Конгруэнтность (многообразия)

В теории гладких многообразий конгруэнция — это множество интегральных кривых, определяемых ненулевым векторным полем, заданным на многообразии.

Конгруэнтность является важным понятием в общей теории относительности , а также играет важную роль в некоторых частях римановой геометрии .

Идею конгруэнции, вероятно, лучше объяснить на примере, чем на определении. Рассмотрим гладкое многообразие R ². Векторные поля могут быть заданы как линейные частные дифференциальные операторы первого порядка , например

${\displaystyle {\vec {X}}=(x^{2}-y^{2})\,\partial _{x}+2\,xy\,\partial _{y}}$

Они соответствуют системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , в данном случае

${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2}-y^{2},\;{\dot {y}}=2\,xy}$

где точка обозначает производную по некоторому (фиктивному) параметру. Решения таких систем представляют собой семейства параметризованных кривых , в данном случае

${\displaystyle x(\lambda )={\frac {x_{0}-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda }{1-2\,x_{0}\,\lambda +(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda ^{2}}}}$

${\displaystyle y(\lambda )={\frac {y_{0}}{1-2\,x_{0}\,\lambda +(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda ^{2}}}}$

Это семейство часто называют конгруэнтностью кривых или просто конгруэнтностью для краткости.

Этот конкретный пример имеет две особенности , где векторное поле обращается в нуль. Это неподвижные точки потока . (Поток — это одномерная группа диффеоморфизмов ; поток определяет действие одномерной группы Ли R , имеющей локально хорошие геометрические свойства.) Эти две особенности соответствуют двум точкам , а не двум кривым. В этом примере все другие интегральные кривые — это простые замкнутые кривые . Многие потоки значительно сложнее этого. Чтобы избежать осложнений, возникающих из-за наличия особенностей, обычно требуется, чтобы векторное поле было неисчезающим .

Если мы добавим больше математической структуры, наша конгруэнтность может приобрести новое значение.

Например, если мы превратим наше гладкое многообразие в риманово многообразие, добавив риманов метрический тензор , скажем, тот, который определяется линейным элементом

${\displaystyle ds^{2}=\left({\frac {2}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}$

наша конгруэнтность может стать геодезической конгруэнтностью . Действительно, в примере из предыдущего раздела наши кривые становятся геодезическими на обычной круглой сфере (с вырезанным Северным полюсом). Если бы мы добавили вместо этого стандартную евклидову метрику, наши кривые стали бы окружностями , но не геодезическими.${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$

Интересным примером римановой геодезической конгруэнции, связанной с нашим первым примером, является конгруэнция Клиффорда на P³, которая также известна как расслоение Хопфа или расслоение Хопфа . Интегральные кривые или волокна соответственно являются определенными попарно связанными большими окружностями, орбитами в пространстве кватернионов единичной нормы при левом умножении на заданный единичный кватернион единичной нормы.

В лоренцевом многообразии , таком как модель пространства-времени в общей теории относительности (которая обычно является точным или приближенным решением уравнения поля Эйнштейна ), конгруэнции называются времениподобными , нулевыми или пространственноподобными , если касательные векторы везде времениподобны, нулевыми или пространственноподобны соответственно. Конгруэнция называется геодезической конгруэнцией , если поле касательного вектора имеет исчезающую ковариантную производную , .${\displaystyle {\vec {X}}}$${\displaystyle \nabla _ {\vec {X}}{\vec {X}}=0}$

• Конгруэнтность (общая теория относительности)

• Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-95448-1. Учебник по теории многообразий. См. также учебники того же автора по топологическим многообразиям (низший уровень структуры) и римановой геометрии (высший уровень структуры).