Заполненный набор Джулия

Заполненное множество Жюлиа многочлена — это множество Жюлиа и его внутреннее , неэкранированное множество .${\displaystyle К(ф)}$${\displaystyle f}$

Заполненное множество Жюлиа многочлена определяется как множество всех точек динамической плоскости, имеющих ограниченную орбиту относительно , ​​где:${\displaystyle К(ф)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$$${\displaystyle K(f){\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}\left\{z\in \mathbb {C} :f^{(k)}(z)\not \to \infty ~{\text{as}}~k\to \infty \right\}}$$

• ${\displaystyle \mathbb {C} }$это набор комплексных чисел
• ${\displaystyle f^{(k)}(z)}$является -кратной композицией с самим собой = итерация функции${\displaystyle к}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Заполненный набор Жюлиа является (абсолютным) дополнением привлекательного бассейна бесконечности .$${\displaystyle K(f)=\mathbb {C} \setminus A_{f}(\infty )}$$

Привлекательный бассейн бесконечности является одним из компонентов набора Фату .$${\displaystyle A_{f}(\infty)=F_{\infty }}$$

Другими словами, заполненное множество Жюлиа является дополнением неограниченного компонента Фату :$${\displaystyle K(f)=F_{\infty }^{C}.}$$

В Wikibooks есть книга по теме: Фракталы

Множество Жюлиа является общей границей заполненного множества Жюлиа и притягивающего бассейна бесконечности , где: обозначает притягивающий бассейн бесконечности = внешнюю часть заполненного множества Жюлиа = множество точек выхода для$${\displaystyle J(f)=\partial K(f)=\partial A_{f}(\infty )}$$${\displaystyle A_{f}(\infty)}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle A_{f}(\infty )\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{z\in \mathbb {C} :f^{(k)}(z)\to \infty \ as\ k\to \infty \}.}$$

Если заполненное множество Жюлиа не имеет внутренней части , то множество Жюлиа совпадает с заполненным множеством Жюлиа. Это происходит, когда все критические точки являются предпериодическими. Такие критические точки часто называют точками Мисюревича .${\displaystyle f}$

• 
  Кролик Джулия набор с позвоночником
• 
  Комплект базилики Юлия с позвоночником

Наиболее изученными, вероятно, являются полиномы вида , которые часто обозначаются как , где - любое комплексное число. В этом случае позвоночник заполненного множества Жюлиа определяется как дуга между -неподвижной точкой и , с такими свойствами:${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle с}$${\displaystyle S_{c}}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \бета}$${\displaystyle -\бета}$$${\displaystyle S_{c}=\left[-\beta ,\beta \right]}$$

• Позвоночник находится внутри . ^[1] Это имеет смысл, когда он соединен и полон ^[2]${\displaystyle К}$${\displaystyle К}$
• позвоночник неизменен при повороте на 180 градусов,
• позвоночник — конечное топологическое дерево,
• Критическая точка всегда принадлежит позвоночнику. ^[3]${\displaystyle z_{cr}=0}$
• ${\displaystyle \бета}$- неподвижная точка - это точка приземления внешнего луча с нулевым углом ,${\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}^{K}}$
• ${\displaystyle -\бета}$является точкой приземления внешнего луча .${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1/2}^{K}}$

Алгоритмы построения позвоночника:

• Подробная версия описана А. Дуади ^[4]
• Упрощенная версия алгоритма:
  • соединить и внутри дугой,${\displaystyle -\бета}$${\displaystyle \бета}$${\displaystyle К}$
  • когда имеет пустую внутреннюю часть, то дуга уникальна,${\displaystyle К}$
  • в противном случае выберите кратчайший путь, содержащий . ^[5]${\displaystyle 0}$

Кривая : делит динамическую плоскость на две компоненты.${\displaystyle R}$$${\displaystyle R{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{1/2}\cup S_{c}\cup R_{0}}$$

• 
  Заполненное множество Жюлиа для f _c , c=1−φ=−0,618033988749…, где φ — золотое сечение
• 
  Заполненный Джулия без внутренности = множество Джулии. Это для c=i.
• 
  Заполненное множество Жюлиа для c=−1+0.1*i. Здесь множество Жюлиа является границей заполненного множества Жюлиа.
• 
  Кролик Дуади
• 
  Заполненное множество Жюлиа для c = −0,8 + 0,156i.
• 
  Заполненный набор Жюлиа для c = 0,285 + 0,01i.
• 
  Заполненное множество Жюлиа для c = −1,476.

• самолет ^[6]
• Кролик Дуади
• дракон
• базилика или фрактал Сан-Марко или дракон Сан-Марко
• цветная капуста
• дендрит
• диск Сигеля

1. Пайтген Хайнц-Отто, Рихтер, П. Х.: Красота фракталов: Образы сложных динамических систем. Springer-Verlag 1986. ISBN  978-0-387-15851-8 .
2. Бодил Браннер  : Голоморфные динамические системы в комплексной плоскости. Кафедра математики Технического университета Дании, MAT-Report № 1996-42.