Функциональное исчисление Бореля
Раздел функционального анализа

В функциональном анализе , разделе математики , функциональное исчисление Бореля является функциональным исчислением (то есть присвоением операторов из коммутативных алгебр функциям, определенным на их спектрах ), которое имеет особенно широкую область применения. [1] [2] Таким образом, например, если T является оператором, применение функции возведения в квадрат s → s 2 к T дает оператор T 2 . Используя функциональное исчисление для более крупных классов функций, мы можем, например, строго определить «квадратный корень» (отрицательного) оператора Лапласа −Δ или экспоненциальную е я т Δ . {\displaystyle e^{it\Delta }.}

Под «областью действия» здесь понимается вид функции оператора , который разрешен. Функциональное исчисление Бореля является более общим, чем непрерывное функциональное исчисление , и его фокус отличается от голоморфного функционального исчисления .

Точнее, функциональное исчисление Бореля позволяет применять произвольную функцию Бореля к самосопряженному оператору таким образом, что это обобщает применение полиномиальной функции .

Мотивация

Если T — самосопряженный оператор на конечномерном пространстве скалярного произведения H , то H имеет ортонормированный базис { e 1 , ..., e ℓ }, состоящий из собственных векторов T , то есть Т е к = λ к е к , 1 ≤ к ≤ ℓ . {\displaystyle Te_{k}=\lambda _{k}e_{k},\qquad 1\leq k\leq \ell.}

Таким образом, для любого положительного целого числа n , Т н е к = λ к н е к . {\displaystyle T^{n}e_{k} =\lambda _{k}^{n}e_{k}.}

Если рассматривать только полиномы от T , то получается голоморфное функциональное исчисление . Соотношение справедливо и для более общих функций от T. Если задана борелевская функция h , можно определить оператор h ( T ), указав его поведение на основе: час ( Т ) е к = час ( λ к ) е к . {\displaystyle h(T)e_{k}=h(\lambda _{k})e_{k}.}

В общем случае любой самосопряженный оператор T унитарно эквивалентен оператору умножения; это означает, что для многих целей T можно рассматривать как оператор, действующий на L 2 некоторого пространства мер . Область определения T состоит из тех функций, чье приведенное выше выражение находится в L 2 . В таком случае можно определить аналогично Не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин для браузера): Недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle [h(T) \psi](x) = [h \circ f](x) \psi(x). } [ Т ψ ] ( х ) = ф ( х ) ψ ( х ) {\displaystyle [T\psi](x)=f(x)\psi (x)}

Для многих технических целей предыдущая формулировка вполне хороша. Однако желательно сформулировать функциональное исчисление таким образом, чтобы оно не зависело от конкретного представления T как оператора умножения. Именно это мы и сделаем в следующем разделе.

Ограниченное функциональное исчисление

Формально ограниченное борелевское функциональное исчисление самосопряженного оператора T в гильбертовом пространстве H представляет собой отображение, определенное на пространстве ограниченных комплекснозначных борелевских функций f на действительной прямой, такое, что выполняются следующие условия: { π Т : Л ∞ ( Р , С ) → Б ( ЧАС ) ф ↦ ф ( Т ) {\displaystyle {\begin{cases}\pi _{T}:L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\\f\mapsto f(T)\end{cases}}}

  • π T — гомоморфизм , сохраняющий инволюцию и единицу, из кольца комплекснозначных ограниченных измеримых функций на R.
  • Если ξ — элемент H , то — счетно - аддитивная мера на борелевских множествах E из R. В приведенной выше формуле 1 E обозначает индикаторную функцию E. Эти меры ν ξ называются спектральными мерами T. ν ξ : Э ↦ ⟨ π Т ( 1 Э ) ξ , ξ ⟩ {\displaystyle \nu _{\xi}:E\mapsto \langle \pi _{T}(\mathbf {1} _{E})\xi,\xi \rangle }
  • Если η обозначает отображение z → z на C , то: π Т ( [ η + я ] − 1 ) = [ Т + я ] − 1 . {\displaystyle \пи _{T}\left([\eta +i]^{-1}\right)=[T+i]^{-1}.}

Теорема  —  Любой самосопряженный оператор T имеет единственное борелевское функциональное исчисление.

Это определяет функциональное исчисление для ограниченных функций, применяемое к возможно неограниченным самосопряженным операторам. Используя ограниченное функциональное исчисление, можно доказать часть теоремы Стоуна об однопараметрических унитарных группах :

Теорема  —  Если A — самосопряженный оператор, то — однопараметрическая сильно непрерывная унитарная группа, инфинитезимальный генератор которой равен iA . У т = е я т А , т ∈ Р {\displaystyle U_{t}=e^{itA},\qquad t\in \mathbb {R} }

В качестве приложения мы рассматриваем уравнение Шредингера или, что эквивалентно, динамику квантово-механической системы. В нерелятивистской квантовой механике оператор Гамильтона H моделирует полную энергию, наблюдаемую квантово -механической системой S. Унитарная группа, генерируемая iH, соответствует временной эволюции S.

Мы также можем использовать функциональное исчисление Бореля для абстрактного решения некоторых линейных задач с начальными значениями, таких как уравнение теплопроводности или уравнения Максвелла.

Существование функционального исчисления

Существование отображения со свойствами функционального исчисления требует доказательства. Для случая ограниченного самосопряженного оператора T существование борелевского функционального исчисления может быть показано элементарным образом следующим образом:

Сначала переходим от полиномиального к непрерывному функциональному исчислению, используя теорему Стоуна–Вейерштрасса . Решающим фактом здесь является то, что для ограниченного самосопряженного оператора T и полинома p , ‖ п ( Т ) ‖ = Как дела λ ∈ σ ( Т ) | п ( λ ) | . {\displaystyle \|p(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|p(\lambda )|.}

Следовательно, отображение является изометрией и плотно определенным гомоморфизмом на кольце полиномиальных функций. Расширение по непрерывности определяет f ( T ) для непрерывной функции f на спектре T . Теорема Рисса-Маркова затем позволяет нам перейти от интегрирования по непрерывным функциям к спектральным мерам , и это функциональное исчисление Бореля. п ↦ п ( Т ) {\displaystyle p\mapsto p(T)}

В качестве альтернативы непрерывное исчисление может быть получено с помощью преобразования Гельфанда в контексте коммутативных банаховых алгебр. Расширение до измеримых функций достигается применением Рисса-Маркова, как указано выше. В этой формулировке T может быть нормальным оператором .

При наличии оператора T областью значений непрерывного функционального исчисления h → h ( T ) является (абелева) C*-алгебра C ( T ), порожденная T . Функциональное исчисление Бореля имеет большую область значений, то есть замыкание C ( T ) в слабой операторной топологии , (все еще абелева) алгебра фон Неймана .

Общее функциональное исчисление

Мы также можем определить функциональное исчисление для не обязательно ограниченных борелевских функций h ; результатом является оператор, который в общем случае не может быть ограничен. Используя модель умножения на функцию f самосопряженного оператора, заданную спектральной теоремой, это умножение на композицию h с f .

Теорема  —  Пусть T — самосопряженный оператор на H , h — вещественная функция Бореля на R. Существует единственный оператор S такой, что дом ⁡ С = { ξ ∈ ЧАС : час ∈ Л ν ξ 2 ( Р ) } {\displaystyle \operatorname {dom} S=\left\{\xi \in H:h\in L_{\nu _{\xi }}^{2}(\mathbb {R} )\right\}} ⟨ С ξ , ξ ⟩ = ∫ Р час ( т )   г ν ξ ( т ) , для ξ ∈ дом ⁡ С {\displaystyle \langle S\xi ,\xi \rangle =\int _{\mathbb {R} }h(t)\ d\nu _{\xi }(t),\quad {\text{for}}\quad \xi \in \operatorname {dom} S}

Оператор S предыдущей теоремы обозначается h ( T ).

В более общем смысле функциональное исчисление Бореля существует также для (ограниченных) нормальных операторов.

Разрешение идентичности

Пусть будет самосопряженным оператором. Если — борелевское подмножество R , а — индикаторная функция E , то — самосопряженная проекция на H. Тогда отображение — проекционнозначная мера . Мера R относительно — это тождественный оператор на H. Другими словами, тождественный оператор можно выразить как спектральный интеграл Т {\displaystyle Т} Э {\displaystyle E} 1 Э {\displaystyle \mathbf {1} _{E}} 1 Э ( Т ) {\displaystyle \mathbf {1} _{E}(T)} Ω Т : Э ↦ 1 Э ( Т ) {\displaystyle \Omega _{T}:E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)} Ω Т {\textstyle \Омега _{Т}}

я = Ω Т ( [ − ∞ , ∞ ] ) = ∫ − ∞ ∞ г Ω Т {\displaystyle I=\Omega _{T}([-\infty ,\infty ])=\int _{-\infty }^{\infty }d\Omega _{T}} .

Формула Стоуна [3] выражает спектральную меру через резольвенту : Ω Т {\displaystyle \Омега _{Т}} Р Т ( λ ) ≡ ( Т − λ я ) − 1 {\displaystyle R_{T}(\lambda )\equiv \left(T-\lambda I\right)^{-1}}

1 2 π я лим ϵ → 0 + ∫ а б [ Р Т ( λ + я ϵ ) ) − Р Т ( λ − я ϵ ) ] г λ = Ω Т ( ( а , б ) ) + 1 2 [ Ω Т ( { а } ) + Ω Т ( { б } ) ] . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}\left[R_{T}(\lambda +i\epsilon ))-R_{T}(\lambda -i\epsilon )\right]\,d\lambda =\Omega _{T}((a,b))+{\frac {1}{2}}\left[\Omega _{T}(\{a\})+\Omega _{T}(\{b\})\right].}

В зависимости от источника разрешение тождества определяется либо как проекционно-значная мера , [4] , либо как однопараметрическое семейство проекционно-значных мер с . [5] Ω Т {\displaystyle \Омега _{Т}} { Σ λ } {\displaystyle \{\Сигма _{\лямбда }\}} − ∞ < λ < ∞ {\displaystyle -\infty <\lambda <\infty }

В случае дискретной меры (в частности, когда H конечномерен), можно записать как в обозначениях Дирака, где каждый является нормированным собственным вектором T. Набор является ортонормированным базисом H. я = ∫ 1 г Ω Т {\textstyle I=\int 1\,d\Omega _{T}} я = ∑ я | я ⟩ ⟨ я | {\displaystyle I=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|} | я ⟩ {\displaystyle |я\rangle} { | я ⟩ } {\displaystyle \{|я\rangle \}}

В физической литературе, используя вышеизложенное как эвристику, переходят к случаю, когда спектральная мера уже не является дискретной, и записывают разложение тождества как и говорят о «непрерывном базисе» или «континууме базисных состояний». Математически, если не даны строгие обоснования, это выражение является чисто формальным. я = ∫ г я   | я ⟩ ⟨ я | {\displaystyle I=\int \!\!di~|i\rangle \langle i|} { | я ⟩ } {\displaystyle \{|я\rangle \}}

Ссылки

  1. ^ Кадисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1997). Основы теории операторных алгебр: Том 1. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0819-2.
  2. ^ Рид, Майкл; Саймон, Барри (1981). Методы современной математической физики . Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
  3. ^ Тахтаджан, Леон А. (2020). «Этюды резольвенты». Математические обзоры . 75 (1): 147–186. arXiv : 2004.11950 . doi :10.1070/RM9917.
  4. ^ Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. С. 316–317. ISBN 978-0-07-054236-5.
  5. ^ Ахиезер, Наум Ильич (1981). Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве . Бостон: Питман. п. 213. ИСБН 0-273-08496-8.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Borel_functional_calculus&oldid=1249994939#Resolution_of_the_identity"