Тривиальная группа

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources. Find sources: "Trivial group" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2024)

В математике тривиальная группа или нулевая группа — это группа, состоящая из одного элемента. Все такие группы изоморфны , поэтому часто говорят о тривиальной группе. Единственный элемент тривиальной группы — это единичный элемент , поэтому его обычно обозначают так: или в зависимости от контекста. Если обозначается групповая операция , то она определяется как${\displaystyle 0,1,}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \,\cdot \,}$${\displaystyle e\cdot e=e.}$

Аналогично определяемыйТривиальный моноид также является группой, поскольку его единственным элементом является его собственный обратный элемент, и, следовательно, он совпадает с тривиальной группой.

Тривиальная группа отличается от пустого множества , которое не имеет элементов, следовательно, не имеет единичного элемента и, следовательно, не может быть группой.

Для любой группы группа, состоящая только из единичного элемента, является подгруппой и , будучи тривиальной группой, называется${\displaystyle G,}$${\displaystyle G,}$тривиальная подгруппа${\displaystyle G.}$

Термин « не имеет нетривиальных собственных подгрупп» относится к единственным подгруппам, являющимся тривиальной группой и самой группой .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{e\}}$${\displaystyle G}$

Тривиальная группа является циклической порядка ; как таковая она может быть обозначена или Если групповая операция называется сложением, то тривиальная группа обычно обозначается Если групповая операция называется умножением, то 1 может быть обозначением для тривиальной группы. Объединение этих значений приводит к тривиальному кольцу , в котором операции сложения и умножения идентичны и${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$${\displaystyle \mathrm {C} _{1}.}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle 0=1.}$

Тривиальная группа служит нулевым объектом в категории групп , то есть она является как начальным, так и конечным объектом .

Тривиальную группу можно сделать (би-) упорядоченной группой , снабдив ее тривиальным нестрогим порядком ${\displaystyle \,\leq .}$

• Нулевой объект (алгебра)  – алгебраическая структура с единственным элементом
• Список малых групп

• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Тривиальная группа». MathWorld .