Теория формы (математика)
Теория форм — это раздел топологии , который обеспечивает более глобальный взгляд на топологические пространства, чем гомотопическая теория . Эти две теории совпадают на компактах , гомотопически доминируемых конечными многогранниками . Теория форм ассоциируется с теорией гомологии Чеха , тогда как гомотопическая теория ассоциируется с теорией сингулярной гомологии .
Фон
Теория форм была изобретена и опубликована Д. Э. Кристи в 1944 году; она была переосмыслена, развита и популяризирована польским математиком Каролем Борсуком в 1968 году. На самом деле, название «теория форм» было придумано Борсуком.
Варшавский круг
Борсук жил и работал в Варшаве , отсюда и название одного из основных примеров области, Варшавский круг . [1] Это компактное подмножество плоскости, полученное путем «замыкания» топологической синусоидальной кривой (также называемой Варшавской синусоидальной кривой ) с дугой. Гомотопические группы Варшавского круга все тривиальны , как и группы точки, и поэтому любое отображение между Варшавским кругом и точкой индуцирует слабую гомотопическую эквивалентность . Однако эти два пространства не являются гомотопически эквивалентными . Поэтому по теореме Уайтхеда Варшавский круг не имеет гомотопического типа CW-комплекса .
Историческое развитие
Теория форм Борсука была обобщена на произвольные (неметрические ) компактные пространства и даже на общие категории Влодзимежем Хольштынским в 1968/1969 году и опубликована в Fund. Math. 70 , 157–168, г. 1971 (см. Жан-Марк Кордье, Тим Портер, (1989) ниже). Это было сделано в непрерывном стиле , характерном для гомологии Чеха, представленной Сэмюэлем Эйленбергом и Норманом Стинродом в их монографии «Основы алгебраической топологии» . Из-за обстоятельств [ необходимо разъяснение ] работа Хольштынского была едва замечена, и вместо этого большую популярность в этой области приобрела более поздняя статья Сибе Мардешича и Джека Сигала, Fund. Math. 72 , 61–68, г. 1971. Дальнейшие события отражены в приведенных ниже ссылках и их содержании.
Для некоторых целей, таких как динамические системы , были разработаны более сложные инварианты под названием strong shape . Были найдены обобщения на некоммутативную геометрию , например, теория форм для операторных алгебр .
Смотрите также
Ссылки
- ^ "Польский круг и некоторые его необычные свойства". Math 205B-2012 Lecture Notes, University of California Riverside. Получено 16 ноября 2023 г. См. также прилагаемую диаграмму "Constructions on the Polish Circle"
- Мардешич, Сибе (1997). «Тридцать лет теории форм» ( PDF ) . Математические коммуникации . 2 : 1–12.
- теория формы в n Lab
- Жан-Марк Кордье и Тим Портер, (1989), Теория форм: Категориальные методы аппроксимации, Математика и ее приложения, Эллис Хорвуд . Переиздано Dover (2008)
- Аристид Делеану и Питер Джон Хилтон , О категориальной форме функтора, Fundamenta Mathematicae 97 (1977) 157–176.
- Аристид Деляну и Питер Джон Хилтон , Форма Борсука и категории про-объектов Гротендика, Математические труды Кембриджского философского общества 79 (1976) 473–482.
- Сибе Мардешич и Джек Сигал, Формы компактов и ANR-системы, Fundamenta Mathematicae 72 (1971) 41–59
- Кароль Борсук , О гомотопических свойствах компактов, Fundamenta Mathematicae 62 (1968) 223–254.
- Кароль Борсук , Теория формы, Monografie Matematyczne Tom 59, Варшава, 1975.
- DA Edwards и HM Hastings, Теория Чеха: ее прошлое, настоящее и будущее, Rocky Mountain Journal of Mathematics , том 10, номер 3, лето 1980 г.
- DA Edwards и HM Hastings, (1976), Гомотопические теории Чеха и Стинрода с приложениями к геометрической топологии, Lecture Notes in Mathematics 542, Springer-Verlag .
- Тим Портер, Гомотопия Чеха I, II, Журнал Лондонского математического общества , 1, 6, 1973, стр. 429–436; 2, 6, 1973, стр. 667–675.
- Дж. Т. Лисица и Сибе Мардешич , Когерентная прогомотопия и теория сильных форм, Glasnik Matematicki 19 (39) (1984) 335–399.
- Михаил Батанин, Категорическая теория сильных форм, Cahiers Topologie Géom. Дифференциальная категория. 38 (1997), вып. 1, 3–66, нумдам
- Мариус Дадарлат, Теория форм и асимптотические морфизмы для C*-алгебр, Duke Mathematical Journal , 73(3):687–711, 1994.
- Мариус Дадарлат и Терри А. Лоринг, Деформации топологических пространств, предсказанные E-теорией, в Алгебраических методах в теории операторов, стр. 316–327. Биркхойзер 1994.
