I-адическая топология

В коммутативной алгебре , математическом изучении коммутативных колец , адические топологии представляют собой семейство топологий на базовом множестве модуля , обобщающих p -адические топологии на целых числах .

Пусть R — коммутативное кольцо, а M — R - модуль . Тогда каждый идеал 𝔞 кольца R определяет топологию на M , называемую 𝔞- адической топологией, характеризуемую псевдометрикой Семейство является базой для этой топологии. ^[1]$${\displaystyle d(x,y)=2^{-\sup {\{n\mid xy\in {\mathfrak {a}}^{n}M\}}}.}$$$${\displaystyle \{x+{\mathfrak {a}}^{n}M:x\in M,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}}$$

𝔞 - адическая топология — это линейная топология (топология, порожденная некоторыми подмодулями).

Что касается топологии, модульные операции сложения и скалярного умножения непрерывны , так что M становится топологическим модулем . Однако M не обязательно должен быть хаусдорфовым ; он хаусдорфов тогда и только тогда , когда d становится настоящей метрикой . Связано с обычной терминологией в топологии, где хаусдорфово пространство также называется разделенным, в этом случае 𝔞 -адическая топология называется разделенной . ^[1]$${\displaystyle \bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}M}=0{\text{,}}}$$

По теореме Крулля о пересечении , если R — нётерово кольцо , являющееся областью целостности или локальным кольцом , то это справедливо для любого собственного идеала 𝔞 кольца R. Таким образом, при этих условиях для любого собственного идеала 𝔞 кольца R и любого R -модуля M 𝔞 -адическая топология на M разделяется. ${\displaystyle \bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}}=0}$

Для подмодуля N модуля M канонический гомоморфизм в M / N индуцирует топологию факторизации , которая совпадает с 𝔞 -адической топологией. Аналогичный результат не обязательно верен для самого подмодуля N : топология подпространства не обязательно должна быть 𝔞 -адической топологией. Однако эти две топологии совпадают, когда R является нётеровым , а M конечно порожденным . Это следует из леммы Артина-Риза . ^[2]

Когда M является Хаусдорфовым, M может быть дополнено как метрическое пространство; полученное пространство обозначается и имеет модульную структуру, полученную путем расширения модульных операций по непрерывности. Это также то же самое, что (или канонически изоморфно ): где правая часть является обратным пределом фактор -модулей при естественной проекции. ^[3]${\displaystyle {\widehat {M}}}$$${\displaystyle {\widehat {M}}=\varprojlim M/{\mathfrak {a}}^{n}M}$$

Например, пусть будет кольцом многочленов над полем k и 𝔞 = ( x ₁ , ..., x _n ) — (единственный) однородный максимальный идеал . Тогда формальное степенное кольцо над k от n переменных. ^[4]${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\hat {R}}=k[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$

𝔞 -адическое замыкание подмодуля равно ^[5]. Это замыкание совпадает с N всякий раз, когда R является 𝔞 -адически полным, а M конечно порождено. ^[6]${\displaystyle N\subseteq M}$${\textstyle {\overline {N}}=\bigcap _{n>0}{(N+{\mathfrak {a}}^{n}M)}{\text{.}}}$

R называется Зарисским относительно 𝔞 , если каждый идеал в R 𝔞 -адически замкнут. Существует характеризация:

R является радикалом Зарисского относительно 𝔞 тогда и только тогда, когда 𝔞 содержится в радикале Джекобсона R.

В частности, нётерово локальное кольцо является кольцом Зарисского относительно максимального идеала. ^[7]

• Сингх, Балвант (2011). Основы коммутативной алгебры . Сингапур/Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-981-4313-61-2.
• Атья, М. Ф .; Макдональд, И. Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Reading, MA: Addison-Wesley.