Дирижер абелева многообразия

В математике , в диофантовой геометрии , проводник абелева многообразия, определенного над локальным или глобальным полем F, является мерой того, насколько «плоха» плохая редукция в некотором простом числе. Она связана с ветвлением в поле, порожденном точками кручения .

Для абелева многообразия A, определенного над полем F , как указано выше, с кольцом целых чисел R , рассмотрим модель Нерона для A , которая является «наилучшей возможной» моделью для A, определенной над R. Эту модель можно представить в виде схемы над

Спец( Р )

(ср. спектр кольца ), для которого общее волокно построено с помощью морфизма

Спец( F ) → Спец( R )

возвращает A . Пусть A ⁰ обозначает схему открытых подгрупп модели Нерона, чьи слои являются связными компонентами. Для максимального идеала P в R с полем вычетов k , A ⁰ _k является групповым многообразием над k , следовательно, расширением абелева многообразия с помощью линейной группы. Эта линейная группа является расширением тора с помощью унипотентной группы . Пусть u _P — размерность унипотентной группы, а t _P — размерность тора. Порядок проводника в точке P равен

${\displaystyle f_{P}=2u_{P}+t_{P}+\delta _{P},\,}$

где — мера дикого ветвления. Когда F — числовое поле, идеал проводника A задается как ${\displaystyle \delta _{P}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle f=\prod _{P}P^{f_{P}}.}$

• A имеет хорошую редукцию в P тогда и только тогда, когда (что подразумевает ).${\displaystyle u_{P}=t_{P}=0}$${\displaystyle f_{P}=\delta _{P}=0}$
• A имеет полустабильную редукцию тогда и только тогда, когда (тогда снова ).${\displaystyle u_{P}=0}$${\displaystyle \delta _{P}=0}$
• Если A приобретает полустабильную редукцию над расширением Галуа F степени, простой с p , характеристикой вычета в точке P , то δ _P = 0.
• Если , где d — размерность A , то .${\displaystyle p>2d+1}$${\displaystyle \delta _{P}=0}$
• Если и F является конечным расширением степени ветвления , то существует верхняя граница, выраженная через функцию , которая определяется следующим образом:${\displaystyle p\leq 2d+1}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle e(F/\mathbb {Q} _{p})}$${\displaystyle L_{p}(n)}$

Напишите с и установите . Затем ^[1]${\displaystyle n=\sum _{k\geq 0}c_{k}p^{k}}$${\displaystyle 0\leq c_{k}<p}$${\displaystyle L_{p}(n)=\sum _{k\geq 0}kc_{k}p^{k}}$

${\displaystyle (*)\qquad f_{P}\leq 2d+e(F/\mathbb {Q} _{p})\left(p\left\lfloor {\frac {2d}{p-1}}\right\rfloor +(p-1)L_{p}\left(\left\lfloor {\frac {2d}{p-1}}\right\rfloor \right)\right).}$

Далее, для каждого с существует поле с и абелево многообразие размерности, так что имеет место равенство.${\displaystyle д,п,е}$${\displaystyle p\leq 2d+1}$${\displaystyle F/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle e(F/\mathbb {Q} _{p})=e}$${\displaystyle А/Ф}$${\displaystyle д}$${\стиль_дисплея (*)}$