Условное ожидание

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Сентябрь 2020 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теории вероятностей условное ожидание , условное ожидаемое значение или условное среднее случайной величины — это ее ожидаемое значение, оцененное относительно условного распределения вероятностей . Если случайная величина может принимать только конечное число значений, «условия» заключаются в том, что переменная может принимать только подмножество этих значений. Более формально, в случае, когда случайная величина определена над дискретным вероятностным пространством , «условия» являются разбиением этого вероятностного пространства.

В зависимости от контекста, условное ожидание может быть как случайной величиной, так и функцией. Случайная величина обозначается аналогично условной вероятности . Форма функции обозначается либо , либо вводится отдельный символ функции, такой как со значением .${\displaystyle E(X\середина Y)}$${\displaystyle E(X\mid Y=y)}$${\displaystyle f(y)}$${\displaystyle E(X\mid Y)=f(Y)}$

Рассмотрим бросок честной кости и пусть A = 1, если число четное (т. е. 2, 4 или 6), и A = 0 в противном случае. Кроме того, пусть B = 1, если число простое (т. е. 2, 3 или 5), и B = 0 в противном случае.

Безусловное ожидание A равно , но ожидание A, обусловленное B = 1 (т. е. обусловленное выпадением кубика 2, 3 или 5), равно , а ожидание A, обусловленное B = 0 (т. е. обусловленное выпадением кубика 1, 4 или 6), равно . Аналогично, ожидание B, обусловленное A = 1, равно , а ожидание B, обусловленное A = 0, равно .${\displaystyle E[A]=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2}$${\displaystyle E[A\mid B=1]=(1+0+0)/3=1/3}$${\displaystyle E[A\mid B=0]=(0+1+1)/3=2/3}$${\displaystyle E[B\mid A=1]=(1+0+0)/3=1/3}$${\displaystyle E[B\mid A=0]=(0+1+1)/3=2/3}$

Предположим, у нас есть данные о ежедневных осадках (мм осадков в день), собранные метеостанцией за каждый день десятилетнего (3652-дневного) периода с 1 января 1990 года по 31 декабря 1999 года. Безусловное ожидание осадков для неуказанного дня — это среднее значение количества осадков за эти 3652 дня. Условное ожидание осадков для неуказанного дня, который, как известно, находится (при условии, что находится) в месяце марте, — это среднее значение суточного количества осадков за все 310 дней десятилетнего периода, которые приходятся на март. А условное ожидание осадков, обусловленное днями, датированными 2 марта, — это среднее значение количества осадков, выпавших за десять дней с этой конкретной датой.

Связанная с этим концепция условной вероятности восходит как минимум к Лапласу , который вычислял условные распределения. Именно Андрей Колмогоров в 1933 году формализовал ее с помощью теоремы Радона–Никодима . ^[1] В работах Пола Халмоша ^[2] и Джозефа Л. Дуба ^[3] с 1953 года условное ожидание было обобщено до его современного определения с использованием под-σ-алгебр . ^[4]

Если A — событие с ненулевой вероятностью, а X — дискретная случайная величина , то условное ожидание X при условии A равно${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid A)&=\sum _{x}xP(X=x\mid A)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(\{X=x\}\cap A)}{P(A)}}\end{aligned}}}$

где сумма берется по всем возможным результатам X.

Если , то условное математическое ожидание не определено из-за деления на ноль.${\displaystyle P(A)=0}$

Если X и Y — дискретные случайные величины , то условное ожидание X при условии Y равно

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\sum _{x}xP(X=x\mid Y=y)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}\end{aligned}}}$

где — совместная функция вероятностной массы X и Y. Сумма берется по всем возможным исходам X.${\displaystyle P(X=x,Y=y)}$

Заметим, что, как и выше, выражение не определено, если .${\displaystyle P(Y=y)=0}$

Обусловливание дискретной случайной величины такое же, как и обусловливание соответствующего события:

${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)=\operatorname {E} (X\mid A)}$

где A — множество .${\displaystyle \{Y=y\}}$

Пусть и — непрерывные случайные величины с совместной плотностью и условной плотностью для данного события. Условное ожидание для данного события равно${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{X,Y}(x,y),}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{Y}(y),}$${\displaystyle \textstyle f_{X|Y}(x|y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X|Y}(x\mid y)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{f_{Y}(y)}}\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$

Если знаменатель равен нулю, выражение не определено.

Обусловливание непрерывной случайной величины — это не то же самое, что обусловливание события , как это было в дискретном случае. Для обсуждения см. Обусловливание события с нулевой вероятностью . Несоблюдение этого различия может привести к противоречивым выводам, как показано парадоксом Бореля-Колмогорова .${\displaystyle \{Y=y\}}$

Все случайные величины в этом разделе предполагаются , то есть квадратично интегрируемыми . В своей полной общности условное ожидание разрабатывается без этого предположения, см. ниже в разделе Условное ожидание относительно под-σ-алгебры. Однако теория считается более интуитивной ^[5] и допускает важные обобщения. В контексте случайных величин условное ожидание также называется регрессией .${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

В дальнейшем пусть будет вероятностным пространством, а в со средним и дисперсией . Ожидание минимизирует среднеквадратичную ошибку :${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$${\displaystyle \mu _{X}}$

${\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\operatorname {E} \left((X-x)^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-\mu _{X})^{2}\right)=\sigma _{X}^{2}}$.

Условное ожидание X определяется аналогично, за исключением того , что вместо одного числа результатом будет функция . Пусть будет случайным вектором . Условное ожидание — это измеримая функция, такая что${\displaystyle \mu _{X}}$${\displaystyle e_{X}(y)}$${\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle e_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \min _{g{\text{ measurable }}}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-e_{X}(Y))^{2}\right)}$.

Обратите внимание, что в отличие от , условное ожидание , как правило, не является уникальным: может быть несколько минимизаторов среднеквадратической ошибки.${\displaystyle \mu _{X}}$${\displaystyle e_{X}}$

Пример 1 : Рассмотрим случай, когда Y — постоянная случайная величина, которая всегда равна 1. Тогда среднеквадратическая ошибка минимизируется любой функцией вида

${\displaystyle e_{X}(y)={\begin{cases}\mu _{X}&{\text{ if }}y=1\\{\text{any number}}&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$

Пример 2 : Рассмотрим случай, когда Y — двумерный случайный вектор . Тогда ясно, что${\displaystyle (X,2X)}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)=X}$

но в терминах функций это может быть выражено как или или бесконечно многими другими способами. В контексте линейной регрессии это отсутствие уникальности называется мультиколлинеарностью .${\displaystyle e_{X}(y_{1},y_{2})=3y_{1}-y_{2}}$${\displaystyle e'_{X}(y_{1},y_{2})=y_{2}-y_{1}}$

Условное ожидание уникально вплоть до набора меры ноль в . Используемая мера — это проталкиваемая мера, индуцированная Y .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В первом примере мера прямого продвижения представляет собой распределение Дирака с шагом 1. Во втором примере она сосредоточена на «диагонали» , так что любое множество, не пересекающее ее, имеет меру 0.${\displaystyle \{y:y_{2}=2y_{1}\}}$

Существование минимизатора для нетривиально. Можно показать, что${\displaystyle \min _{g}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)}$

${\displaystyle M:=\{g(Y):g{\text{ is measurable and }}\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}=L^{2}(\Omega ,\sigma (Y))}$

является замкнутым подпространством гильбертова пространства . ^[6] По теореме о проекции Гильберта , необходимым и достаточным условием для того, чтобы быть минимизатором, является то, что для всех в M мы имеем${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle e_{X}}$${\displaystyle f(Y)}$

${\displaystyle \langle X-e_{X}(Y),f(Y)\rangle =0}$.

На словах это уравнение говорит, что остаток ортогонален пространству M всех функций Y. Это условие ортогональности, примененное к индикаторным функциям , используется ниже для расширения условного ожидания на случай, когда X и Y не обязательно находятся в .${\displaystyle X-e_{X}(Y)}$ ${\displaystyle f(Y)=1_{Y\in H}}$${\displaystyle L^{2}}$

Условное ожидание часто аппроксимируется в прикладной математике и статистике из-за трудностей его аналитического расчета, а также для интерполяции. ^[7]

Подпространство Гильберта

${\displaystyle M=\{g(Y):\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}}$

Определенный выше, заменяется его подмножествами, ограничивая функциональную форму g , вместо того, чтобы допускать любую измеримую функцию. Примерами этого являются регрессия дерева решений , когда g должна быть простой функцией , линейная регрессия , когда g должна быть аффинной и т. д.

Эти обобщения условного ожидания достигаются ценой того, что многие его свойства больше не выполняются. Например, пусть M будет пространством всех линейных функций Y и пусть обозначает это обобщенное условное ожидание/ проекцию. Если не содержит константных функций , свойство башни не будет выполняться.${\displaystyle {\mathcal {E}}_{M}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {E} ({\mathcal {E}}_{M}(X))=\operatorname {E} (X)}$

Важный частный случай — когда X и Y распределены совместно нормально. В этом случае можно показать, что условное ожидание эквивалентно линейной регрессии:

${\displaystyle e_{X}(Y)=\alpha _{0}+\sum _{i}\alpha _{i}Y_{i}}$

для коэффициентов, описанных в разделе Многомерное нормальное распределение#Условные распределения .${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=0..n}}$

Примите во внимание следующее:

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$является вероятностным пространством .
• ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$является случайной величиной в этом вероятностном пространстве с конечным математическим ожиданием.
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {F}}}$является под -σ- алгеброй .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Так как является подалгеброй , то функция обычно не является измеримой, поэтому существование интегралов вида , где и является ограничением на , не может быть установлено в общем случае. Однако локальные средние могут быть восстановлены в с помощью условного ожидания. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\textstyle \int _{H}X\,dP|_{\mathcal {H}}}$${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle P|_{\mathcal {H}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\textstyle \int _{H}X\,dP}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {H}},P|_{\mathcal {H}})}$

Условное ожидание X при заданном значении , обозначаемое как , представляет собой любую измеримую функцию , которая удовлетворяет:${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P}$

для каждого . ^[8]${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$

Как отмечено в обсуждении, это условие эквивалентно утверждению, что остаток ортогонален индикаторным функциям :${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle 1_{H}}$

${\displaystyle \langle X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}),1_{H}\rangle =0}$

Существование можно установить, заметив, что для — конечная мера на , которая абсолютно непрерывна относительно . Если — естественная инъекция из в , то — ограничение на и — ограничение на . Кроме того, — абсолютно непрерывна относительно , ​​поскольку условие${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$${\textstyle \mu ^{X}\colon F\mapsto \int _{F}X\,\mathrm {d} P}$${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu ^{X}\circ h=\mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mu ^{X}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle P\circ h=P|_{\mathcal {H}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mu ^{X}\circ h}$${\displaystyle P\circ h}$

${\displaystyle P\circ h(H)=0\iff P(h(H))=0}$

подразумевает

${\displaystyle \mu ^{X}(h(H))=0\iff \mu ^{X}\circ h(H)=0.}$

Таким образом, мы имеем

${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})={\frac {\mathrm {d} \mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} P|_{\mathcal {H}}}}={\frac {\mathrm {d} (\mu ^{X}\circ h)}{\mathrm {d} (P\circ h)}},}$

где производные являются производными мер Радона–Никодима .

Рассмотрим, в дополнение к вышесказанному,

• Измеримое пространство , и${\displaystyle (U,\Sigma )}$
• Случайная величина .${\displaystyle Y\colon \Omega \to U}$

Условное ожидание X при условии Y определяется путем применения приведенной выше конструкции к σ-алгебре, порожденной Y :

${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]}$.

По лемме Дуба-Дынкина существует функция такая, что${\displaystyle e_{X}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]=e_{X}(Y)}$.

• Это не конструктивное определение; нам просто дано требуемое свойство, которому должно удовлетворять условное ожидание.
  • Определение может напоминать определение для события, но это очень разные объекты. Первое — это измеримая функция , а второе — элемент и для .${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid H)\ P(H)=\int _{H}X\,\mathrm {d} P=\int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P}$${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$
  • Можно показать, что уникальность почти наверняка : то есть версии одного и того же условного ожидания будут отличаться только на наборе с нулевой вероятностью .
• σ-алгебра контролирует «зернистость» кондиционирования. Условное ожидание по более тонкой (большей) σ-алгебре сохраняет информацию о вероятностях большего класса событий. Условное ожидание по более грубой (меньшей) σ-алгебре усредняет по большему количеству событий.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Для борелевского подмножества B в можно рассмотреть совокупность случайных величин${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,B):=\operatorname {E} (1_{X\in B}|{\mathcal {H}})(\omega )}$.

Можно показать, что они образуют марковское ядро , то есть, для почти всех , является вероятностной мерой. ^[9]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,-)}$

Закон бессознательного статистика тогда таков:

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)|{\mathcal {H}}]=\int f(x)\kappa _{\mathcal {H}}(-,\mathrm {d} x)}$.

Это показывает, что условные ожидания, как и их безусловные аналоги, являются интеграциями по отношению к условной мере.

В общем, рассмотрим:

• Вероятностное пространство .${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$
• Банахово пространство .${\displaystyle (E,\|\cdot \|_{E})}$
• Случайная величина, интегрируемая по Бохнеру .${\displaystyle X:\Omega \to E}$
• Под-σ-алгебра .${\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {A}}}$

Условное ожидание заданного является уникальной и интегрируемой измеримой случайной величиной с точностью до -nullset , удовлетворяющей условию${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P}$

для всех . ^{[10] [11]}${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$

В этом случае условное ожидание иногда также обозначается в операторной нотации как .${\displaystyle \operatorname {E} ^{\mathcal {H}}X}$

Все следующие формулы следует понимать в почти верном смысле. σ-алгебру можно заменить случайной величиной , т.е. .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sigma (Z)}$

• Выделим независимые факторы:
  • Если не зависит от , то .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})=E(X)}$

• • Если не зависит от , то . Обратите внимание, что это не обязательно так, если не зависит только от и от .${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (Y,{\mathcal {H}})}$${\displaystyle E(XY\mid {\mathcal {H}})=E(X)\,E(Y\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle Y}$
  • Если независимы, независимы, независимы от и независимы от , то .${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle {\mathcal {G}},{\mathcal {H}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle E(E(XY\mid {\mathcal {G}})\mid {\mathcal {H}})=E(X)E(Y)=E(E(XY\mid {\mathcal {H}})\mid {\mathcal {G}})}$
• Стабильность:
  • Если -измеримо , то .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})=X}$

• • В частности, для под-σ-алгебр мы имеем . (Обратите внимание, что это отличается от свойства башни ниже.)${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})\mid {\mathcal {H}}_{2})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})}$
  • Если Z — случайная величина, то . В простейшей форме это звучит так : .${\displaystyle \operatorname {E} (f(Z)\mid Z)=f(Z)}$${\displaystyle \operatorname {E} (Z\mid Z)=Z}$
• Выделим известные факторы:
  • Если -измеримо , то .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(XY\mid {\mathcal {H}})=X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})}$

• • Если Z — случайная величина, то .${\displaystyle \operatorname {E} (f(Z)Y\mid Z)=f(Z)\operatorname {E} (Y\mid Z)}$
• Закон полного ожидания : . ^[12]${\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X)}$
• Собственность башни:
  • Для под-σ-алгебр имеем .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2})\mid {\mathcal {H}}_{1})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})}$
    • Частный случай восстанавливает закон полного ожидания: .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$${\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2}))=E(X)}$
    • Особый случай — когда Z — измеримая случайная величина. Тогда и, таким образом , .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \sigma (Z)\subset {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}})\mid Z)=E(X\mid Z)}$
    • Свойство мартингала Дуба : вышеприведенное с (которое является -измеримым), а также с использованием , дает .${\displaystyle Z=E(X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \operatorname {E} (Z\mid Z)=Z}$${\displaystyle E(X\mid E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X\mid {\mathcal {H}})}$
  • Для случайных величин имеем .${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle E(E(X\mid Y)\mid f(Y))=E(X\mid f(Y))}$
  • Для случайных величин имеем .${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle E(E(X\mid Y,Z)\mid Y)=E(X\mid Y)}$
• Линейность: имеем и для .${\displaystyle E(X_{1}+X_{2}\mid {\mathcal {H}})=E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})+E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle E(aX\mid {\mathcal {H}})=a\,E(X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• Положительность: Если, то .${\displaystyle X\geq 0}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})\geq 0}$
• Монотонность: Если то .${\displaystyle X_{1}\leq X_{2}}$${\displaystyle E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})\leq E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})}$
• Монотонная сходимость : Если , то .${\displaystyle 0\leq X_{n}\uparrow X}$${\displaystyle E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\uparrow E(X\mid {\mathcal {H}})}$
• Доминируемая сходимость : Если и при , то .${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle |X_{n}|\leq Y}$${\displaystyle Y\in L^{1}}$${\displaystyle E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\to E(X\mid {\mathcal {H}})}$
• Лемма Фату : Если то .${\displaystyle \textstyle E(\inf _{n}X_{n}\mid {\mathcal {H}})>-\infty }$${\displaystyle \textstyle E(\liminf _{n\to \infty }X_{n}\mid {\mathcal {H}})\leq \liminf _{n\to \infty }E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})}$
• Неравенство Йенсена : Если — выпуклая функция , то .${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f(E(X\mid {\mathcal {H}}))\leq E(f(X)\mid {\mathcal {H}})}$
• Условная дисперсия : Используя условное математическое ожидание, мы можем определить, по аналогии с определением дисперсии как среднего квадратичного отклонения от среднего, условную дисперсию
  • Определение:${\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))^{2}\mid {\mathcal {H}}{\bigr )}}$
  • Алгебраическая формула для дисперсии:${\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} (X^{2}\mid {\mathcal {H}})-{\bigl (}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}){\bigr )}^{2}}$
  • Закон полной дисперсии : .${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}}))+\operatorname {Var} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))}$
• Сходимость по мартингалу : Для случайной величины , имеющей конечное математическое ожидание, имеем , если либо является возрастающим рядом под-σ-алгебр и , либо является убывающим рядом под-σ-алгебр и .${\displaystyle X}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}}_{n})\to E(X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset \dotsb }$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {H}}=\sigma (\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\supset {\mathcal {H}}_{2}\supset \dotsb }$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {H}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n}}$
• Условное ожидание как -проекция: Если находятся в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых действительных случайных величин (действительных случайных величин с конечным вторым моментом), то${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle X,Y}$
  • для -измеримых имеем , т.е. условное математическое ожидание есть в смысле скалярного произведения L ² ( P ) ортогональная проекция из на линейное подпространство -измеримых функций. (Это позволяет определить и доказать существование условного математического ожидания на основе проекционной теоремы Гильберта .)${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E(Y(X-E(X\mid {\mathcal {H}})))=0}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
  • отображение является самосопряженным :${\displaystyle X\mapsto \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}}))=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}})\right)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})Y)}$
• Обусловливание — это сжимающая проекция пространств L ^p . То есть, для любого p  ≥ 1.${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\rightarrow L^{p}(\Omega ,{\mathcal {H}},P)}$${\displaystyle \operatorname {E} {\big (}|\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})|^{p}{\big )}\leq \operatorname {E} {\big (}|X|^{p}{\big )}}$
• Свойство условной независимости Дуба: ^[13] Если условно независимы данные , то (эквивалентно, ).${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle P(X\in B\mid Y,Z)=P(X\in B\mid Z)}$${\displaystyle E(1_{\{X\in B\}}\mid Y,Z)=E(1_{\{X\in B\}}\mid Z)}$

• Закон полной кумуляции (обобщает остальные три)
• Закон полного ожидания
• Закон полной вероятности
• Закон полной дисперсии

• Ушаков, Н.Г. (2001) [1994], "Условное математическое ожидание", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС