след Диксмье

В математике след Диксмье , введенный Жаком Диксмье  (1966), — это ненормальный ^{[ требуется пояснение ]} след на пространстве линейных операторов в гильбертовом пространстве, большем, чем пространство операторов класса следов . Следы Диксмье являются примерами сингулярных следов .

Некоторые приложения следов Диксмье к некоммутативной геометрии описаны в (Connes 1994).

Если H — гильбертово пространство, то L ^1,∞ ( H ) — пространство компактных линейных операторов T на H, таких, что норма

${\displaystyle \|T\|_{1,\infty}=\sup _{N}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$

конечна, где числа μ _i ( T ) являются собственными значениями | T |, расположенными в порядке убывания. Пусть

${\displaystyle a_{N}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$.

След Диксмье Tr _ω ( T ) оператора T определяется для положительных операторов T из L ^1,∞ ( H ) следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\omega }(T)=\lim _{\omega }a_{N}}$

где lim _ω — это масштабно-инвариантное положительное «расширение» обычного предела на все ограниченные последовательности. Другими словами, он обладает следующими свойствами:

• lim _ω ( α _n ) ≥ 0, если все α _n ≥ 0 (положительность)
• lim _ω ( α _n ) = lim( α _n ) всякий раз, когда существует обычный предел
• lim _ω ( α ₁ , α ₁ , α ₂ , α ₂ , α ₃ , ...) = lim _ω ( α _n ) (масштабная инвариантность)

Существует много таких расширений (например, предел Банаха α ₁ , α ₂ , α ₄ , α ₈ ,...), поэтому существует много различных следов Диксмье. Поскольку след Диксмье линейный, он линейно распространяется на все операторы L ^1,∞ ( H ). Если след Диксмье оператора не зависит от выбора lim _ω , то оператор называется измеримым .

• Tr _ω ( T ) линейна по T .
• Если T ≥ 0, то Tr _ω ( T ) ≥ 0
• Если S ограничено, то Tr _ω ( ST ) = Tr _ω ( TS )
• Tr _ω ( T ) не зависит от выбора скалярного произведения на H .
• Tr _ω ( T ) = 0 для всех операторов класса следа T , но существуют компактные операторы, для которых он равен 1.

След φ называется нормальным, если φ (sup x _α ) = sup  φ ( x _α ) для любого ограниченного возрастающего направленного семейства положительных операторов. Любой нормальный след на равен обычному следу, поэтому след Диксмье является примером ненормального следа.${\displaystyle L^{1,\infty }(H)}$

Компактный самосопряженный оператор с собственными значениями 1, 1/2, 1/3, ... имеет след Диксмье, равный 1.

Если собственные значения μ _i положительного оператора T обладают тем свойством, что

${\displaystyle \zeta _{T}(s)=\operatorname {Tr} (T^{s})=\sum {\mu _{i}^{s}}}$

сходится при Re( s )>1 и продолжается до мероморфной функции вблизи s = 1 с не более чем простым полюсом при s = 1, то след Диксмье функции T является вычетом при s = 1 (и, в частности, не зависит от выбора ω).

Коннес (1988) показал, что некоммутативный вычет Водзицкого (Wodzicki 1984) псевдодифференциального оператора на многообразии M порядка -dim(M) равен его следу Диксмье.

• Альбеверио, С.; Гвидо, Д.; Поносов, А.; Скарлатти, С.: Сингулярные следы и компактные операторы. Журнал функц. анал. 137 (1996), № 2, 281—302.
• Конн, Ален (1988), «Функционал действия в некоммутативной геометрии», Communications in Mathematical Physics , 117 (4): 673–683, Bibcode : 1988CMaPh.117..673C, doi : 10.1007/BF01218391, ISSN  0010-3616, MR  0953826
• Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}
• Диксмье, Жак (1966), «Существование ненормальных следов», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A1107–A1108, ISSN  0151-0509, MR  0196508
• Водзицкий, М. (1984), «Локальные инварианты спектральной асимметрии», Inventiones Mathematicae , 75 (1): 143–177, Bibcode : 1984InMat..75..143W, doi : 10.1007/BF01403095, ISSN  0020-9910, MR  0728144, S2CID  120857263

• Единичный след