Гиперболический закон косинусов

В гиперболической геометрии «закон косинусов» представляет собой пару теорем, связывающих стороны и углы треугольников на гиперболической плоскости , аналогичных плоскому закону косинусов из плоской тригонометрии или сферическому закону косинусов в сферической тригонометрии . ^[1] Его также можно связать с релятивистской формулой сложения скоростей . ^{[2] [3]}

Описывая соотношения гиперболической геометрии, Франц Тауринус в 1826 году ^[4] показал , что сферический закон косинусов можно связать со сферами мнимого радиуса, таким образом, он пришел к гиперболическому закону косинусов в виде: ^[5]

$${\displaystyle A=\operatorname {arccos} {\frac {\cos \left(\alpha {\sqrt {-1}}\right)-\cos \left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\cos \left(\gamma {\sqrt {-1}}\right)}{\sin \left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\sin \left(\gamma {\sqrt {-1}}\right)}}}$$

что также показал Николай Лобачевский (1830): ^[6]

$${\displaystyle \cos A\sin b\sin c-\cos b\cos c=\cos a;\quad [a,\ b,\ c]\rightarrow \left[a{\sqrt {-1}},\ b{\sqrt {-1}},\ c{\sqrt {-1}}\right]}$$

Фердинанд Миндинг дал его в отношении поверхностей постоянной отрицательной кривизны: ^[7]

$${\displaystyle \cos a{\sqrt {k}}=\cos b{\sqrt {k}}\cdot \cos c{\sqrt {k}}+\sin b{\sqrt {k}}\cdot \sin c{\sqrt {k}}\cdot \cos A}$$

как это сделал Дельфино Кодацци в 1857 году: ^[8]

$${\displaystyle \cos \beta \,p\left({\frac {a}{r}}\right)p\left({\frac {s}{r}}\right)=q\left({\frac {a}{r}}\right)q\left({\frac {s}{r}}\right)-q\left({\frac {\lambda }{r}}\right),\quad \left[{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}=p(t),\ {\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}=q(t)\right]}$$

Связь с относительностью с помощью быстроты была показана Арнольдом Зоммерфельдом в 1909 году ^[9] и Владимиром Варичаком в 1910 году ^[10].

Возьмем гиперболическую плоскость, гауссова кривизна которой равна . Для гиперболического треугольника с углами и длинами сторон , , и выполняются следующие два правила. Первое является аналогом закона косинусов Евклида, выражающим длину одной стороны через две другие и угол между ними:${\textstyle -{\frac {1}{k^{2}}}}$ ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle \альфа ,\бета ,\гамма }$${\displaystyle BC=a}$${\displaystyle АС=b}$${\displaystyle AB=c}$

${\displaystyle \cosh {\frac {a}{k}}=\cosh {\frac {b}{k}}\cosh {\frac {c}{k}}-\sinh {\frac {b} k}}\sinh {\frac {c}{k}}\cos \alpha,}$

1

Второй закон не имеет евклидова аналога, поскольку он выражает тот факт, что длины сторон гиперболического треугольника определяются внутренними углами:

$${\displaystyle \cos \alpha =-\cos \beta \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cosh {\frac {a}{k}}.}$$

Хаузель указывает, что гиперболический закон косинусов подразумевает угол параллельности в случае идеального гиперболического треугольника: ^[11]

Когда это так, когда вершина A отклонена в бесконечность, а стороны BA и CA «параллельны», первый член равен 1; предположим дополнительно, что так что и Угол при B принимает значение β, задаваемое этим углом, впоследствии был назван «углом параллельности», а Лобачевский обозначал его как « F ( a ) » или « Π( a )» .${\displaystyle \альфа =0,}$${\displaystyle \gamma =\pi /2}$${\displaystyle \cos \gamma =0}$${\displaystyle \sin \gamma =1.}$${\displaystyle 1=\sin \beta \cosh(a/k);}$

В случаях, когда мало, и решается для , численная точность стандартной формы гиперболического закона косинусов упадет из-за ошибок округления , по той же причине, по которой это происходит в сферическом законе косинусов . Гиперболическая версия закона гаверсинусов может оказаться полезной в этом случае:${\displaystyle а/к}$

$${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {a}{2k}}=\sinh ^{2}{\frac {bc}{2k}}+\sinh {\frac {b}{k}}\ sinh {\frac {c}{k}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}},}$$

Принимая во внимание ( 1 ) и используя гиперболические тождества в терминах гиперболического тангенса , гиперболический закон косинусов можно записать:${\displaystyle \left[{\tfrac {a}{k}},\ {\tfrac {b}{k}},\ {\tfrac {c}{k}}\right]=\left[\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\cosh \xi &=\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \\&\Rightarrow & {\frac {1} \sqrt {1-\tanh ^{2}\xi }}}&={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}-{\frac {\tanh \eta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {\tanh \zeta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\cos \alpha \\&\Стрелка вправо &\tanh \xi &={\frac {\sqrt {-\tanh ^{2}\zeta -\tanh ^{2}\eta +2\tanh \eta \tanh \zeta \cos \alpha +\left(\tanh \eta \ tanh \zeta \sin \alpha \right)^{2}}}{1-\tanh \eta \tanh \zeta \cos \alpha }}\end{выровнено}}}$

2

Для сравнения, формулы сложения скоростей специальной теории относительности для направлений x и y, а также под произвольным углом , где v — относительная скорость между двумя инерциальными системами отсчета , u — скорость другого объекта или системы отсчета, а c — скорость света , задаются выражением ^[2]${\displaystyle \альфа}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left[U_{x},\ U_{y}\right]&=\left[{\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},\ {\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}}\right]\\&&U^{2}&=U_{x}^{2}+U_{y}^{2},\ u^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2},\ \tan \alpha ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}\\&\Rightarrow &U&={\frac {\sqrt {-u^{2}-v^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right){}^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\end{aligned}}}$$

Оказывается, этот результат соответствует гиперболическому закону косинусов — при отождествлении с релятивистскими быстротами уравнения в ( 2 ) принимают вид: ^{[10] [3]}${\displaystyle \left[\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right]}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \left(\left[{\frac {U}{c}},\ {\frac {v}{c}},\ {\frac {u}{c}}\right]=\left[\tanh \xi ,\ \tanh \eta ,\ \tanh \zeta \right]\right)},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\cosh \xi &=\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \\&\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}}}}}&={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {v/c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {u/c}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\cos \alpha \\&\Rightarrow &U&={\frac {\sqrt {-u^{2}-v^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right)^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\end{aligned}}}$$

• Гиперболический закон синусов
• Тригонометрия гиперболического треугольника
• История преобразований Лоренца

• Неевклидова геометрия, Math Wiki в Техническом университете Берлина
• Композиции скоростей и быстрота, на MathPages