Коммутативная диаграмма

В математике , и особенно в теории категорий , коммутативная диаграмма — это диаграмма , такая, что все направленные пути в диаграмме с одинаковыми начальными и конечными точками приводят к одному и тому же результату. ^[1] Говорят, что коммутативные диаграммы играют в теории категорий ту же роль, которую уравнения играют в алгебре . ^[2]

Коммутативная диаграмма часто состоит из трех частей:

• объекты (также известные как вершины )
• морфизмы (также известные как стрелки или ребра )
• пути или композиты

В текстах по алгебре тип морфизма может обозначаться различными способами использования стрелок:

• Мономорфизм может быть помечен как [ 3 ^] или . ^[4]${\displaystyle \hookrightarrow}$${\displaystyle \rightarrowtail}$
• Эпиморфизм может быть обозначен знаком .${\displaystyle \twoheadrightarrow}$
• Изоморфизм может быть обозначен знаком .${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$
• Пунктирная стрелка обычно представляет собой утверждение о том, что указанный морфизм существует (всякий раз, когда остальная часть диаграммы верна); стрелка может быть дополнительно помечена как .${\displaystyle \существует}$
  • Если морфизм к тому же уникален, то пунктирная стрелка может быть помечена или .${\displaystyle !}$${\displaystyle \существует!}$
• Если морфизм действует между двумя стрелками (например, в случае теории высших категорий ), его предпочтительно называть естественным преобразованием и можно обозначить как (как показано ниже в этой статье).${\displaystyle \Стрелка вправо}$

Значения различных стрелок не полностью стандартизированы: стрелки, используемые для мономорфизмов, эпиморфизмов и изоморфизмов, также используются для инъекций , сюръекций и биекций , а также кофибраций, расслоений и слабых эквивалентностей в модельной категории .

Коммутативность имеет смысл для многоугольника с любым конечным числом сторон (включая только 1 или 2), а диаграмма коммутативна, если каждая многоугольная поддиаграмма коммутативна.

Обратите внимание, что диаграмма может быть некоммутативной, т. е. композиция различных путей на диаграмме может не давать одинаковый результат.

На левой диаграмме, выражающей первую теорему об изоморфизме , коммутативность треугольника означает, что . На правой диаграмме коммутативность квадрата означает , что .${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$${\displaystyle h\circ f=k\circ g}$

Для того чтобы диаграмма ниже была коммутативной, должны выполняться три равенства:

1. ${\ displaystyle r \ circ h \ circ g = H \ circ G \ circ l}$
2. ${\ displaystyle m \ circ g = G \ circ l}$
3. ${\displaystyle r\circ h=H\circ m}$

Здесь, поскольку первое равенство следует из последних двух, достаточно показать, что (2) и (3) верны, чтобы диаграмма была коммутативной. Однако, поскольку равенство (3) в общем случае не следует из двух других, для того, чтобы показать, что диаграмма коммутативна, в общем случае недостаточно иметь только равенства (1) и (2).

Диаграммный поиск (также называемый диаграммным поиском ) — это метод математического доказательства, используемый, в частности, в гомологической алгебре , где устанавливается свойство некоторого морфизма путем отслеживания элементов коммутативной диаграммы. Доказательство с помощью диаграммного поиска обычно включает формальное использование свойств диаграммы, таких как инъективные или сюръективные отображения или точные последовательности . ^[5] Строится силлогизм , для которого графическое отображение диаграммы является всего лишь визуальным пособием. Из этого следует , что в конечном итоге происходит «преследование» элементов вокруг диаграммы, пока желаемый элемент или результат не будет построен или проверен.

Примерами доказательств методом поиска диаграмм являются те, которые обычно приводятся для леммы о пяти , леммы о змее , леммы о зигзаге и леммы о девяти .

В теории высших категорий рассматриваются не только объекты и стрелки, но и стрелки между стрелками, стрелки между стрелками между стрелками и так далее до бесконечности. Например, категория малых категорий Cat естественным образом является 2-категорией с функторами в качестве стрелок и естественными преобразованиями в качестве стрелок между функторами. В этой обстановке коммутативные диаграммы могут также включать эти высшие стрелки, которые часто изображаются в следующем стиле: . Например, следующая (довольно тривиальная) диаграмма изображает две категории C и D вместе с двумя функторами F , G  : C → D и естественным преобразованием α  : F ⇒ G :${\displaystyle \Стрелка вправо}$

В категории 2 существует два вида композиции (называемые вертикальной композицией и горизонтальной композицией ), и они также могут быть изображены с помощью диаграмм вставки (см . примеры в разделе 2-категория#Определение ).

Коммутативную диаграмму в категории C можно интерпретировать как функтор из индексной категории J в C; такой функтор называется диаграммой .

Более формально, коммутативная диаграмма — это визуализация диаграммы, индексированной категорией частично упорядоченного множества . Такая диаграмма обычно включает:

• узел для каждого объекта в категории индекса,
• стрелка для генерирующего набора морфизмов (исключая тождественные отображения и морфизмы, которые могут быть выражены как композиции),
• коммутативность диаграммы (равенство различных композиций отображений между двумя объектами), соответствующая уникальности отображения между двумя объектами в категории частично упорядоченных множеств.

Наоборот, если задана коммутативная диаграмма, она определяет категорию частично упорядоченных множеств, где:

• объекты — это узлы,
• между любыми двумя объектами существует морфизм тогда и только тогда, когда существует (направленный) путь между узлами,
• с тем соотношением, что этот морфизм является единственным (любая композиция отображений определяется своей областью определения и целью: это аксиома коммутативности).

Однако не каждая диаграмма коммутирует (понятие диаграммы строго обобщает коммутативную диаграмму). В качестве простого примера, диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( ), или с двумя параллельными стрелками ( , то есть , иногда называемая свободным колчаном ), как используется в определении уравнителя, не обязательно коммутирует. Кроме того, диаграммы могут быть беспорядочными или их невозможно нарисовать, когда число объектов или морфизмов велико (или даже бесконечно).${\displaystyle f\двоеточие X\до X}$${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$${\displaystyle f,g\двоеточие от X до Y}$

• Математическая диаграмма

• Погоня за диаграммами в MathWorld
• WildCats — пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований .