Комплексное аффинное пространство

Аффинная геометрия , в широком смысле, является изучением геометрических свойств линий, плоскостей и их аналогов более высокого порядка, в котором сохраняется понятие «параллельности», но не сохраняются метрические понятия расстояния или угла. Аффинные пространства отличаются от линейных пространств (то есть векторных пространств) тем, что у них нет выделенного выбора начала координат. Так, по словам Марселя Берже , «Аффинное пространство — это не более чем векторное пространство, о начале которого мы пытаемся забыть, добавляя переносы к линейным отображениям». ^[1] Соответственно, комплексное аффинное пространство , то есть аффинное пространство над комплексными числами , похоже на комплексное векторное пространство, но без выделенной точки, которая могла бы служить началом координат.

Аффинная геометрия — одна из двух основных ветвей классической алгебраической геометрии , другая — проективная геометрия . Комплексное аффинное пространство может быть получено из комплексного проективного пространства путем фиксации гиперплоскости, которую можно рассматривать как гиперплоскость идеальных точек «на бесконечности» аффинного пространства. Чтобы проиллюстрировать разницу (над действительными числами), парабола в аффинной плоскости пересекает прямую на бесконечности, тогда как эллипс — нет. Однако любые два конических сечения проективно эквивалентны. Таким образом, парабола и эллипс одинаковы, если рассматривать их проективно, но различны, если рассматривать их как аффинные объекты. Несколько менее интуитивно, над комплексными числами, эллипс пересекает прямую на бесконечности в паре точек , тогда как парабола пересекает прямую на бесконечности в одной точке. Итак, по несколько иной причине эллипс и парабола неэквивалентны над комплексной аффинной плоскостью, но остаются эквивалентными над (комплексной) проективной плоскостью.

Любое комплексное векторное пространство является аффинным пространством: все, что нужно сделать, это забыть начало координат (и, возможно, любую дополнительную структуру, такую ​​как скалярное произведение ). Например, комплексное n -пространство можно рассматривать как комплексное аффинное пространство, когда интересуют только его аффинные свойства (в отличие от его линейных или метрических свойств, например). Поскольку любые два аффинных пространства одинаковой размерности изоморфны , в некоторых ситуациях уместно отождествлять их с , понимая, что только аффинно-инвариантные понятия в конечном счете имеют смысл. Такое использование очень распространено в современной алгебраической геометрии.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Существует несколько эквивалентных способов задания аффинной структуры n -мерного комплексного аффинного пространства A . Простейший из них включает вспомогательное пространство V , называемое разностным пространством , которое является векторным пространством над комплексными числами. Тогда аффинное пространство представляет собой множество A вместе с простым и транзитивным действием V на A . (То есть A является V -торсором.)

Другой способ — определить понятие аффинной комбинации, удовлетворяющей определенным аксиомам. Аффинная комбинация точек p ₁ , …, p _k ∊ A выражается в виде суммы вида

${\displaystyle a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}}$

где скаляры a _i — комплексные числа, сумма которых равна единице.

Пространство разностей можно отождествить с множеством «формальных разностей» p − q по модулю соотношения, согласно которому формальные разности очевидным образом уважают аффинные комбинации.

Функция называется аффинной, если она сохраняет аффинные комбинации. Так${\displaystyle f:\mathbf {A} \mapsto \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k})=a_{1}f(\mathbf {p} _{1})+\cdots +a_{k}f(\mathbf {p} _{k})}$

для любой аффинной комбинации

${\displaystyle a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}}$в А .

Пространство аффинных функций A * является линейным пространством. Двойственное векторное пространство A * естественным образом изоморфно ( n +1)-мерному векторному пространству F( A ) , которое является свободным векторным пространством на A по модулю соотношения, что аффинная комбинация в A согласуется с аффинной комбинацией в F( A ) . С помощью этой конструкции аффинная структура аффинного пространства A может быть полностью восстановлена ​​из пространства аффинных функций.

Алгебра многочленов от аффинных функций на A определяет кольцо функций, называемое аффинным координатным кольцом в алгебраической геометрии. Это кольцо несет фильтрацию , по степени в аффинных функциях. Наоборот, можно восстановить точки аффинного пространства как множество гомоморфизмов алгебры из аффинного координатного кольца в комплексные числа. Это называется максимальным спектром кольца, потому что оно совпадает с его множеством максимальных идеалов . На этом максимальном спектре существует уникальная аффинная структура, которая совместима с фильтрацией на аффинном координатном кольце.

Одномерное комплексное аффинное пространство или комплексная аффинная прямая — это торсор для одномерного линейного пространства над . Простейшим примером является сама плоскость Аргана комплексных чисел. Она имеет каноническую линейную структуру, и поэтому «забывание» начала координат дает ей каноническую аффинную структуру.${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Для другого примера предположим, что X — двумерное векторное пространство над комплексными числами. Пусть — линейный функционал . Хорошо известно, что множество решений α ( x ) = 0 , ядро ​​α , является одномерным линейным подпространством (то есть комплексной прямой, проходящей через начало координат X ). Но если c — некоторое ненулевое комплексное число, то множество A решений α ( x ) = c является аффинной прямой в X , но оно не является линейным подпространством, поскольку оно не замкнуто относительно произвольной линейной комбинации. Разностное пространство V является ядром α , поскольку разность двух решений неоднородного уравнения α ( x ) = c лежит в ядре.${\displaystyle \alpha :\mathbf {X} \to \mathbb {C} }$

Аналогичное построение применимо к решению линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решения однородного дифференциального уравнения

${\displaystyle y'(x)+\mu (x)y(x)=0}$

представляет собой одномерное линейное пространство, тогда как множество решений неоднородной задачи

${\displaystyle y'(x)+\mu (x)y(x)=f(x)}$

— одномерное аффинное пространство A. Общее решение равно частному решению уравнения плюс решение однородного уравнения. Пространство решений однородного уравнения — это разностное пространство V.

Рассмотрим еще раз общий случай двумерного векторного пространства X, снабженного линейной формой α . Аффинное пространство A ( c ) задается решением α( x ) = c . Заметим, что для двух разностных ненулевых значений c , скажем, _c1 и c2 , аффинные пространства A ( c1 ₎ и A ( c2 ) естественно изоморфны : масштабирование по _{c2 /} c1 отображает A ( c1 ) _в A ( c2 ₎ . Так _что в этой ситуации на самом деле стоит рассмотреть только одно аффинное пространство, назовем его A , точки которого являются прямыми, проходящими через начало координат X _{, которые не лежат} на ядре α .

Алгебраически комплексное аффинное пространство A, описанное выше, представляет собой пространство разбиений точной последовательности

${\displaystyle 0\to \ker \alpha \,{\overset {\subseteq }{\rightarrow }}\,X\xrightarrow {\alpha } \mathbb {C} \to 0.}$

Комплексная аффинная плоскость — это двумерное аффинное пространство над комплексными числами. Примером является двумерное комплексное координатное пространство . Оно имеет естественную линейную структуру и, таким образом, наследует аффинную структуру под действием забывающего функтора. Другим примером является множество решений неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (над комплексными числами). Наконец, по аналогии с одномерным случаем, пространство разбиений точной последовательности${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} \to 0}$

— аффинное пространство размерности два.

Конформная спиновая группа группы Лоренца — это SU(2,2), которая действует на четырехмерном комплексном векторном пространстве T (называемое твисторным пространством ). Конформная группа Пуанкаре, как подгруппа SU(2,2), стабилизирует точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to \Пи \to \mathbf {Т} \to \Омега \to 0}$

где Π — максимальное изотропное подпространство T. Пространство разбиений этой последовательности является четырехмерным аффинным пространством: (комплексифицированным) пространством Минковского .

Пусть A — n -мерное аффинное пространство. Набор из n аффинно независимых аффинных функций — это аффинная система координат на A. Аффинная система координат на A устанавливает биекцию A с комплексным координатным пространством , элементами которого являются n -кортежи комплексных чисел.${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Наоборот, иногда называют комплексным аффинным n -пространством, где подразумевается, что именно его структура как аффинного пространства (в отличие, например, от его статуса как линейного пространства или как координатного пространства ) представляет интерес. Такое использование типично в алгебраической геометрии .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Комплексное аффинное пространство A имеет каноническое проективное пополнение P ( A ), определяемое следующим образом. Образуем векторное пространство F( A ), которое является свободным векторным пространством на A по модулю соотношения, что аффинная комбинация в F( A ) согласуется с аффинной комбинацией в A . Тогда dim F( A ) = n + 1 , где n — размерность A . Проективное пополнение A является проективным пространством одномерных комплексных линейных подпространств F( A ).

Группа Aut( P ( A )) = PGL(F( A )) ≅ PGL( n + 1, C ) действует на P ( A ). Стабилизатор гиперплоскости на бесконечности является параболической подгруппой, которая является группой автоморфизмов A . Она изоморфна (но не изоморфна естественно) полупрямому произведению группы GL( V ) и V . Подгруппа GL( V ) является стабилизатором некоторой фиксированной точки отсчета o («начала координат») в A , действуя как линейная группа автоморфизмов пространства векторов, исходящих из o , а V действует посредством трансляции.

Группа автоморфизмов проективного пространства P ( A ) как алгебраического многообразия есть не что иное, как группа коллинеаций PGL(F( A )) . Напротив, группа автоморфизмов аффинного пространства A как алгебраического многообразия гораздо больше. Например, рассмотрим отображение аффинной плоскости в себя, определенное в терминах пары аффинных координат как

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1},z_{2}+f(z_{1}))}$

где f — многочлен от одной переменной. Это автоморфизм алгебраического многообразия, но не автоморфизм аффинной структуры. Определитель Якоби такого алгебраического автоморфизма обязательно является ненулевой константой. Считается, что если якобиан отображения самого себя комплексного аффинного пространства является ненулевой константой, то отображение является (алгебраическим) автоморфизмом. Это известно как гипотеза Якобиана .

Функция на комплексном аффинном пространстве голоморфна, если ее комплексно сопряженная функция выводится по Ли вдоль разностного пространства V. Это придает любому комплексному аффинному пространству структуру комплексного многообразия .

Всякая аффинная функция из A в комплексные числа голоморфна. Следовательно, всякий многочлен от аффинных функций голоморфен.

Обычно используются две топологии комплексного аффинного пространства.

Аналитическая топология является исходной топологией для семейства аффинных функций в комплексные числа, где комплексные числа несут свою обычную евклидову топологию, индуцированную комплексным абсолютным значением как нормой. Это также исходная топология для семейства голоморфных функций.

Аналитическая топология имеет базу, состоящую из полидисков . Связанный с любыми n независимыми аффинными функциями на A , единичный полидиск определяется как${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle B(z_{1},\dots ,z_{n})=\left\{\mathbf {z} \in \mathbf {A} \,:\,\left|z_{1}(\mathbf {z} )\right|<1,\dots ,\left|z_{n}(\mathbf {z} )\right|<1\right\}.}$

Любое открытое множество в аналитической топологии является объединением счетного набора единичных полидисков.

Топология Зарисского является исходной топологией для аффинных комплекснозначных функций, но задает комплексной прямой топологию конечного дополнения. Таким образом, в топологии Зарисского подмножество A замкнуто тогда и только тогда, когда оно является нулевым множеством некоторого набора комплекснозначных полиномиальных функций на A. Предбаза топологии Зарисского — это набор дополнений неприводимых алгебраических множеств.

Аналитическая топология тоньше топологии Зарисского, то есть каждое множество, открытое в топологии Зарисского, открыто и в аналитической топологии. Обратное неверно. Например, полидиск открыт в аналитической топологии, но не в топологии Зарисского.

Метрику можно определить на комплексном аффинном пространстве, сделав его евклидовым пространством , выбрав скалярное произведение на V. Расстояние между двумя точками p и q пространства A затем задается в терминах соответствующей нормы на V следующим образом:

${\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\|.}$

Открытые шары, связанные с метрикой, образуют основу топологии, которая совпадает с аналитической топологией.

Семейство голоморфных функций на комплексном аффинном пространстве A образует на нем пучок колец . По определению, такой пучок каждому (аналитическому) открытому подмножеству U пространства A сопоставляет кольцо всех комплекснозначных голоморфных функций на U .${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$

Единственность аналитического продолжения гласит, что если заданы две голоморфные функции на связном открытом подмножестве U из C ⁿ , то если они совпадают на непустом открытом подмножестве U , то они совпадают на U . В терминах теории пучков единственность подразумевает, что , рассматриваемое как этальное пространство , является хаусдорфовым топологическим пространством .${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Теорема когерентности Оки утверждает, что структурный пучок комплексного аффинного пространства является когерентным . Это фундаментальный результат в теории функций многих комплексных переменных ; например, из него немедленно следует, что структурный пучок комплексно-аналитического пространства (например, комплексного многообразия ) является когерентным.${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Каждое комплексное аффинное пространство является областью голоморфности . В частности, это многообразие Штейна .

• Аналитическое пространство
• Комплексное координатное пространство
• Комплексный многогранник
• Экзотическое аффинное пространство

• MK Bennett (1995), Аффинная и проективная геометрия , Wiley
• Николя Бурбаки (1970), Алгебра , т. Я, Массон, §II.9.
• Гарольд Скотт Макдональд Коксетер (1987), Проективная геометрия (2-е изд.), Springer.
• Гарольд Скотт Макдональд Коксетер (1961), Введение в геометрию , Wiley
• Ганс Грауэрт ; Райнхольд Реммерт (1984), Когерентные аналитические пучки , Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften, Springer.