Конструируемое число

В геометрии и алгебре действительное число конструируемо тогда и только тогда, когда, имея отрезок прямой единичной длины, можно построить отрезок прямой длины с помощью циркуля и линейки за конечное число шагов. Эквивалентно, конструируемо тогда и только тогда, когда существует выражение в замкнутой форме для использования только целых чисел и операций сложения, вычитания, умножения, деления и квадратных корней.${\displaystyle r}$${\displaystyle |г|}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

Геометрическое определение конструктивных чисел мотивирует соответствующее определение конструктивных точек , которые снова могут быть описаны либо геометрически, либо алгебраически. Точка конструктивна, если она может быть получена как одна из точек построения циркуля и линейки (конечная точка отрезка линии или точка пересечения двух линий или окружностей), начиная с заданного отрезка единичной длины. Альтернативно и эквивалентно, принимая две конечные точки заданного отрезка за точки (0, 0) и (1, 0) декартовой системы координат , точка конструктивна тогда и только тогда, когда ее декартовы координаты являются конструктивными числами. ^[1] Конструируемые числа и точки также назывались числами линейки и циркуля и точками линейки и циркуля , чтобы отличать их от чисел и точек, которые могут быть построены с использованием других процессов. ^[2]

Множество конструируемых чисел образует поле : применение любой из четырех основных арифметических операций к членам этого множества создает другое конструируемое число. Это поле является расширением поля рациональных чисел и, в свою очередь, содержится в поле алгебраических чисел . ^[3] Это евклидово замыкание рациональных чисел , наименьшее расширение поля рациональных чисел, которое включает квадратные корни всех его положительных чисел. ^[4]

Доказательство эквивалентности алгебраических и геометрических определений конструктивных чисел имеет эффект преобразования геометрических вопросов о построении циркулем и линейкой в ​​алгебру , включая несколько известных задач из древнегреческой математики. Алгебраическая формулировка этих вопросов привела к доказательствам того, что их решения не конструктивны, после того как геометрическая формулировка тех же задач ранее бросила вызов столетиям атак.

Пусть и будут двумя заданными различными точками на евклидовой плоскости , и определите как множество точек, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, начиная с и . Тогда точки из называются конструктивными точками . и , по определению, являются элементами . Чтобы более точно описать оставшиеся элементы , примем следующие два определения: ^[5]${\displaystyle О}$${\displaystyle А}$${\displaystyle S}$${\displaystyle О}$${\displaystyle А}$${\displaystyle S}$${\displaystyle О}$${\displaystyle А}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• отрезок прямой, конечные точки которого находятся в , называется построенным отрезком , а${\displaystyle S}$
• окружность, центр которой находится в и которая проходит через точку (альтернативно, радиус которой равен расстоянию между некоторой парой различных точек ), называется построенной окружностью .${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Тогда точки , кроме и , равны: ^[6]${\displaystyle S}$${\displaystyle О}$${\displaystyle А}$

• пересечение двух непараллельных построенных отрезков или линий, проходящих через построенные отрезки ,
• точки пересечения построенной окружности и построенного сегмента, или линии, проходящей через построенный сегмент, или
• точки пересечения двух различных построенных окружностей.

Например, середина построенного отрезка является конструируемой точкой. Одним из построений для нее является построение двух окружностей с радиусом и прямой через две точки пересечения этих двух окружностей. Тогда середина отрезка является точкой, в которой этот отрезок пересекается построенной прямой. ^[7]${\displaystyle ОА}$${\displaystyle ОА}$${\displaystyle ОА}$

Начальная информация для геометрической формулировки может быть использована для определения декартовой системы координат , в которой точка связана с началом координат, имеющим координаты , и в которой точка связана с координатами . Точки теперь могут быть использованы для связи геометрии и алгебры путем определения конструктивного числа как координаты конструктивной точки. ^[8]${\displaystyle О}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle А}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle S}$

Эквивалентные определения таковы, что конструктивное число является -координатой конструктивной точки ^[9] или длиной конструктивного отрезка прямой. ^[10] В одном направлении этой эквивалентности, если конструктивная точка имеет координаты , то точка может быть построена как ее перпендикулярная проекция на -ось, а отрезок от начала координат до этой точки имеет длину . В обратном направлении, если - длина конструктивного отрезка прямой, то пересечение -оси окружностью с центром в с радиусом дает точку . Из этой эквивалентности следует, что каждая точка, декартовы координаты которой являются геометрически конструктивными числами, сама является геометрически конструктивной точкой. Ибо, когда и являются геометрически конструктивными числами, точка может быть построена как пересечение прямых, проходящих через и , перпендикулярных осям координат. ^[11]${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,0)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x,0)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle О}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,0)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x,0)}$${\displaystyle (0,y)}$

Алгебраически конструируемые действительные числа — это подмножество действительных чисел , которые можно описать формулами, объединяющими целые числа с использованием операций сложения, вычитания, умножения, мультипликативной обратной функции и квадратных корней положительных чисел. Еще проще, за счет увеличения длины этих формул целые числа в этих формулах можно ограничить только 0 и 1. ^[12] Например, квадратный корень из 2 конструируем, потому что его можно описать формулами или .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {1+1}}}$

Аналогично, алгебраически конструируемые комплексные числа являются подмножеством комплексных чисел, которые имеют формулы того же типа, используя более общую версию квадратного корня, которая не ограничивается положительными числами, но может вместо этого принимать произвольные комплексные числа в качестве своего аргумента и производить главный квадратный корень своего аргумента. Альтернативно, та же система комплексных чисел может быть определена как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются конструируемыми действительными числами. ^[13] Например, комплексное число имеет формулы или , а его действительная и мнимая части являются конструируемыми числами 0 и 1 соответственно.${\displaystyle я}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle {\sqrt {0-1}}}$

Эти два определения конструируемых комплексных чисел эквивалентны. ^[14] В одном направлении, если — комплексное число, действительная часть и мнимая часть которого являются конструируемыми действительными числами, то замена и их формулами внутри большей формулы дает формулу для как комплексного числа. В другом направлении, любая формула для алгебраически конструируемого комплексного числа может быть преобразована в формулы для его действительной и мнимой частей, рекурсивно расширяя каждую операцию в формуле в операции над действительной и мнимой частями ее аргументов, используя расширения ^[15]${\displaystyle q=x+iy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x+y{\sqrt {-1}}}$${\displaystyle д}$

• ${\displaystyle (a+ib)\pm (c+id)=(a\pm c)+i(b\pm d)}$
• ${\displaystyle (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{a+ib}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {a+ib}}={\frac {(a+r){\sqrt {r}}}{s}}+i{\frac {b{\sqrt {r}}}{s}}}$, где и .${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}{}_{\!}}}}$${\displaystyle s={\sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}}$

Алгебраически конструктивные точки могут быть определены как точки, две действительные декартовы координаты которых являются алгебраически конструктивными действительными числами. В качестве альтернативы, они могут быть определены как точки на комплексной плоскости, заданные алгебраически конструктивными комплексными числами. В силу эквивалентности двух определений для алгебраически конструктивных комплексных чисел, эти два определения алгебраически конструктивных точек также эквивалентны. ^[14]

Если и являются ненулевыми длинами геометрически построенных сегментов, то элементарные построения циркулем и линейкой могут быть использованы для получения построенных сегментов длин , , , и . Последние два могут быть выполнены с помощью построения, основанного на теореме о перехвате . Немного менее элементарное построение с использованием этих инструментов основано на теореме о среднем геометрическом и построит сегмент длины из построенного сегмента длины . Из этого следует, что каждое алгебраически конструируемое число является геометрически конструируемым, используя эти методы для перевода формулы для числа в построение для числа. ^[16]${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle а+б}$${\displaystyle |ab|}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle а/б}$${\displaystyle {\sqrt {a}}}$${\displaystyle а}$

В другом направлении набор геометрических объектов может быть определен алгебраически конструируемыми действительными числами: координатами для точек, наклоном и -отрезком для линий, центром и радиусом для окружностей. Возможно (но утомительно) разработать формулы в терминах этих значений, используя только арифметические и квадратные корни, для каждого дополнительного объекта, который может быть добавлен за один шаг построения циркулем и линейкой. Из этих формул следует, что каждое геометрически конструируемое число является алгебраически конструируемым. ^[17]${\displaystyle y}$

Определение алгебраически конструктивных чисел включает сумму, разность, произведение и мультипликативную обратную любого из этих чисел, те же операции, которые определяют поле в абстрактной алгебре . Таким образом, конструктивные числа (определенные любым из вышеперечисленных способов) образуют поле. Более конкретно, конструктивные действительные числа образуют евклидово поле , упорядоченное поле, содержащее квадратный корень каждого из своих положительных элементов. ^[18] Изучение свойств этого поля и его подполей приводит к необходимым условиям на число, чтобы быть конструктивным, которые можно использовать для того, чтобы показать, что конкретные числа, возникающие в классических геометрических задачах построения, не являются конструктивными.

Удобно рассматривать вместо всего поля конструктивных чисел подполе , порожденное любым заданным конструктивным числом , и использовать алгебраическую конструкцию для разложения этого поля. Если — конструктивное действительное число, то значения, встречающиеся в формуле, его конструирующей, можно использовать для получения конечной последовательности действительных чисел, такой что для каждого — расширение степени 2. ^[19] Используя немного другую терминологию, действительное число конструктивно тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни действительных квадратичных расширений , начиная с рационального поля , где находится в и для всех , . ^[20] Из этого разложения следует, что степень расширения поля равна , где подсчитывает количество шагов квадратичного расширения. ^[21]${\displaystyle \mathbb {Q} (\гамма)}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \альфа _{1},\точки,\альфа _{n}=\гамма}$${\displaystyle я}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\альфа _{1},\точки,\альфа _{i})}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\альфа _{1},\точки,\альфа _{i-1})}$$${\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n},}$$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle 0<j\leq n}$${\displaystyle [K_{j}:K_{j-1}]=2}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$${\displaystyle 2^{r}}$${\displaystyle r}$

Аналогично действительному случаю, комплексное число конструируемо тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни комплексных квадратичных расширений. ^[22] Точнее, конструируемо тогда и только тогда, когда существует башня полей , где находится в , и для всех , . Разница между этой характеристикой и характеристикой действительных конструируемых чисел заключается только в том, что поля в этой башне не ограничены быть действительными. Следовательно, если комплексное число комплексное число конструируемо, то из вышеприведенной характеристики следует, что является степенью двойки. Однако этого условия недостаточно — существуют расширения полей, степень которых является степенью двойки, но которые не могут быть разложены на множители в последовательность квадратичных расширений. ^[23]${\displaystyle \гамма}$$${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},}$$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle 0<j\leq n}$${\displaystyle [F_{j}:F_{j-1}]=2}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$

Чтобы получить достаточное условие конструктивности, вместо этого нужно рассмотреть поле расщепления , полученное присоединением всех корней минимального многочлена . Если степень этого расширения является степенью двойки, то его группа Галуа является 2-группой и, таким образом, допускает убывающую последовательность подгрупп с для Согласно фундаментальной теореме теории Галуа существует соответствующая башня квадратичных расширений , верхнее поле которой содержит , и из этого следует, что является конструктивным.${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\gamma,\gamma ',\gamma '',\dots)}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle G=\mathrm {Гал} (K/\mathbb {Q})}$$${\displaystyle G=G_{n}\supseteq G_{n-1}\supseteq \cdots \supseteq G_{0}=1,}$$${\displaystyle |G_{k}|=2^{k}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n.}$$${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n}=K,}$$${\displaystyle \гамма,}$${\displaystyle \гамма}$

Поля, которые могут быть получены из башен квадратичных расширений , называются итерированными квадратичными расширениями . Поля действительных и комплексных конструктивных чисел являются объединениями всех действительных или комплексных итерированных квадратичных расширений . ^[24]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Тригонометрические числа — это косинусы или синусы углов, которые являются рациональными кратными . Эти числа всегда алгебраические, но они могут быть неконструируемыми. Косинус или синус угла конструируемы только для некоторых специальных чисел : ^[25]${\displaystyle \пи}$${\displaystyle 2\пи /n}$${\displaystyle n}$

• Силы двух
• Простые числа Ферма , простые числа, которые равны единице плюс степень двойки.
• Произведения степеней двойки и любого количества различных простых чисел Ферма.

Так, например, конструируемо, поскольку 15 является произведением простых чисел Ферма 3 и 5; но не конструируемо (не являясь произведением различных простых чисел Ферма) и не является (не являясь простым числом Ферма).${\displaystyle \cos(\пи /15)}$${\displaystyle \cos(\пи /9)}$${\displaystyle \cos(\пи /7)}$

Древние греки считали, что некоторые проблемы построения с помощью циркуля и линейки, которые они не могли решить, были просто упрямыми, а не неразрешимыми. ^[26] Однако невозможность построения некоторых чисел доказывает, что эти построения логически невозможны для выполнения. ^[27] (Однако сами проблемы решаемы с помощью методов, выходящих за рамки работы только с помощью циркуля и линейки, и греки знали, как решать их таким образом. Одним из таких примеров является решение Архимеда с помощью построения Нейзиса задачи трисекции угла .) ^[28]

В частности, алгебраическая формулировка конструктивных чисел приводит к доказательству невозможности следующих конструктивных задач:

Удвоение куба

Задача удвоения единичного квадрата решается построением другого квадрата на диагонали первого с длиной стороны и площадью . Аналогично, задача удвоения куба требует построения длины стороны куба с объемом . Она не может быть построена, потому что минимальный многочлен этой длины, , имеет степень 3 над . ^[29] Как кубический многочлен, единственный действительный корень которого иррационален, этот многочлен должен быть неприводимым, потому что если бы он имел квадратичный действительный корень, то квадратичное сопряжение дало бы второй действительный корень. ^[30]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle x^{3}-2}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Трисекция угла

В этой задаче из заданного угла следует построить угол . Алгебраически углы можно представить их тригонометрическими функциями , такими как их синусы или косинусы , которые дают декартовы координаты конечной точки отрезка прямой, образующего заданный угол с начальным отрезком. Таким образом, угол является конструируемым, когда является конструируемым числом, и задача трисекции угла может быть сформулирована как задача построения . Например, угол равностороннего треугольника можно построить с помощью циркуля и линейки, с . Однако его трисекция не может быть построена, так как имеет минимальный многочлен степени 3 над . Поскольку этот конкретный пример задачи трисекции не может быть решен с помощью циркуля и линейки, общая задача также не может быть решена. ^[31]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta /3}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x=\cos \theta }$${\displaystyle \cos({\tfrac {1}{3}}\arccos x)}$${\displaystyle \theta =\pi /3=60^{\circ }}$${\displaystyle x=\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \theta /3=\pi /9=20^{\circ }}$${\displaystyle \cos \pi /9}$${\displaystyle 8x^{3}-6x-1}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Квадратура круга

Квадрат с площадью , такой же площади, как единичный круг , имел бы длину стороны , трансцендентное число . Следовательно, этот квадрат и длина его стороны не могут быть построены, потому что он не является алгебраическим над . ^[32]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Правильные многоугольники

Если построить правильный -угольник с центром в начале координат, то углы между отрезками от центра до последовательных вершин равны . Многоугольник можно построить только тогда, когда косинус этого угла является тригонометрическим числом. Так, например, 15-угольник можно построить, но правильный семиугольник нельзя построить, потому что 7 — простое число, но не простое число Ферма. ^[33] Для более прямого доказательства его неконструктивности представьте вершины правильного семиугольника как комплексные корни многочлена . Удаление множителя , деление на и подстановка дает более простой многочлен , неприводимый кубический с тремя действительными корнями, каждый из которых в два раза больше действительной части вершины с комплексным числом. Его корни нельзя построить, поэтому семиугольник тоже нельзя построить. ^[34]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2\pi /n}$${\displaystyle x^{7}-1}$${\displaystyle x-1}$${\displaystyle x^{3}}$${\displaystyle y=x+1/x}$${\displaystyle y^{3}+y^{2}-2y-1}$

Проблема Альхазена

Если даны две точки и круглое зеркало, где на окружности одна из данных точек видит отраженное изображение другой? Геометрически, линии из каждой данной точки в точку отражения пересекают окружность под равными углами и по хордам равной длины. Однако невозможно построить точку отражения с помощью циркуля и линейки. В частности, для единичной окружности с двумя точками и внутри нее решение имеет координаты, образующие корни неприводимого многочлена четвертой степени . Хотя его степень является степенью двойки, поле расщепления этого многочлена имеет степень, делящуюся на три, поэтому оно не получается из итерированного квадратичного расширения, и проблема Альхазена не имеет решения с помощью циркуля и линейки. ^[35]${\displaystyle ({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$${\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1}$

Рождение концепции конструктивных чисел неразрывно связано с историей трех невозможных построений с помощью циркуля и линейки: удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Ограничение использования только циркуля и линейки в геометрических построениях часто приписывается Платону из -за отрывка у Плутарха . Согласно Плутарху, Платон дал дубликат кубической (Делосской) задачи Евдоксу , Архиту и Менехму , которые решили задачу с помощью механических средств, заслужив упрек от Платона за то, что не решили задачу с помощью чистой геометрии . ^[36] Однако эта атрибуция оспаривается, ^[37] отчасти из-за существования другой версии истории (приписываемой Эратосфену Евтокием из Аскалона ), в которой говорится, что все трое нашли решения, но они были слишком абстрактными, чтобы иметь практическую ценность. ^[38] Прокл , ссылаясь на Эвдема Родосского , приписал Энопиду ( ок. 450 г. до н. э.) два построения с помощью линейки и циркуля, что привело некоторых авторов к гипотезе, что Энопид создал это ограничение. ^[39] Ограничение на циркуль и линейку имеет важное значение для невозможности решения классических задач по построению. Например, трисекция угла может быть выполнена многими способами, некоторые из которых были известны древним грекам. Квадратриса Гиппия из Элиды , конические сечения Менехма или построение с помощью отмеченной линейки ( невзис ) Архимеда — все это использовалось, как и более современный подход с помощью складывания бумаги . ^[40]

Хотя это и не одна из трех классических задач на построение, проблема построения правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля часто рассматривается вместе с ними. Греки знали, как строить правильные -угольники с помощью (для любого целого числа ), 3, 5 или произведения любых двух или трех из этих чисел, но другие правильные -угольники ускользали от них. В 1796 году Карл Фридрих Гаусс , тогда восемнадцатилетний студент, объявил в газете, что он построил правильный 17-угольник с помощью линейки и циркуля. ^[41] Трактовка Гаусса была алгебраической, а не геометрической; на самом деле он не построил многоугольник, а показал, что косинус центрального угла является конструктивным числом. Аргумент был обобщен в его книге 1801 года Disquisitiones Arithmeticae, дающей достаточное условие для построения правильного -угольника. Гаусс утверждал, но не доказал, что это условие также необходимо, и несколько авторов, в частности Феликс Клейн , ^[42] также приписывали ему эту часть доказательства. ^[43] Задача Альхазена также не входит в число трех классических задач, но, несмотря на то, что она названа в честь Ибн аль-Хайсама (Альхазена), средневекового исламского математика , она уже появляется в работе Птолемея по оптике со второго века. ^[21]${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2^{h}}$${\displaystyle h\geq 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Пьер Ванцель алгебраически доказал, что задачи удвоения куба и трисекции угла невозможно решить, используя только циркуль и линейку. В той же работе он также решил задачу определения того, какие правильные многоугольники можно построить: правильный многоугольник можно построить тогда и только тогда, когда число его сторон является произведением степени двойки и любого числа различных простых чисел Ферма (т. е. достаточные условия, данные Гауссом, также необходимы). ^[44] Попытка доказательства невозможности квадратуры круга была дана Джеймсом Грегори в Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Истинная квадратура круга и гиперболы) в 1667 году. Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая работа, в которой была предпринята попытка решить задачу, используя алгебраические свойства π . Только в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал невозможность этого, расширив работу Шарля Эрмита и доказав, что π является трансцендентным числом . ^{[45] [46]} Невозможность решения задачи Альхазена с помощью циркуля и линейки была доказана только после работы Джека Элкина. ^[47]

Изучение конструктивных чисел, как таковое, было начато Рене Декартом в «Геометрии» , приложении к его книге «Рассуждение о методе», опубликованной в 1637 году. Декарт связал числа с геометрическими отрезками, чтобы продемонстрировать силу своего философского метода, решив древнюю задачу о построении с помощью линейки и циркуля, поставленную Паппусом . ^[48]

• Вычислимое число
• Определимое действительное число

На Викискладе есть медиафайлы по теме Конструктивные числа .

• Вайсштейн, Эрик В. , «Конструируемое число», MathWorld
• Конструируемые числа в Cut-the-knot