Комплексный квадратичный многочлен

Комплексный квадратный многочлен — это квадратный многочлен , коэффициенты и переменные которого являются комплексными числами .

Квадратичные многочлены обладают следующими свойствами, независимо от формы:

• Это уникритический полином, т.е. он имеет одну конечную критическую точку в комплексной плоскости. Динамическая плоскость состоит максимум из двух бассейнов: бассейн бесконечности и бассейн конечной критической точки (если конечная критическая точка не исчезает).
• Она может быть посткритически конечной , т.е. орбита критической точки может быть конечной, поскольку критическая точка является периодической или предпериодической. ^[1]
• Это унимодальная функция ,
• Это рациональная функция ,
• Это целая функция .

Когда квадратичный многочлен имеет только одну переменную ( одномерный ), можно выделить четыре его основные формы:

• Общая форма: где${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$${\displaystyle a_{2}\neq 0}$
• Факторизованная форма, используемая для логистической карты :${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$
• ${\displaystyle f_{\theta}(x)=x^{2}+\lambda x}$которая имеет индифферентную неподвижную точку с множителем в начале координат ^[2]${\displaystyle \lambda =e^{2\pi \theta i}}$
• Моническая и центрированная форма ,${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

Моническая и центрированная форма была тщательно изучена и обладает следующими свойствами:

• Это простейшая форма нелинейной функции с одним коэффициентом ( параметром ),
• Это центрированный многочлен (сумма его критических точек равна нулю). ^[3]
• это бином

Лямбда-форма имеет вид:${\displaystyle f_{\lambda }(z)=z^{2}+\lambda z}$

• простейшее нетривиальное возмущение невозмущенной системы${\displaystyle z\mapsto \lambda z}$
• «первое семейство динамических систем , в которых известны явные необходимые и достаточные условия, при которых проблема малых делителей является устойчивой» ^[4]

Поскольку он аффинно сопряжен с общим видом квадратичного многочлена, он часто используется для изучения сложной динамики и создания изображений множеств Мандельброта , Жюлиа и Фату .${\displaystyle f_{c}(x)}$

Когда кто-то хочет изменить с на : ^[2]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=c(\theta )={\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\right).}$

Когда требуется изменить значение с на , преобразование параметра выглядит следующим образом ^[5]${\displaystyle r}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=c(r)={\frac {1-(r-1)^{2}}{4}}=-{\frac {r}{2}}\left({\frac {r-2}{2}}\right)}$

и преобразование между переменными в и равно${\displaystyle z_{t+1}=z_{t}^{2}+c}$${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t})}$

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

Существует полусопряженность между диадическим преобразованием (отображением удвоения) и случаем квадратичного многочлена c = –2.

Здесь обозначает n - ю итерацию функции :${\displaystyle f^{n}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))}$

так

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Из-за возможной путаницы с возведением в степень некоторые авторы пишут для n -й итерации .${\displaystyle f^{\circ n}}$${\displaystyle f}$

Моническую и центрированную форму можно обозначить следующим образом:${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

• параметр${\displaystyle c}$
• внешний угол падающего луча:${\displaystyle \theta }$
  • в точке c в множестве Мандельброта на плоскости параметров
  • на критическом значении: z = c в множестве Жюлиа на динамической плоскости

так :

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

Примеры:

• c — точка приземления 1/6 внешнего луча множества Мандельброта , и равна (где i^2=-1)${\displaystyle z\to z^{2}+i}$
• c — точка приземления внешнего луча 5/14 и с${\displaystyle z\to z^{2}+c}$${\displaystyle c=-1.23922555538957+0.412602181602004*i}$

• 
  1/4
• 
  1/6
• 
  9/56
• 
  129/16256

Моническая и центрированная форма, иногда называемая семейством квадратичных полиномов Дуади-Хаббарда ^[6] , обычно используется с переменной и параметром :${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

Когда он используется как функция эволюции дискретной нелинейной динамической системы

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})}$

это называется квадратичной картой : ^[7]

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.}$

Множество Мандельброта — это множество значений параметра c, для которых начальное условие z ₀ = 0 не приводит к расхождению итераций до бесконечности.

Критическая точка — это точка на динамической плоскости, в которой производная обращается в нуль:${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle z_{cr}}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{cr})=0.}$

С

${\displaystyle f_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}f_{c}(z)=2z}$

подразумевает

${\displaystyle z_{cr}=0,}$

мы видим, что единственной (конечной) критической точкой является точка .${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{0}}$является начальной точкой для итерации множества Мандельброта . ^[8]

Для квадратичного семейства критическая точка z = 0 является центром симметрии множества Жюлиа Jc, поэтому оно представляет собой выпуклую комбинацию двух точек в Jc. ^[9]${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$

В сфере Римана полином имеет 2d-2 критических точек. Здесь ноль и бесконечность являются критическими точками.

Критическое значение является изображением критической точки:${\displaystyle z_{cv}}$${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})}$

С

${\displaystyle z_{cr}=0}$

у нас есть

${\displaystyle z_{cv}=c}$

Таким образом, параметр представляет собой критическое значение .${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}(z)}$

Критическая кривая уровня — кривая уровня, которая содержит критическую точку. Она действует как своего рода скелет ^[10] динамической плоскости

Пример: кривые уровня пересекаются в седловой точке , которая является особым типом критической точки.

• 
  привлечение
• 
  привлечение
• 
  привлечение
• 
  параболический
• Видео для c вдоль внутреннего луча 0

Критический предельный набор — это набор прямых орбит всех критических точек.

Прямая орбита критической точки называется критической орбитой . Критические орбиты очень важны, поскольку каждая притягивающая периодическая орбита притягивает критическую точку, поэтому изучение критических орбит помогает нам понять динамику в множестве Фату . ^{[11] [12] [13]}

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c}$

${\displaystyle \ \vdots }$

Эта орбита попадает в притягивающий периодический цикл, если таковой существует.

Критический сектор — сектор динамической плоскости, содержащий критическую точку.

Критический набор — это набор критических точек.

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)}$

так

${\displaystyle P_{0}(c)=0}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c}$

Эти полиномы используются для:

• нахождение центров этих компонентов множества Мандельброта периода n . Центры являются корнями n -го критического полинома

${\displaystyle {\text{centers}}=\{c:P_{n}(c)=0\}}$

• нахождение корней компонентов множества Мандельброта периода n ( локальный минимум )${\displaystyle P_{n}(c)}$
• Мисюревич указывает

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}}$

Диаграммы критических полиномов называются критическими кривыми . ^[14]

Эти кривые создают скелет (темные линии) бифуркационной диаграммы . ^{[15] [16]}

Для глобального анализа этой динамической системы можно использовать 4- мерное (4D) пространство Джулии-Мандельброта. ^[17]

В этом пространстве существует два основных типа 2D-плоскостей:

• динамическая (динамическая) плоскость, -плоскость или с -плоскость${\displaystyle f_{c}}$
• плоскость параметров или z -плоскость

Для анализа таких динамических систем используется еще одна плоскость - w -плоскость :

• плоскость сопряжения ^[18]
• модель самолета ^[19]

• Типы плоскостей параметров
• 
  плоскость параметров r (логистическая карта)
• 
  плоскость параметров c

Фазовое пространство квадратичного отображения называется его параметрической плоскостью . Здесь:

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}}$является постоянной и переменной.${\displaystyle c}$

Здесь нет динамики. Это только набор значений параметров. Орбит на плоскости параметров нет.

Параметрическая плоскость состоит из:

• Множество Мандельброта
  • Бифуркационное локус = граница множества Мандельброта с
    • корневые точки
  • Ограниченные гиперболические компоненты множества Мандельброта = внутренность множества Мандельброта ^[20] с внутренними лучами
• внешний вид множества Мандельброта с
  • внешние лучи
  • эквипотенциальные линии

Существует много различных подтипов плоскости параметров. ^{[21] [22]}

Смотрите также:

• Карта Бетчера , которая отображает внешнюю часть множества Мандельброта во внешнюю часть единичного диска
• карта множителя, которая отображает внутреннюю часть гиперболического компонента множества Мандельброта во внутреннюю часть единичного круга

«Многочлен Pc отображает каждый динамический луч в другой луч, удваивая угол (который мы измеряем в полных оборотах, т. е. 0 = 1 = 2π рад = 360°), и динамические лучи любого многочлена «выглядят как прямые лучи» вблизи бесконечности. Это позволяет нам изучать множества Мандельброта и Жюлиа комбинаторно, заменяя динамическую плоскость единичной окружностью, лучи углами, а квадратичный многочлен отображением удвоения по модулю один». Вирпи Кауко ^[23]

На динамической плоскости можно найти:

• Набор Джулии
• Заполненный набор Джулии
• Набор Фату
• Орбиты

Динамическая плоскость состоит из:

• набор Фату
• Джулия сет

Здесь — константа, а — переменная.${\displaystyle c}$${\displaystyle z}$

Двумерную динамическую плоскость можно рассматривать как сечение Пуанкаре трехмерного пространства непрерывной динамической системы. ^{[24] [25]}

Динамические z -плоскости можно разделить на две группы:

• ${\displaystyle f_{0}}$плоскость для (см. комплексную карту возведения в квадрат )${\displaystyle c=0}$
• ${\displaystyle f_{c}}$самолеты (все остальные самолеты для )${\displaystyle c\neq 0}$

Расширенная комплексная плоскость плюс точка на бесконечности

• сфера Римана

На плоскости параметров:

• ${\displaystyle c}$это переменная
• ${\displaystyle z_{0}=0}$является постоянным

Первая производная по c равна ​${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Эту производную можно найти путем итерации, начиная с

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

и затем заменять на каждом последующем шаге

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

Это можно легко проверить, используя цепное правило для производной.

Эта производная используется в методе оценки расстояния для построения множества Мандельброта .

В динамическом плане:

• ${\displaystyle z}$является переменной;
• ${\displaystyle c}$является константой.

В фиксированной точке ,${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

В периодической точке z ₀ периода p первая производная функции

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

часто представляется и называется множителем или характеристическим числом Ляпунова. Его логарифм известен как показатель Ляпунова. Абсолютное значение множителя используется для проверки устойчивости периодических (также неподвижных) точек .${\displaystyle \lambda }$

В непериодической точке производная, обозначенная как , может быть найдена путем итерации, начиная с${\displaystyle z'_{n}}$

${\displaystyle z'_{0}=1,}$

и затем с помощью

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}$

Эта производная используется для вычисления внешнего расстояния до множества Жюлиа.

Производная Шварца (сокращенно SD) функции f равна: ^[26]

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$

• точка Мисюревича
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений
• Множество Мандельброта
• Джулия сет
• Теория замешивания Милнора–Терстона
• Карта палаток
• Логистическая карта

На Викискладе есть медиафайлы по теме Комплексные квадратичные многочлены .

• Моника Невинс и Томас Д. Роджерс, «Квадратичные отображения как динамические системы на p-адических числах ^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]} »
• Вольф Юнг: Гомеоморфизмы на ребрах множества Мандельброта. Кандидатская диссертация 2002 г.
• Подробнее о квадратичных картах: Квадратичная карта