Диадическая трансформация

Двоичное преобразование (также известное как двоичное отображение , отображение битового сдвига , отображение 2 x  mod 1 , отображение Бернулли , отображение удвоения или пилообразное отображение ^{[1] [2]} ) — это отображение (т. е. рекуррентное отношение )

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infty }}$

${\displaystyle x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )}$

(где — множество последовательностей из ), созданных по правилу${\displaystyle [0,1)^{\infty }}$${\displaystyle [0,1)}$

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle {\text{for all }}n\geq 0,\ x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}}$. ^[3]

Эквивалентно, диадическое преобразование можно также определить как итеративную функциональную карту кусочно-линейной функции

${\displaystyle T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

Название «карта битового сдвига» возникло потому, что если значение итерации записано в двоичной системе счисления, то следующая итерация получается путем сдвига двоичной точки на один бит вправо, а если бит слева от новой двоичной точки — «единица», то его заменяют нулем.

Диадическое преобразование дает пример того, как простая одномерная карта может привести к хаосу . Эта карта легко обобщается на несколько других. Важным из них является бета-преобразование, определяемое как . Эта карта была тщательно изучена многими авторами. Она была введена Альфредом Реньи в 1957 году, а инвариантная мера для нее была дана Александром Гельфондом в 1959 году и снова независимо Биллом Перри в 1960 году. ^{[4] [5] [6]}${\displaystyle T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}}$

Отображение может быть получено как гомоморфизм на процессе Бернулли . Пусть будет множеством всех полубесконечных строк букв и . Их можно понимать как подбрасывания монеты, выпадения орла или решки. Эквивалентно, можно записать пространство всех (полу)бесконечных строк двоичных битов. Слово «бесконечное» квалифицируется с помощью «полу-», так как можно также определить другое пространство, состоящее из всех дважды бесконечных (двусторонних) строк; это приведет к отображению Бейкера . Квалификация «полу-» ниже опускается. ${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$

Это пространство имеет естественную операцию сдвига , заданную формулой

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$

где — бесконечная строка двоичных цифр. Для данной строки запишите${\displaystyle (b_{0},b_{1},\dots )}$

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

Результатом является действительное число в единичном интервале Сдвиг индуцирует гомоморфизм , также называемый , на единичном интервале. Поскольку легко видеть, что Для двойной бесконечной последовательности битов индуцированный гомоморфизм является отображением Бейкера .${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots ),}$${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$${\displaystyle \Omega =2^{\mathbb {Z} },}$

Тогда диадическая последовательность — это просто последовательность

${\displaystyle (x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots )}$

То есть,${\displaystyle x_{n}=T^{n}(x).}$

Обратите внимание, что сумма

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{3^{n+1}}}}$

дает функцию Кантора , как это обычно определяется. Это одна из причин, почему набор иногда называют набором Кантора .${\displaystyle \{H,T\}^{\mathbb {N} }}$

Одним из отличительных признаков хаотической динамики является потеря информации по мере симуляции. Если мы начнем с информации о первых s битах начальной итерации, то после m смоделированных итераций ( m  <  s ) у нас останется только s  −  m бит информации. Таким образом, мы теряем информацию с экспоненциальной скоростью один бит за итерацию. После s итераций наша симуляция достигла нулевой фиксированной точки, независимо от истинных значений итерации; таким образом, мы потерпели полную потерю информации. Это иллюстрирует чувствительную зависимость от начальных условий — отображение из усеченного начального условия экспоненциально отклонилось от отображения из истинного начального условия. И поскольку наша симуляция достигла фиксированной точки, почти для всех начальных условий она не будет описывать динамику качественно правильным образом как хаотическую.

Эквивалентом концепции потери информации является концепция прироста информации. На практике некоторый реальный процесс может генерировать последовательность значений ( x _n ) с течением времени, но мы можем наблюдать эти значения только в усеченном виде. Предположим, например, что x ₀ = 0,1001101, но мы наблюдаем только усеченное значение 0,1001. Наше предсказание для x ₁ равно 0,001. Если мы подождем, пока реальный процесс сгенерирует истинное значение x ₁ 0,001101, мы сможем наблюдать усеченное значение 0,0011, которое точнее нашего предсказанного значения 0,001. Таким образом, мы получили прирост информации в один бит.

Диадическое преобразование топологически полусопряжено к отображению палатки единичной высоты . Напомним, что отображение палатки единичной высоты задается как

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{cases}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\leq 1/2\\1-x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\geq 1/2\end{cases}}}$

Сопряженность явно задается формулой

${\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

так что

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S}$

То есть, это стабильно при итерации, так как${\displaystyle f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).}$

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S}$

Он также сопряжен с хаотическим  случаем r = 4 логистического отображения . Случай r  = 4 логистического отображения : это связано с отображением битового сдвига в переменной x с помощью${\displaystyle z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n})}$

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

Существует также полусопряженность между диадическим преобразованием (здесь называемым отображением удвоения угла) и квадратичным многочленом . Здесь отображение удваивает углы, измеренные в поворотах . То есть отображение задается как

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi .}$

Ввиду простоты динамики, когда итерации рассматриваются в двоичной системе счисления, легко классифицировать динамику на основе начального условия:

Если начальное условие иррационально (каковыми являются почти все точки единичного интервала), то динамика непериодична — это следует непосредственно из определения иррационального числа как числа с неповторяющимся двоичным расширением. Это хаотический случай.

Если x ₀ является рациональным, то образ x ₀ содержит конечное число различных значений в пределах [0, 1), а прямая орбита x ₀ в конечном итоге является периодической с периодом, равным периоду двоичного разложения x _{0 . В частности, если начальное условие} представляет собой рациональное число с конечным двоичным разложением k бит, то после k итераций итерации достигают фиксированной точки 0; если начальное условие представляет собой рациональное число с k -битным переходом ( k  ≥ 0), за которым следует q -битная последовательность ( q  > 1), которая повторяется бесконечно, то после k итераций итерации достигают цикла длины  q . Таким образом, возможны циклы любой длины.

Например, прямая орбита 11/24 выглядит так:

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots ,}$

который достиг цикла периода 2. В пределах любого подинтервала [0, 1), независимо от того, насколько он мал, существует, таким образом, бесконечное число точек, орбиты которых в конечном счете являются периодическими, и бесконечное число точек, орбиты которых никогда не являются периодическими. Эта чувствительная зависимость от начальных условий является характеристикой хаотических отображений .

Периодические и непериодические орбиты легче понять, работая не с картой напрямую, а с картой битового сдвига, определенной в пространстве Кантора .${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

То есть гомоморфизм

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}}$

по сути, это утверждение, что множество Кантора может быть отображено в вещественные числа. Это сюръекция : каждое диадическое рациональное число имеет не одно, а два различных представления в множестве Кантора. Например,

${\displaystyle 0.1000000\dots =0.011111\dots }$

Это просто версия знаменитой проблемы 0,999... = 1 в виде двоичной строки . Двойные представления в общем случае справедливы: для любой заданной начальной последовательности конечной длины длины имеем${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},1,0,0,0,\dots =b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},0,1,1,1,\dots }$

Начальная последовательность соответствует непериодической части орбиты, после чего итерация устанавливается до всех нулей (эквивалентно, всех единиц).${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$

Выраженные в виде строк битов, периодические орбиты отображения можно рассматривать в рациональных числах. То есть, после начальной «хаотической» последовательности , периодическая орбита успокаивается в повторяющуюся строку длины . Нетрудно увидеть, что такие повторяющиеся последовательности соответствуют рациональным числам. Запись${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_{k+m-1}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$

тогда ясно, что есть

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{-m}}}}$

Присоединяясь к исходной неповторяющейся последовательности, мы ясно имеем рациональное число. Фактически, каждое рациональное число может быть выражено таким образом: исходная «случайная» последовательность, за которой следует циклическое повторение. То есть периодические орбиты карты находятся во взаимно-однозначном соответствии с рациональными числами.

Это явление заслуживает внимания, поскольку нечто подобное происходит во многих хаотических системах. Например, геодезические на компактных многообразиях могут иметь периодические орбиты, которые ведут себя таким образом.

Однако следует помнить, что рациональные числа представляют собой множество меры ноль в действительных числах. Почти все орбиты не являются периодическими! Апериодические орбиты соответствуют иррациональным числам. Это свойство справедливо и в более общей ситуации. Открытым вопросом является то, в какой степени поведение периодических орбит ограничивает поведение системы в целом. Такие явления, как диффузия Арнольда, предполагают, что общий ответ — «не очень».

Вместо того, чтобы рассматривать орбиты отдельных точек под действием карты, в равной степени стоит исследовать, как карта влияет на плотности на единичном интервале. То есть, представьте, что вы рассыпаете немного пыли на единичном интервале; в некоторых местах она плотнее, чем в других. Что происходит с этой плотностью по мере итерации?

Запишите эту плотность, так что . Чтобы получить действие на эту плотность, нужно найти все точки и записать ^[7]${\displaystyle \rho :[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}}}$

Знаменатель в приведенном выше выражении — это определитель Якоби преобразования, здесь это просто производная от и поэтому . Кроме того, очевидно, что в прообразе есть только две точки , это и Собирая все вместе, получаем${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$${\displaystyle T^{-1}(x)}$${\displaystyle y=x/2}$${\displaystyle y=(x+1)/2.}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

По соглашению такие карты обозначаются так, что в этом случае пишут${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

Отображение представляет собой линейный оператор , как легко видеть , и для всех функций на единичном интервале и всех констант .${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle a}$

Рассматривая как линейный оператор, наиболее очевидный и насущный вопрос: каков его спектр ? Одно собственное значение очевидно: если для всех то очевидно, что так что равномерная плотность инвариантна относительно преобразования. Это на самом деле наибольшее собственное значение оператора , это собственное значение Фробениуса–Перрона . Равномерная плотность, по сути, не что иное, как инвариантная мера диадического преобразования.${\displaystyle \rho (x)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

Чтобы более подробно изучить спектр , нужно сначала ограничить себя подходящим пространством функций (на единичном интервале) для работы. Это может быть пространство измеримых по Лебегу функций , или, возможно, пространство квадратично интегрируемых функций, или, возможно, даже просто многочлены . Работать с любым из этих пространств на удивление сложно, хотя спектр можно получить. ^[7]${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

Огромное количество упрощений получается, если вместо этого работать с пространством Кантора и функциями Некоторая осторожность рекомендуется, так как отображение определено на единичном интервале действительной числовой прямой , предполагая естественную топологию на действительных числах. Напротив, отображение определено на пространстве Кантора , которому по соглашению задана совершенно другая топология , топология произведения . Существует потенциальное столкновение топологий; необходимо соблюдать некоторую осторожность. Однако, как показано выше, существует гомоморфизм из множества Кантора в действительные числа; к счастью, он отображает открытые множества в открытые множества и, таким образом, сохраняет понятия непрерывности .${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \rho :\Omega \to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Чтобы работать с множеством Кантора , нужно задать для него топологию; по соглашению, это топология произведения . Присоединяя дополнения множеств, его можно расширить до борелевского пространства , то есть сигма-алгебры . Топология — это топология цилиндрических множеств . Цилиндрическое множество имеет общую форму${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle (*,*,*,\dots ,*,b_{k},b_{k+1},*,\dots ,*,b_{m},*,\dots )}$

где — произвольные битовые значения (не обязательно все одинаковые), а — конечное число конкретных битовых значений, разбросанных в бесконечной битовой строке. Это открытые множества топологии. Каноническая мера на этом пространстве — мера Бернулли для честного подбрасывания монеты. Если в строке произвольных позиций указан только один бит, мера равна 1/2. Если указано два бита, мера равна 1/4 и так далее. Можно придумать что-нибудь поинтереснее: для заданного действительного числа можно определить меру${\displaystyle *}$${\displaystyle b_{k},b_{m},\dots }$${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle \mu _{p}(*,\dots ,*,b_{k},*,\dots )=p^{n}(1-p)^{m}}$

если в последовательности есть орлы и решки. Мера с предпочтительнее, так как она сохраняется картой${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p=1/2}$

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

Так, например, отображается на интервал и отображается на интервал и оба этих интервала имеют меру 1/2. Аналогично отображается на интервал , который все еще имеет меру 1/2. То есть, вложение выше сохраняет меру.${\displaystyle (0,*,\cdots )}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$${\displaystyle (1,*,\dots )}$${\displaystyle [1/2,1]}$${\displaystyle (*,0,*,\dots )}$${\displaystyle [0,1/4]\cup [1/2,3/4]}$

Альтернативой является написание

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }\left[b_{n}p^{n+1}+(1-b_{n})(1-p)^{n+1}\right]}$

который сохраняет меру . То есть, он отображается таким образом, что мера на единичном интервале снова является мерой Лебега.${\displaystyle \mu _{p}.}$

Обозначим совокупность всех открытых множеств на множестве Кантора через и рассмотрим множество всех произвольных функций. Сдвиг вызывает прямой проталкивание.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle f\circ T^{-1}}$

определяется как Это снова некоторая функция. Таким образом, отображение индуцирует другое отображение на пространстве всех функций. То есть, учитывая некоторые , можно определить${\displaystyle \left(f\circ T^{-1}\right)\!(x)=f(T^{-1}(x)).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}f=f\circ T^{-1}}$

Этот линейный оператор называется оператором переноса или оператором Рюэля–Фробениуса–Перрона . Наибольшее собственное значение — это собственное значение Фробениуса–Перрона , и в этом случае оно равно 1. Соответствующий собственный вектор — это инвариантная мера: в этом случае это мера Бернулли . Опять же, когда${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(\rho )=\rho }$${\displaystyle \rho (x)=1.}$

Чтобы получить спектр , необходимо предоставить подходящий набор базисных функций для пространства Одним из таких вариантов является ограничение набором всех полиномов. В этом случае оператор имеет дискретный спектр , а собственные функции (как ни странно) являются полиномами Бернулли ! ^[8] (Это совпадение названий, по-видимому, не было известно Бернулли.)${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Действительно, можно легко убедиться, что

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}B_{n}=2^{-n}B_{n}}$

где — полиномы Бернулли . Это следует из того, что полиномы Бернулли подчиняются тождеству${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y+1}{2}}\right)=2^{-n}B_{n}(y)}$

Обратите внимание, что${\displaystyle B_{0}(x)=1.}$

Другой базис обеспечивается базисом Хаара , а функции, охватывающие пространство, являются вейвлетами Хаара . В этом случае обнаруживается непрерывный спектр , состоящий из единичного круга на комплексной плоскости . Заданные в единичном круге, так что , функции${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \psi _{z,k}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\exp i\pi (2k+1)2^{n}x}$

подчиняться

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\psi _{z,k}=z\psi _{z,k}}$

для Это полный базис, в котором каждое целое число может быть записано в форме Полиномы Бернулли восстанавливаются путем установки и${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle (2k+1)2^{n}.}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle z={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},\dots }$

Полный базис может быть задан и другими способами; они могут быть записаны в терминах дзета-функции Гурвица . Другой полный базис обеспечивается функцией Такаги . Это фрактальная, нигде не дифференцируемая функция. Собственные функции явно имеют вид

${\displaystyle {\mbox{blanc}}_{w,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s((2k+1)2^{n}x)}$

где треугольная волна . Опять же,${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}{\mbox{blanc}}_{w,k}=w\;{\mbox{blanc}}_{w,k}.}$

Все эти различные основания могут быть выражены как линейные комбинации друг друга. В этом смысле они эквивалентны.

Фрактальные собственные функции показывают явную симметрию относительно фрактального группоида модулярной группы ; это более подробно описано в статье о функции Такаги (кривая бланманже). Возможно, это неудивительно; множество Кантора имеет точно такой же набор симметрий (как и непрерывные дроби ) . Затем это элегантно приводит к теории эллиптических уравнений и модулярных форм .

Гамильтониан одномерной модели Изинга спинов с нулевым полем и периодическими граничными условиями можно записать как${\displaystyle 2N}$

${\displaystyle H(\sigma )=g\sum _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}\sigma _{i}\sigma _{i+1}.}$

Пусть будет соответствующим образом выбранной константой нормировки и будет обратной температурой для системы, тогда статистическая сумма для этой модели будет иметь вид${\displaystyle C}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{2N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}Ce^{-\beta g\sigma _{i}\sigma _{i+1}}.}$

Мы можем реализовать группу перенормировки , интегрируя каждый второй спин. При этом обнаруживается, что также может быть приравнено к статистической сумме для меньшей системы с но спинами,${\displaystyle Z}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{N}}{\mathcal {R}}[C]e^{-{\mathcal {R}}[\beta g]\sigma _{i}\sigma _{i+1}},}$

при условии, что мы заменим и перенормированными значениями и удовлетворим уравнениям${\displaystyle C}$${\displaystyle \beta g}$${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]}$${\displaystyle {\mathcal {R}}[\beta g]}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]^{2}=4\cosh(2\beta g)C^{4},}$

${\displaystyle e^{-2{\mathcal {R}}[\beta g]}=\cosh(2\beta g).}$

Предположим теперь, что мы позволяем быть комплексным и что для некоторого . В этом случае мы можем ввести параметр, связанный с через уравнение${\displaystyle \beta g}$${\displaystyle \operatorname {Im} [2\beta g]={\frac {\pi }{2}}+\pi n}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle t\in [0,1)}$${\displaystyle \beta g}$

${\displaystyle e^{-2\beta g}=i\tan {\big (}\pi (t-{\frac {1}{2}}){\big )},}$

и результирующее преобразование ренормгруппы для будет в точности диадическим отображением: ^[9]${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}[t]=2t{\bmod {1}}.}$

• процесс Бернулли
• схема Бернулли
• Модель Гилберта–Шеннона–Ридса , случайное распределение перестановок, полученное путем применения карты удвоения к набору из n равномерно случайных точек на единичном интервале