

Сопряженные операторы образуют подпространство , которое является полным по операторной норме. ${\displaystyle E\to F}$${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$

В случае пространство сопряженных операторов из в себя обозначается , и является C*-алгеброй. ^[12]${\displaystyle F=E}$${\displaystyle \mathbb {B} (E,E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$

При условии и отображение определяется аналогично операторам ранга один гильбертовых пространств следующим образом: ${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle f\in F}$${\displaystyle |f\rangle \langle e|\colon E\to F}$

${\displaystyle g\mapsto f\langle e,g\rangle .}$

Это сопряжено с сопряженным .${\displaystyle |e\rangle \langle f|}$

Компактные сопряженные операторы определяются как замкнутая область ${\displaystyle \mathbb {K} (E,F)}$

${\displaystyle \{|f\rangle \langle e|\mid e\in E,\;f\in F\}}$

в . ${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$

Как и в случае ограниченных операторов, обозначается . Это (замкнутый, двусторонний) идеал . ^[13]${\displaystyle \mathbb {K} (E,E)}$${\displaystyle \mathbb {K} (E)}$${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$

Если и являются C*-алгебрами, то C*-соответствие является Гильбертовым -модулем, снабженным левым действием присоединенных отображений, которое является точным. (Примечание: некоторые авторы требуют, чтобы левое действие было невырожденным.) Эти объекты используются в формулировке эквивалентности Мориты для C*-алгебр, см. приложения в построении алгебр Теплица и Кунца-Пимснера, ^[14] и могут быть использованы для наложения структуры бикатегории на набор C*-алгебр. ^[15]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

Если — соответствие и , то алгебраическое тензорное произведение и как векторных пространств наследует левые и правые - и -модульные структуры соответственно.${\displaystyle E}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (B,C)}$${\displaystyle E\odot F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$

Его также можно наделить -значной полуторалинейной формой, определяемой на чистых тензорах как ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \langle e\odot f,e'\odot f'\rangle _{C}:=\langle f,\langle e,e'\rangle _{B}f\rangle _{C}.}$

Это положительно полуопределено, и хаусдорфово пополнение в результирующей полунорме обозначается . Левое и правое действия и расширяются, чтобы сделать это соответствием. ^[16]${\displaystyle E\odot F}$${\displaystyle E\otimes _{B}F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (A,C)}$

Затем набор C*-алгебр может быть наделен структурой бикатегории с C*-алгебрами в качестве объектов, соответствиями в качестве стрелок и изоморфизмами соответствий (биективными модульными отображениями, сохраняющими внутренние произведения) в качестве 2-стрелок. ^[17]${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle B\to A}$

Для заданной C*-алгебры и соответствия ее алгебра Теплица определяется как универсальная алгебра для представлений Теплица (определено ниже).${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,A)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$

Классическая алгебра Теплица может быть восстановлена ​​как частный случай, а алгебры Кунца-Пимснера определяются как частные факторы алгебр Теплица. ^[18]

В частности, графовые алгебры , скрещенные произведения на${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и алгебры Кунца являются факторами конкретных алгебр Теплица.

Представление Теплица ^[19] в C*-алгебре — это пара линейного отображения и гомоморфизма, такая что ${\displaystyle E}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (S,\phi )}$${\displaystyle S\colon E\to D}$${\displaystyle \phi \colon A\to D}$

• ${\displaystyle S}$является «изометрическим»:

${\displaystyle S(e)^{*}S(f)=\phi (\langle e,f\rangle )}$для всех ,${\displaystyle e,f\in E}$

• ${\displaystyle S}$напоминает бимодульную карту:

${\displaystyle S(ae)=\phi (a)S(e)}$и для и .${\displaystyle S(ea)=S(e)\phi (a)}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle a\in A}$

Алгебра Теплица является универсальным представлением Теплица. То есть, существует представление Теплица в такое , что если — любое представление Теплица (в произвольной алгебре ), то существует единственный *-гомоморфизм такой, что и . ^[20]${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$${\displaystyle (T,\iota )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$${\displaystyle (S,\phi )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Phi \colon {\mathcal {T}}(E)\to D}$${\displaystyle S=\Phi \circ T}$${\displaystyle \phi =\Phi \circ \iota }$

Если взять алгебру комплексных чисел, а векторное пространство , наделенное естественной -бимодульной структурой, то соответствующая алгебра Теплица является универсальной алгеброй, порожденной изометриями с взаимно ортогональными проекциями множеств. ^[21]${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$

В частности, — это универсальная алгебра, порожденная одной изометрией, которая является классической алгеброй Теплица.${\displaystyle {\mathcal {T}}(\mathbb {C} )}$

• Операторная алгебра

• Лэнс, Э. Кристофер (1995). Гильбертовы C*-модули: набор инструментов для операторных алгебраистов . Серия лекций Лондонского математического общества. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета.
• Wegge-Olsen, NE (1993). K-теория и C*-алгебры . Oxford University Press.
• Браун, Натаниэль П.; Озава, Нарутака (2008). C*-алгебры и конечномерные аппроксимации. Американское математическое общество.
• Басс, Алсидес; Мейер, Ральф; Чжу, Ченчан (2013). «Подход высшей категории к скрученным действиям на c*-алгебрах». Труды Эдинбургского математического общества . 56 (2): 387–426. doi :10.1017/S0013091512000259.
• Фаулер, Нил Дж.; Рэйберн, Иэн (1999). «Алгебра Теплица бимодуля Гильберта». Indiana University Mathematics Journal . 48 (1): 155–181. doi :10.1512/iumj.1999.48.1639. JSTOR  24900141.

• Вайсштейн, Эрик В. «Гильберт C*-модуль». Математический мир .
• Домашняя страница Hilbert C*-Modules, список литературы