Системы координат для гиперболической плоскости

В гиперболической плоскости , как и в евклидовой плоскости , каждая точка может быть однозначно идентифицирована двумя действительными числами . В гиперболической геометрии используется несколько качественно различных способов координатизации плоскости.

В данной статье делается попытка дать обзор нескольких систем координат, используемых для двумерной гиперболической плоскости.

В приведенных ниже описаниях постоянная гауссова кривизна плоскости равна −1. Sinh , cosh и tanh являются гиперболическими функциями .

Полярная система координат — это двумерная система координат , в которой каждая точка на плоскости определяется расстоянием от точки отсчета и углом от направления отсчета.

Точка отсчета (аналогично началу декартовой системы ) называется полюсом , а луч от полюса в направлении отсчета — полярной осью . Расстояние от полюса называется радиальной координатой или радиусом , а угол называется угловой координатой или полярным углом .

Из гиперболического закона косинусов получаем, что расстояние между двумя точками, заданными в полярных координатах, равно

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle r_{1},\theta _{1}\rangle ,\langle r_{2},\theta _{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \,\left(\cosh r_{1}\cosh r_{2}-\sinh r_{1}\sinh r_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})\right)\,.}$

Пусть , дифференцируя при :${\displaystyle r=r_{1}=r_{2},\theta =\theta _{2}-\theta _{1}}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} {\theta }}}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}\operatorname {dist} (\langle r,\theta _{1}\rangle,\langle r,\theta _{1}+\theta \rangle )\right|_{\theta =0} &=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}\operatorname {arcosh} \,\left(\cosh ^{2}r-\sinh ^{2}r\cos(\theta )\right)\right|_{\theta =0}\\&=\sinh(r)\end{aligned}}}$

получаем соответствующий метрический тензор :${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=(\mathrm {d} r)^{2}+\sinh ^{2}r\,(\mathrm {d} \theta)^{2}\,.}$

Прямые линии описываются уравнениями вида

${\displaystyle \theta =\theta _{0}\pm {\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ или }}\quad \tanh r=\tanh r_{0}\sec(\theta -\theta _{0})}$

где r ₀ и θ ₀ — координаты ближайшей к полюсу точки на линии.

Модель полуплоскости Пуанкаре тесно связана с моделью гиперболической плоскости в квадранте Q = {( x,y ): x > 0, y > 0}. Для такой точки геометрическое среднее и гиперболический угол создают точку ( u,v ) в верхней полуплоскости. Гиперболическая метрика в квадранте зависит от метрики полуплоскости Пуанкаре. Движения модели Пуанкаре переносятся на квадрант; в частности, левые или правые сдвиги действительной оси соответствуют гиперболическим поворотам квадранта. В связи с изучением отношений в физике и экономике, где квадрант является вселенной дискурса, его точки, как говорят, расположены с помощью гиперболических координат .${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle u=\ln {\sqrt {x/y}}}$

В гиперболической геометрии прямоугольники не существуют. Сумма углов четырехугольника в гиперболической геометрии всегда меньше 4 прямых углов (см. четырехугольник Ламберта ). Также в гиперболической геометрии нет равноудаленных линий (см. гиперциклы ). Все это влияет на системы координат.

Однако существуют различные системы координат для гиперболической плоской геометрии. Все они основаны на выборе реальной (не идеальной ) точки ( Начала координат ) на выбранной направленной линии ( ось x ), и после этого существует множество вариантов.

Осевые координаты x _a и y _a находятся путем построения оси y , перпендикулярной оси x через начало координат. ^[1]

Как и в декартовой системе координат , координаты находятся путем опускания перпендикуляров из точки на оси x и y . x _a — расстояние от основания перпендикуляра на оси x до начала координат (рассматриваемое как положительное с одной стороны и отрицательное с другой); y _a — расстояние от основания перпендикуляра на оси y до начала координат.

Каждая точка и большинство идеальных точек имеют осевые координаты, но не каждая пара действительных чисел соответствует точке.

Если , то это идеальная точка.${\displaystyle \tanh ^{2}(x_{a})+\tanh ^{2}(y_{a})=1}$${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$

Если , то это вообще не имеет значения.${\displaystyle \tanh ^{2}(x_{a})+\tanh ^{2}(y_{a})>1}$${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$

Расстояние от точки до оси x равно . До оси y равно .${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$${\displaystyle \operatorname {artanh} \left(\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\right)}$${\displaystyle \operatorname {artanh} \left(\tanh(x_{a})\cosh(y_{a})\right)}$

Связь осевых координат с полярными координатами (предполагая, что начало координат является полюсом, а положительная ось x является полярной осью) имеет вид

${\displaystyle x=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\cos \theta )}$

${\displaystyle y=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\sin \theta )}$

${\displaystyle r=\operatorname {artanh} \,({\sqrt {\tanh ^{2}x+\tanh ^{2}y}}\,)}$

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\tanh y}{\tanh x+{\sqrt {\tanh ^{2}x+\tanh ^{2}y}}}}\right)\,.}$

Координаты Лобачевского x _ℓ и y _ℓ находятся путем опускания перпендикуляра на ось x . x _ℓ — расстояние от основания перпендикуляра к оси x до начала координат (положительное с одной стороны и отрицательное с другой, как и в аксиальных координатах). ^[1]

y _ℓ — расстояние по перпендикуляру от данной точки до ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой).

${\displaystyle x_{l}=x_{a}\ ,\ \tanh(y_{l})=\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\ ,\ \tanh(y_{a}) = {\frac {\tanh(y_{l})}{\cosh(x_{l})}}}$.

Координаты Лобачевского полезны для интегрирования длины кривых ^[2] и площади между линиями и кривыми. ^{[ нужен пример ]}

Координаты Лобачевского названы в честь Николая Лобачевского, одного из первооткрывателей гиперболической геометрии .

Постройте декартову систему координат следующим образом. Выберите линию ( ось x ) на гиперболической плоскости (со стандартизированной кривизной -1) и обозначьте точки на ней по их расстоянию от начальной точки ( x = 0) на оси x (положительное с одной стороны и отрицательное с другой). Для любой точки на плоскости можно определить координаты x и y , опустив перпендикуляр на ось x . x будет меткой основания перпендикуляра. y будет расстоянием вдоль перпендикуляра данной точки от ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой). Тогда расстояние между двумя такими точками будет

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$

Эту формулу можно вывести из формул гиперболических треугольников .

Соответствующий метрический тензор: .${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$

В этой системе координат прямые линии либо перпендикулярны оси x (с уравнением x = константа), либо описываются уравнениями вида

${\displaystyle \tanh y=A\cosh x+B\sinh x\quad {\text{ когда }}\quad A^{2}<1+B^{2}}$

где A и B — действительные параметры, характеризующие прямую линию.

Связь координат Лобачевского с полярными координатами (предполагая, что начало координат является полюсом, а положительная ось x является полярной осью) имеет вид

${\displaystyle x=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\cos \theta )}$

${\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \, (\sinh r\sin \theta)}$

${\displaystyle r=\operatorname {arcosh} \,(\cosh x\cosh y)}$

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\sinh y}{\sinh x\cosh y+{\sqrt {\cosh ^{2}x\cosh ^{2}y-1}}}}\right)\,.}$

Другая система координат представляет каждую гиперболическую точку двумя действительными числами, определенными относительно некоторого заданного орицикла . Эти числа являются гиперболическим расстоянием от до орицикла и (знаковой) длиной дуги вдоль орицикла между фиксированной точкой отсчета и , где - ближайшая точка на орицикле к . ^[3]${\displaystyle P}$${\displaystyle x_{h}}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y_{h}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle P_{h}}$${\displaystyle P_{h}}$${\displaystyle P}$

Системы координат на основе моделей используют одну из моделей гиперболической геометрии и принимают евклидовы координаты внутри модели в качестве гиперболических координат.

Координаты Бельтрами точки — это декартовы координаты точки, когда точка отображается в модели Бельтрами–Клейна гиперболической плоскости, ось x отображается в отрезок (−1,0) − (1,0) , а начало координат отображается в центр граничной окружности. ^[1]

Имеют место следующие уравнения:

${\displaystyle x_{b}=\tanh(x_{a}),\ y_{b}=\tanh(y_{a})}$

Координаты Пуанкаре точки — это декартовы координаты точки, когда точка отображается в дисковой модели Пуанкаре гиперболической плоскости ^[1] , ось x отображается в отрезок (−1,0) − (1,0) , а начало координат отображается в центр граничной окружности.

Координаты Пуанкаре, выраженные через координаты Бельтрами, имеют вид:

${\displaystyle x_{p}={\frac {x_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}},\ \ y_{p}={\frac {y_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}}}$

Координаты Вейерштрасса точки — это декартовы координаты точки, когда точка отображается в гиперболоидной модели гиперболической плоскости, ось x отображается на (половину) гиперболы , а начало координат отображается в точку (0,0,1). ^[1]${\displaystyle (t\ ,\ 0\ ,\ {\sqrt {t^{2}+1}})}$

Точка P с осевыми координатами ( x _a ,  y _a ) отображается на

${\displaystyle \left({\frac {\tanh x_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {\tanh y_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\right)}$

Гировекторное пространство

Из пространства гировекторов#Центры треугольников

Изучение центров треугольников традиционно связано с евклидовой геометрией, но центры треугольников можно изучать и в гиперболической геометрии. Используя гиротригонометрию, можно вычислить выражения для тригонометрических барицентрических координат, которые имеют одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии. Для того чтобы выражения совпадали, они не должны включать в себя спецификацию суммы углов, равную 180 градусам. ^{[4] [5] [6]}