Псевдодуга

В общей топологии псевдодуга является простейшим невырожденным наследственно неразложимым континуумом . Псевдодуга является дугообразным однородным континуумом и играет центральную роль в классификации однородных планарных континуумов. Р. Х. Бинг доказал, что в определенном , вполне определенном смысле большинство континуумов в R ⁿ , n ≥ 2, гомеоморфны псевдодуге.

В 1920 году Бронислав Кнастер и Казимеж Куратовский задались вопросом, должен ли невырожденный однородный континуум в евклидовой плоскости R ² быть жордановой кривой . В 1921 году Стефан Мазуркевич задался вопросом, должен ли невырожденный континуум в R ² , гомеоморфный каждому из своих невырожденных подконтинуумов , быть дугой. В 1922 году Кнастер открыл первый пример наследственно неразложимого континуума K , позже названного псевдодугой, дав отрицательный ответ на вопрос Мазуркевича. В 1948 году Р. Х. Бинг доказал, что континуум Кнастера однороден, т. е. для любых двух его точек существует гомеоморфизм, переводящий одну в другую. Однако в 1948 году Эдвин Моисе показал, что континуум Кнастера гомеоморфен каждому из своих невырожденных подконтинуумов. Из-за его сходства с фундаментальным свойством дуги, а именно, гомеоморфностью всем своим невырожденным подконтинуумам, Моисе назвал свой пример M псевдодугой . [ a ^] Конструкция Бинга является модификацией конструкции Моисея M , которую он впервые услышал в описании на лекции. В 1951 году Бинг доказал, что все наследственно неразложимые дугообразные континуумы ​​гомеоморфны — это означает, что K Кнастера, M Моисея и B Бинга все гомеоморфны. Бинг также доказал, что псевдодуга является типичной среди континуумов в евклидовом пространстве размерности не менее 2 или бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве . ^[b] Бинг и Ф. Бертон Джонс построили разложимый плоский континуум, допускающий открытое отображение на окружность, причем каждый точечный прообраз гомеоморфен псевдодуге, называемой окружностью псевдодуг. Бинг и Джонс также показали, что он однороден. В 2016 году Логан Хён и Лекс Оверстейген классифицировали все плоские однородные континуумы ​​с точностью до гомеоморфизма как окружность, псевдодугу и окружность псевдодуг. В 2019 году Хён и Оверстейген показали, что псевдодуга является топологически единственным, кроме дуги, наследственно эквивалентным плоским континуумом, тем самым предоставив полное решение плоского случая проблемы Мазуркевича 1921 года.

Следующая конструкция псевдодуги следует Льюису (1999).

В основе определения псевдодуги лежит понятие цепи , которая определяется следующим образом:

Цепь — это конечный набор открытых множеств в метрическом пространстве, такой что тогда и только тогда, когда Элементы цепи называются ее звеньями , а цепь называется ε-цепью, если каждое из ее звеньев имеет диаметр меньше ε.${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n}\}}$${\displaystyle C_{i}\cap C_{j}\neq \emptyset }$${\displaystyle |ij|\leq 1.}$

Будучи самым простым из перечисленных выше типов пространств, псевдодуга на самом деле очень сложна. Концепция изогнутой цепи ( определенная ниже) — это то, что наделяет псевдодугу ее сложностью. Неформально, она требует, чтобы цепь следовала определенному рекурсивному зигзагообразному шаблону в другой цепи. Чтобы «перейти» от m -го звена большей цепи к n -му, меньшая цепь должна сначала переместиться криволинейно от m -го звена к ( n  − 1)-му звену, затем криволинейно к ( m  + 1)-му звену, а затем, наконец, к n - му звену.

Более формально:

Пусть и будут цепями такими, что${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

1. каждая ссылка является подмножеством ссылки , и${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
2. для любых индексов i , j , m и n с , , и , существуют индексы и с (или ) и и${\displaystyle D_{i}\cap C_{m}\neq \emptyset }$${\displaystyle D_{j}\cap C_{n}\neq \emptyset }$${\displaystyle m<n-2}$${\displaystyle к}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle i<k<\ell <j}$${\displaystyle i>k>\ell >j}$${\displaystyle D_{k}\subseteq C_{n-1}}$${\displaystyle D_{\ell }\subseteq C_{m+1}.}$

Затем криво в​${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Для любого набора множеств C обозначим объединение всех элементов C. То есть, пусть${\displaystyle С^{*}}$

${\displaystyle C^{*}=\bigcup _{S\in C}S.}$

Псевдодуга определяется следующим образом:

Пусть p и q — различные точки на плоскости и последовательность цепей на плоскости такая, что для каждого i ,${\displaystyle \left\{{\mathcal {C}}^{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$

1. первая ссылка содержит p , а последняя ссылка содержит q ,${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$
2. цепь - это -цепь,${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$${\displaystyle 1/2^{я}}$
3. замыкание каждого звена является подмножеством некоторого звена , и${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i+1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$
4. цепь перекошена .${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i+1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$

Позволять

${\displaystyle P=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\left({\mathcal {C}}^{i}\right)^{*}.}$

Тогда P — псевдодуга .