Ядро (теория групп)

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Декабрь 2023 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В теории групп , разделе математики , ядро ​​— это любая из определенных специальных нормальных подгрупп группы . Два наиболее распространенных типа — это нормальное ядро ​​подгруппы и p -ядро группы.

Для группы G нормальное ядро ​​или нормальная внутренность ^[1] подгруппы H — это наибольшая нормальная подгруппа G , которая содержится в H (или, что эквивалентно, пересечение сопряженных элементов H ) . В более общем смысле ядро ​​H относительно подмножества S  ⊆  G — это пересечение сопряженных элементов H относительно S , т.е.

${\displaystyle \mathrm {Ядро} _{S}(H):=\bigcap _{s\in S}{s^{-1}Hs}.}$

Согласно этому более общему определению, нормальное ядро ​​— это ядро ​​относительно S  =  G. Нормальное ядро ​​любой нормальной подгруппы — это сама подгруппа.

Нормальные ядра важны в контексте групповых действий на множествах , где нормальное ядро ​​подгруппы изотропии любой точки действует как тождество на всей ее орбите . Таким образом, в случае, если действие транзитивно , нормальное ядро ​​любой подгруппы изотропии является в точности ядром действия.

Подгруппа без ядра — это подгруппа, нормальным ядром которой является тривиальная подгруппа . Эквивалентно, это подгруппа, которая встречается как подгруппа изотропии транзитивного, точного группового действия.

Решение проблемы скрытой подгруппы в абелевом случае обобщается до нахождения нормального ядра в случае подгрупп произвольных групп.

В этом разделе G будет обозначать конечную группу , хотя некоторые аспекты обобщаются на локально конечные группы и проконечные группы .

Для простого числа p p -ядро конечной группы определяется как ее наибольшее нормальное p -подгруппа . Это нормальное ядро ​​каждой силовской p -подгруппы группы. P -ядро группы G часто обозначается , и, в частности, появляется в одном из определений подгруппы Фиттинга конечной группы . Аналогично, p ′ -ядро является наибольшим нормальным подгруппой группы G , порядок которой взаимно прост с p и обозначается . В области конечных неразрешимых групп, включая классификацию конечных простых групп , 2′ -ядро часто называют просто ядром и обозначают . Это вызывает лишь небольшую путаницу, поскольку обычно можно различить ядро ​​группы и ядро ​​подгруппы внутри группы. P ′, p -ядро , обозначаемое , определяется как . Для конечной группы p ′, p -ядро является единственной наибольшей нормальной p -нильпотентной подгруппой.${\displaystyle O_{p}(G)}$${\displaystyle O_{p'}(G)}$${\displaystyle O(G)}$${\displaystyle O_{p',p}(G)}$${\displaystyle O_{p',p}(G)/O_{p'}(G)=O_{p}(G/O_{p'}(G))}$

P -ядро также можно определить как единственную наибольшую субнормальную p -подгруппу; p ′-ядро как единственную наибольшую субнормальную p ′-подгруппу; а p ′, p -ядро как единственную наибольшую субнормальную p -нильпотентную подгруппу.

P ' и p ', p -ядро начинают верхний p -ряд . Для наборов π ₁ , π ₂ , ..., π _{n +1} простых чисел подгруппы O _{π 1 , π 2 , ..., π n +1} ( G ) определяются следующим образом:

${\displaystyle O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots,\pi _{n+1}}(G)/O_{\pi _{1},\pi _{2} ,\dots ,\pi _{n}}(G)=O_{\pi _{n+1}}(G/O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n}}(G))}$

Верхний p -ряд образуется взятием π _{2 i −1} = p ′ и π _{2 i} = p; также существует нижний p -ряд . Конечная группа называется p -нильпотентной тогда и только тогда, когда она равна своему собственному p ′, p -ядру. Конечная группа называется p -разрешимой тогда и только тогда, когда она равна некоторому члену своего верхнего p -ряда; ее p -длина является длиной ее верхнего p -ряда. Конечная группа G называется p -ограниченной для простого p, если .${\displaystyle C_{G}(O_{p',p}(G)/O_{p'}(G))\subseteq O_{p',p}(G)}$

Каждая нильпотентная группа является p -нильпотентной, и каждая p -нильпотентная группа является p -разрешимой. Каждая разрешимая группа является p -разрешимой, и каждая p -разрешимая группа является p -ограниченной. Группа является p -нильпотентной тогда и только тогда, когда она имеет нормальное p -дополнение , которое является просто ее p ′-ядром.

Так же, как нормальные ядра важны для действий групп на множествах, p -ядра и p ′ -ядра важны в теории модулярных представлений , которая изучает действия групп на векторных пространствах . P -ядро конечной группы является пересечением ядер неприводимых представлений над любым полем характеристики p . Для конечной группы p ′ -ядро является пересечением ядер обычных (комплексных) неприводимых представлений, которые лежат в главном p -блоке. Для конечной группы p ′, p -ядро является пересечением ядер неприводимых представлений в главном p -блоке над любым полем характеристики p . Кроме того, для конечной группы p ′, p -ядро является пересечением централизаторов абелевых главных множителей, порядок которых делится на p (все из которых являются неприводимыми представлениями над полем размера p , лежащим в главном блоке). Для конечной p -связанной группы неприводимый модуль над полем характеристики p лежит в главном блоке тогда и только тогда, когда p ′-ядро группы содержится в ядре представления.

Связанная подгруппа в концепции и обозначениях — разрешимый радикал. Разрешимый радикал определяется как наибольшая разрешимая нормальная подгруппа и обозначается . В литературе существуют некоторые расхождения в определении p ′-ядра группы G . Несколько авторов всего в нескольких работах (например, в работах Джона Г. Томпсона о N-группах, но не в его более поздних работах) определяют p ′-ядро неразрешимой группы G как p ′-ядро ее разрешимого радикала, чтобы лучше имитировать свойства 2′-ядра.${\displaystyle O_ {\infty }(G)}$